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1. 一架飞机在两城之间飞行，顺风需5 h，逆风需6 h，已知风速为24 km/h，求飞机在无风时的速度。设飞机在无风时的速度为x km/h，则可列方程为。
答案
解：
飞机顺风飞行的速度为$(x+24)\ \mathrm{km/h}$，逆风飞行的速度为$(x-24)\ \mathrm{km/h}$。
根据两城之间路程相等的等量关系，可列方程：
$5(x+24)=6(x-24)$
去括号，得：
$5x+120=6x-144$
移项、合并同类项，得：
$x=264$
答：飞机在无风时的速度为264 km/h。
飞机顺风飞行的速度为$(x+24)\ \mathrm{km/h}$，逆风飞行的速度为$(x-24)\ \mathrm{km/h}$。
根据两城之间路程相等的等量关系，可列方程：
$5(x+24)=6(x-24)$
去括号，得：
$5x+120=6x-144$
移项、合并同类项，得：
$x=264$
答：飞机在无风时的速度为264 km/h。
解析
【分析】
这是顺风逆风类的行程问题，解题核心是抓住两城之间路程固定不变的等量关系。第一步先明确速度换算规则：顺风时飞机实际速度=无风速度+风速，逆风时飞机实际速度=无风速度-风速；第二步结合“路程=速度×时间”的基本公式，分别用含x的式子表示出顺风、逆风飞行的总路程，根据两段路程相等即可列出方程，再求解方程就能得到无风时的速度。
【解析】
已知设飞机在无风时的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，风速为$24\ \mathrm{km/h}$：
1. 表示实际飞行速度：
顺风飞行速度为$(x+24)\ \mathrm{km/h}$，逆风飞行速度为$(x-24)\ \mathrm{km/h}$；
2. 根据路程相等列方程：
两城路程不变，路程=速度×时间，顺风耗时5h，逆风耗时6h，因此列方程：
$5(x+24)=6(x-24)$
3. 解方程：
去括号，得$5x+120=6x-144$
移项、合并同类项，得$x=264$
【答案】
可列方程为$\boldsymbol{5(x+24)=6(x-24)}$，飞机在无风时的速度为$\boldsymbol{264\ \mathrm{km/h}}$
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题公式，顺风逆风速度换算
【点评】
本题是行程问题的典型基础考法，核心是掌握顺风、逆风的速度换算规则，抓住路程不变的等量关系列方程即可求解，是需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
这是顺风逆风类的行程问题，解题核心是抓住两城之间路程固定不变的等量关系。第一步先明确速度换算规则：顺风时飞机实际速度=无风速度+风速，逆风时飞机实际速度=无风速度-风速；第二步结合“路程=速度×时间”的基本公式，分别用含x的式子表示出顺风、逆风飞行的总路程，根据两段路程相等即可列出方程，再求解方程就能得到无风时的速度。
【解析】
已知设飞机在无风时的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，风速为$24\ \mathrm{km/h}$：
1. 表示实际飞行速度：
顺风飞行速度为$(x+24)\ \mathrm{km/h}$，逆风飞行速度为$(x-24)\ \mathrm{km/h}$；
2. 根据路程相等列方程：
两城路程不变，路程=速度×时间，顺风耗时5h，逆风耗时6h，因此列方程：
$5(x+24)=6(x-24)$
3. 解方程：
去括号，得$5x+120=6x-144$
移项、合并同类项，得$x=264$
【答案】
可列方程为$\boldsymbol{5(x+24)=6(x-24)}$，飞机在无风时的速度为$\boldsymbol{264\ \mathrm{km/h}}$
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题公式，顺风逆风速度换算
【点评】
本题是行程问题的典型基础考法，核心是掌握顺风、逆风的速度换算规则，抓住路程不变的等量关系列方程即可求解，是需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
2.操场一周是 400 m，小明每秒跑 6 m，小华骑自行车每秒行驶 16 m，两人绕跑道同时同地同向而行，他们用了s第一次相遇。
答案
解：设他们用了$x$秒第一次相遇。
根据题意列方程得：
$16x - 6x = 400$
合并同类项，得：
$10x = 400$
系数化为1，得：
$x = 40$
答：他们用了$\boldsymbol{40}$ s第一次相遇。
根据题意列方程得：
$16x - 6x = 400$
合并同类项，得：
$10x = 400$
系数化为1，得：
$x = 40$
答：他们用了$\boldsymbol{40}$ s第一次相遇。
解析
【分析】
这是行程类的同向追及问题，两人同时同地同向出发，第一次相遇时，速度快的小华比速度慢的小明多跑了操场整整一周的长度（400m），这是解题的核心等量关系。我们可以先设相遇时间为x秒，利用“路程=速度×时间”分别表示出两人的行驶路程，再根据“小华的路程-小明的路程=400m”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设他们用了$x$秒第一次相遇。
根据题意列方程得：
$16x - 6x = 400$
合并同类项，得：
$10x = 400$
系数化为1，得：
$x = 40$
【答案】
40
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 行程追及问题
【点评】
本题是同向追及类行程问题的基础题型，解题的关键是明确同时同地同向出发首次相遇时，快者比慢者多走的路程等于跑道一圈的总长度，找准该等量关系即可顺利列方程求解。
【难度系数】
0.8
这是行程类的同向追及问题，两人同时同地同向出发，第一次相遇时，速度快的小华比速度慢的小明多跑了操场整整一周的长度（400m），这是解题的核心等量关系。我们可以先设相遇时间为x秒，利用“路程=速度×时间”分别表示出两人的行驶路程，再根据“小华的路程-小明的路程=400m”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设他们用了$x$秒第一次相遇。
根据题意列方程得：
$16x - 6x = 400$
合并同类项，得：
$10x = 400$
系数化为1，得：
$x = 40$
【答案】
40
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 行程追及问题
【点评】
本题是同向追及类行程问题的基础题型，解题的关键是明确同时同地同向出发首次相遇时，快者比慢者多走的路程等于跑道一圈的总长度，找准该等量关系即可顺利列方程求解。
【难度系数】
0.8
3.一列火车以恒定速度行驶，当它完全通过一条长 460 m 的隧道时，需要 40 s；以相同的速度完全通过一条长 320 m 的隧道时，需要 30 s。则火车的长度是 m。
答案
解：设火车的长度是$x$ m。
根据火车行驶速度恒定，列方程得：
$\frac{460 + x}{40} = \frac{320 + x}{30}$
两边同时乘120去分母，得：
$3(460 + x) = 4(320 + x)$
展开括号：
$1380 + 3x = 1280 + 4x$
移项、合并同类项：
$x = 100$
答：火车的长度是100 m。
根据火车行驶速度恒定，列方程得：
$\frac{460 + x}{40} = \frac{320 + x}{30}$
两边同时乘120去分母，得：
$3(460 + x) = 4(320 + x)$
展开括号：
$1380 + 3x = 1280 + 4x$
移项、合并同类项：
$x = 100$
答：火车的长度是100 m。
解析
【分析】
解决本题首先要明确火车“完全通过隧道”的路程含义：从车头进入隧道到车尾驶出隧道，火车行驶的总路程等于隧道长度加上火车自身的长度。已知火车行驶速度恒定，即两次过隧道的速度相等，根据公式“速度=路程÷时间”，我们可以设火车长度为未知数，分别表示出两次过隧道的速度，根据速度相等建立等量关系列出方程，解方程即可求出火车长度。
【解析】
设火车的长度是$x$ m。
根据火车行驶速度恒定，列方程得：
$\frac{460 + x}{40} = \frac{320 + x}{30}$
两边同时乘120去分母，得：
$3(460 + x) = 4(320 + x)$
展开括号：
$1380 + 3x = 1280 + 4x$
移项、合并同类项得：
$x = 100$
【答案】
100
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题的关键是准确判断火车完全通过隧道的总路程构成，抓住速度不变这一等量关系列方程求解，掌握该解题思路可轻松解决同类火车过桥、过隧道的行程问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确火车“完全通过隧道”的路程含义：从车头进入隧道到车尾驶出隧道，火车行驶的总路程等于隧道长度加上火车自身的长度。已知火车行驶速度恒定，即两次过隧道的速度相等，根据公式“速度=路程÷时间”，我们可以设火车长度为未知数，分别表示出两次过隧道的速度，根据速度相等建立等量关系列出方程，解方程即可求出火车长度。
【解析】
设火车的长度是$x$ m。
根据火车行驶速度恒定，列方程得：
$\frac{460 + x}{40} = \frac{320 + x}{30}$
两边同时乘120去分母，得：
$3(460 + x) = 4(320 + x)$
展开括号：
$1380 + 3x = 1280 + 4x$
移项、合并同类项得：
$x = 100$
【答案】
100
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题的关键是准确判断火车完全通过隧道的总路程构成，抓住速度不变这一等量关系列方程求解，掌握该解题思路可轻松解决同类火车过桥、过隧道的行程问题。
【难度系数】
0.7
4.已知数轴上有A,B两点,分别代表-60,20。甲、乙两人分别从A,B两点同时出发,甲沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动,乙沿BA方向以每秒3个单位长度的速度向左运动,运动时间为t s。
(1)A,B两点间的距离为个单位长度;乙到达点A时共运动了s。
(2)t s后,甲在数轴上的位置是,乙在数轴上的位置是。(用含t的式子表示)
(3)甲、乙在数轴上的哪个位置相遇?
(1)A,B两点间的距离为个单位长度;乙到达点A时共运动了s。
(2)t s后,甲在数轴上的位置是,乙在数轴上的位置是。(用含t的式子表示)
(3)甲、乙在数轴上的哪个位置相遇?
答案
解：
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{\dfrac{80}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-60 + t}$；$\boldsymbol{20 - 3t}$
(3) 相遇时甲、乙在数轴上的位置相同，列方程：
$-60 + t = 20 - 3t$
移项，得 $t + 3t = 20 + 60$
合并同类项，得 $4t = 80$
系数化为1，得 $t = 20$
将$t=20$代入$-60 + t$，得$-60 + 20 = -40$。
答：甲、乙在数轴上代表-40的位置相遇。
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{\dfrac{80}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-60 + t}$；$\boldsymbol{20 - 3t}$
(3) 相遇时甲、乙在数轴上的位置相同，列方程：
$-60 + t = 20 - 3t$
移项，得 $t + 3t = 20 + 60$
合并同类项，得 $4t = 80$
系数化为1，得 $t = 20$
将$t=20$代入$-60 + t$，得$-60 + 20 = -40$。
答：甲、乙在数轴上代表-40的位置相遇。
解析
【分析】
(1) 求数轴上两点距离，可直接用右侧点表示的数减去左侧点表示的数；乙从B到A的运动路程就是A、B两点的距离，已知乙的运动速度，根据“时间=路程÷速度”即可计算运动时间。
(2) 数轴上向右运动的动点，位置等于初始位置加上运动的路程，向左运动的动点，位置等于初始位置减去运动的路程，结合甲、乙的初始位置、运动方向和速度，就能写出t秒后两者的位置表达式。
(3) 甲、乙相遇时，两者在数轴上的位置完全相同，因此令两个位置表达式相等，即可得到关于t的一元一次方程，求解出t后代入任意一个位置表达式，就能得到相遇点对应的数。
【解析】
(1) A点代表-60，B点代表20，两点间距离为$20 - (-60) = 80$个单位长度；
乙从B到A的路程为80个单位，运动速度为每秒3个单位，运动时间为$80÷3=\dfrac{80}{3}\ \mathrm{s}$。
(2) 甲从-60出发向右运动，每秒走1个单位，t秒共运动t个单位，因此t秒后甲的位置是$-60+t$；
乙从20出发向左运动，每秒走3个单位，t秒共运动3t个单位，因此t秒后乙的位置是$20-3t$。
(3) 相遇时甲、乙在数轴上的位置相同，据此列方程：
$-60 + t = 20 - 3t$
移项，得 $t + 3t = 20 + 60$
合并同类项，得 $4t = 80$
系数化为1，得 $t = 20$
将$t=20$代入$-60 + t$，得$-60 + 20 = -40$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{\dfrac{80}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-60 + t}$；$\boldsymbol{20 - 3t}$
(3) 甲、乙在数轴上代表$\boldsymbol{-40}$的位置相遇
【知识点】
数轴两点距离计算，动点位置表示，一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴与行程相遇问题结合的基础题型，核心是掌握数轴上动点位置的表示方法，抓住相遇时两动点位置相同的等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型可为后续复杂的数轴动点问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
(1) 求数轴上两点距离，可直接用右侧点表示的数减去左侧点表示的数；乙从B到A的运动路程就是A、B两点的距离，已知乙的运动速度，根据“时间=路程÷速度”即可计算运动时间。
(2) 数轴上向右运动的动点，位置等于初始位置加上运动的路程，向左运动的动点，位置等于初始位置减去运动的路程，结合甲、乙的初始位置、运动方向和速度，就能写出t秒后两者的位置表达式。
(3) 甲、乙相遇时，两者在数轴上的位置完全相同，因此令两个位置表达式相等，即可得到关于t的一元一次方程，求解出t后代入任意一个位置表达式，就能得到相遇点对应的数。
【解析】
(1) A点代表-60，B点代表20，两点间距离为$20 - (-60) = 80$个单位长度；
乙从B到A的路程为80个单位，运动速度为每秒3个单位，运动时间为$80÷3=\dfrac{80}{3}\ \mathrm{s}$。
(2) 甲从-60出发向右运动，每秒走1个单位，t秒共运动t个单位，因此t秒后甲的位置是$-60+t$；
乙从20出发向左运动，每秒走3个单位，t秒共运动3t个单位，因此t秒后乙的位置是$20-3t$。
(3) 相遇时甲、乙在数轴上的位置相同，据此列方程：
$-60 + t = 20 - 3t$
移项，得 $t + 3t = 20 + 60$
合并同类项，得 $4t = 80$
系数化为1，得 $t = 20$
将$t=20$代入$-60 + t$，得$-60 + 20 = -40$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$；$\boldsymbol{\dfrac{80}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-60 + t}$；$\boldsymbol{20 - 3t}$
(3) 甲、乙在数轴上代表$\boldsymbol{-40}$的位置相遇
【知识点】
数轴两点距离计算，动点位置表示，一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴与行程相遇问题结合的基础题型，核心是掌握数轴上动点位置的表示方法，抓住相遇时两动点位置相同的等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型可为后续复杂的数轴动点问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 某中学学生步行到郊外旅游，七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，步行速度为6 km/h。前队出发1 h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑行的速度为10 km/h。
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员骑车的路程是多少？
(3)两队何时相距2 km？
(1)后队追上前队需要多长时间？
(2)后队追上前队的时间内，联络员骑车的路程是多少？
(3)两队何时相距2 km？
答案
解：
(1) 设后队追上前队需要$ x \, \mathrm{h} $。
根据题意列方程：
$6x = 4(1 + x)$
解得：$ x = 2 $
答：后队追上前队需要2 h。
(2) 联络员的骑行时间等于后队追上前队的时间，为2 h。
联络员骑车的路程为：
$10 × 2 = 20 \, (\mathrm{km})$
答：联络员骑车的路程是20 km。
(3) 分三种情况求解，设前队出发$ t \, \mathrm{h} $时两队相距2 km：
① 后队尚未出发时：
$4t = 2$
解得：$ t = 0.5 $
② 后队出发后、尚未追上前队时（$ t＞1 $）：
$4t - 6(t-1) = 2$
解得：$ t = 2 $
③ 后队追上前队后、超过前队2 km时：
$6(t-1) - 4t = 2$
解得：$ t = 4 $
答：当前队出发0.5 h、2 h或4 h时，两队相距2 km。
(1) 设后队追上前队需要$ x \, \mathrm{h} $。
根据题意列方程：
$6x = 4(1 + x)$
解得：$ x = 2 $
答：后队追上前队需要2 h。
(2) 联络员的骑行时间等于后队追上前队的时间，为2 h。
联络员骑车的路程为：
$10 × 2 = 20 \, (\mathrm{km})$
答：联络员骑车的路程是20 km。
(3) 分三种情况求解，设前队出发$ t \, \mathrm{h} $时两队相距2 km：
① 后队尚未出发时：
$4t = 2$
解得：$ t = 0.5 $
② 后队出发后、尚未追上前队时（$ t＞1 $）：
$4t - 6(t-1) = 2$
解得：$ t = 2 $
③ 后队追上前队后、超过前队2 km时：
$6(t-1) - 4t = 2$
解得：$ t = 4 $
答：当前队出发0.5 h、2 h或4 h时，两队相距2 km。
解析
【分析】
本题属于行程类一元一次方程应用题，解题思路如下：
(1) 后队追上前队时，两队行走的总路程相等，前队比后队多出发1小时，据此设未知数列方程即可求解追及时间；
(2) 联络员在两队之间往返的总时间与后队追上前队的时间完全相同，无需考虑往返过程，直接用“路程=速度×时间”即可计算总路程；
(3) 两队相距2km需分三类情况讨论：①后队还未出发时，前队单独行走的路程为2km；②后队出发后还未追上前队时，前队总路程比后队多2km；③后队追上前队之后，后队总路程比前队多2km，分别对应三种情况列方程求解即可。
【解析】
(1) 设后队追上前队需要$ x \, \mathrm{h} $。
根据后队追及前队时两队路程相等，列方程：
$6x = 4(1 + x)$
解得：$ x = 2 $
答：后队追上前队需要2 h。
(2) 联络员全程骑行的时间与后队追上前队的时间相等，即为2 h。
根据路程=速度×时间，联络员骑行的路程为：
$10 × 2 = 20 \, (\mathrm{km})$
答：联络员骑车的路程是20 km。
(3) 设前队出发$ t \, \mathrm{h} $时两队相距2 km，分三种情况讨论：
① 后队尚未出发时：前队步行路程为2km，列方程：
$4t = 2$
解得：$ t = 0.5 $；
② 后队出发后、尚未追上前队时：前队路程比后队多2km，列方程：
$4t - 6(t-1) = 2$
解得：$ t = 2 $；
③ 后队追上前队后、超过前队2km时：后队路程比前队多2km，列方程：
$6(t-1) - 4t = 2$
解得：$ t = 4 $。
答：当前队出发0.5 h、2 h或4 h时，两队相距2 km。
【答案】
(1) 2 h；
(2) 20 km；
(3) 前队出发0.5 h、2 h或4 h时两队相距2 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是行程问题的经典题型，前两问重点考查追及问题的核心等量关系，第三问的分类讨论是易错点，解题时要全面考虑所有可能的位置关系，避免漏解；联络员路程的计算要抓住“运动总时间不变”的核心，无需被往返运动的描述干扰，可简化计算。
【难度系数】
0.6
本题属于行程类一元一次方程应用题，解题思路如下：
(1) 后队追上前队时，两队行走的总路程相等，前队比后队多出发1小时，据此设未知数列方程即可求解追及时间；
(2) 联络员在两队之间往返的总时间与后队追上前队的时间完全相同，无需考虑往返过程，直接用“路程=速度×时间”即可计算总路程；
(3) 两队相距2km需分三类情况讨论：①后队还未出发时，前队单独行走的路程为2km；②后队出发后还未追上前队时，前队总路程比后队多2km；③后队追上前队之后，后队总路程比前队多2km，分别对应三种情况列方程求解即可。
【解析】
(1) 设后队追上前队需要$ x \, \mathrm{h} $。
根据后队追及前队时两队路程相等，列方程：
$6x = 4(1 + x)$
解得：$ x = 2 $
答：后队追上前队需要2 h。
(2) 联络员全程骑行的时间与后队追上前队的时间相等，即为2 h。
根据路程=速度×时间，联络员骑行的路程为：
$10 × 2 = 20 \, (\mathrm{km})$
答：联络员骑车的路程是20 km。
(3) 设前队出发$ t \, \mathrm{h} $时两队相距2 km，分三种情况讨论：
① 后队尚未出发时：前队步行路程为2km，列方程：
$4t = 2$
解得：$ t = 0.5 $；
② 后队出发后、尚未追上前队时：前队路程比后队多2km，列方程：
$4t - 6(t-1) = 2$
解得：$ t = 2 $；
③ 后队追上前队后、超过前队2km时：后队路程比前队多2km，列方程：
$6(t-1) - 4t = 2$
解得：$ t = 4 $。
答：当前队出发0.5 h、2 h或4 h时，两队相距2 km。
【答案】
(1) 2 h；
(2) 20 km；
(3) 前队出发0.5 h、2 h或4 h时两队相距2 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是行程问题的经典题型，前两问重点考查追及问题的核心等量关系，第三问的分类讨论是易错点，解题时要全面考虑所有可能的位置关系，避免漏解；联络员路程的计算要抓住“运动总时间不变”的核心，无需被往返运动的描述干扰，可简化计算。
【难度系数】
0.6
