2. 化简并求值:$2ab^3 · (-a)^2 + (2ab)^2 · (-ab) - a^3b^3$,其中$a=2,b=-\dfrac{1}{3}$.

2. 化简,原式=$-3a^3b^3$,其值为$\dfrac{8}{9}$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序：第一步先计算每个单项式中的乘方运算，注意符号规则；第二步计算单项式乘法，按照系数相乘、同底数幂分别相乘的规则计算；第三步合并同类项得到最简整式，最后将a、b的取值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算各项乘方：
$(-a)^2=a^2$，$(2ab)^2=4a^2b^2$
代入原式得：
$2ab^3 · a^2 + 4a^2b^2 · (-ab) - a^3b^3$
2. 计算单项式乘法：
$2ab^3 · a^2=2a^{1+2}b^3=2a^3b^3$
$4a^2b^2 · (-ab)=-4a^{2+1}b^{2+1}=-4a^3b^3$
此时原式变为：
$2a^3b^3 - 4a^3b^3 - a^3b^3$
3. 合并同类项：
$(2-4-1)a^3b^3=-3a^3b^3$
再代入$a=2$，$b=-\dfrac{1}{3}$求值：
逆用积的乘方简便计算：$-3a^3b^3=-3(ab)^3$
先算$ab=2×(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{2}{3}$，则$(ab)^3=(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$
代入得：$-3×(-\dfrac{8}{27})=\dfrac{8}{9}$
【答案】
化简结果为$-3a^3b^3$，求值结果为$\dfrac{8}{9}$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是牢记整式混合运算的顺序，计算时要特别注意负号的处理，避免因符号错误失分，代入求值时可灵活逆用积的乘方简化计算，提高准确率。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. 计算$(-2x^2)· (x^3+1)$，结果正确的是()

A.$-2x^6 + 2x^2$
B.$-2x^6 - 2x^2$
C.$-2x^5 + 2x^2$
D.$-2x^5 - 2x^2$

1. D

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；运算过程中要注意两点：一是同底数幂相乘时，底数不变，指数相加，不要误将指数相乘；二是注意负号的运算，避免符号出错。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
第一步：用单项式$-2x^2$分别乘多项式$x^3+1$的两项：
$(-2x^2)·(x^3+1) = (-2x^2)·x^3 + (-2x^2)·1$
第二步：分别计算两项的乘积，根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$：
$(-2x^2)·x^3 = -2x^{2+3} = -2x^5$
$(-2x^2)·1 = -2x^2$
第三步：将两个乘积相加，得最终结果：$-2x^5 - 2x^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，易错点是混淆同底数幂的运算法则（误将指数相加算为指数相乘）、漏看单项式的负号导致符号错误，熟练掌握运算法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

2. 下列运算正确的是()

A.$(-2a)(5a+ab-1)=-10a^2-2a^2b-1$
B.$(-5x)(2x^2-3x+1)=-10x^3+15x^2-5x$
C.$b(b^3-b^2c-1)=b^4-b^3-b$
D.$3x(-x^2-3x+1)=3x^3-9x^2+3x$

2. B

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题时需依据单项式乘多项式的运算法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，运算过程中要重点关注每一项的符号，逐一计算四个选项的运算结果，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则逐一验证选项：
A. $(-2a)(5a+ab-1)=(-2a)×5a + (-2a)× ab + (-2a)×(-1)=-10a^2-2a^2b+2a$，选项漏乘常数项且符号错误，故A错误；
B. $(-5x)(2x^2-3x+1)=(-5x)×2x^2 + (-5x)×(-3x) + (-5x)×1=-10x^3+15x^2-5x$，运算结果正确，故B正确；
C. $b(b^3-b^2c-1)=b× b^3 + b×(-b^2c) + b×(-1)=b^4-b^3c -b$，选项漏写第二项的字母c，故C错误；
D. $3x(-x^2-3x+1)=3x×(-x^2)+3x×(-3x)+3x×1=-3x^3-9x^2+3x$，选项第一项符号错误，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式运算法则的应用，易错点为运算时漏乘常数项、弄错项的符号或漏写字母，计算时逐项核对可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8

3. 化简$x(3x^2 -1)-3x(x^2 -3)$的结果是()

A.$10x$
B.$-10x$
C.$8x$
D.$-8x$

3. C

【分析】
本题是整式的化简运算题，解题思路可分为三步：第一步先运用单项式乘多项式的法则分别计算两个乘法项；第二步去括号，注意第二个乘积项前面是负号，去括号时各项要变号；第三步合并同类项，将化简后的结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则展开计算：
第一步：展开各项
$x(3x^2 -1) = x·3x^2 + x·(-1) = 3x^3 - x$
$-3x(x^2 -3) = -3x· x^2 + (-3x)·(-3) = -3x^3 + 9x$
第二步：合并同类项
原式$= 3x^3 - x - 3x^3 + 9x$
其中$3x^3$和$-3x^3$是同类项，相加得0；$-x$和$9x$是同类项，相加得$8x$，因此化简结果为$8x$。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 合并同类项
3. 去括号法则
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法与加减的混合运算规则，解题的易错点是去括号时符号处理错误，只要熟练掌握运算法则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

4*. 如果规定表示单项式-2xyz，表示多项式$ab - cd$，则计算×的结果是()

A.$-4mn^2 -6m^2n$
B.$-4mn^2 +6m^2n$
C.$-8mn^2 -12m^2n$
D.$-8mn^2 +12m^2n$

4. D

【分析】这是一道结合新定义的整式乘法题，解题思路如下：第一步先准确理解题目给出的符号定义，确定[插图3]、[插图4]分别对应的整式；第二步回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算时注意符号不要出错；第三步将计算结果和选项比对，选出正确答案。
【解析】
解：根据题意可知，[插图3]代表单项式$-4mn$，[插图4]代表多项式$2n-3m$。
按照单项式乘多项式的法则计算：
$\begin{split}&(-4mn)×(2n-3m)\\=&(-4mn)×2n + (-4mn)×(-3m)\\=&-8mn^2 + 12m^2n\end{split}$
【答案】D
【知识点】新定义运算，单项式乘多项式
【点评】本题兼顾了对新规则的阅读理解能力和整式运算能力的考查，难度不大，易错点是计算时符号处理失误，做题时要注意逐项检查符号。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 计算:$2a(3a - b)=$.

1. $6a^2-2ab$

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题时需遵循单项式乘多项式的运算规则：用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所有乘积相加。首先确定题中的单项式为2a，多项式为3a - b，第一步计算2a与3a的乘积，第二步计算2a与-b的乘积，最后将两个乘积合并即可得到结果，计算时注意同底数幂相乘底数不变指数相加，同时不要漏乘负号。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
第一步：用单项式2a分别乘多项式$3a-b$的每一项
$2a(3a - b) = 2a · 3a + 2a · (-b)$
第二步：分别计算两项的乘积
$2a · 3a = (2×3) · (a · a) = 6a^2$
$2a · (-b) = -2ab$
第三步：将两项乘积相加，得到最终结果
原式$=6a^2 - 2ab$
【答案】
$6a^2-2ab$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需注意不要漏乘多项式的任意一项，同时要留意运算符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$-3x· (x+1)=$ .

2. $-3x^2-3x$

【分析】
这道题考查单项式与多项式的乘法运算，解题核心是运用单项式乘多项式的法则，本质是乘法分配律的应用。首先明确单项式为$-3x$，多项式包含$x$和$1$两项，解题时需用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加，计算过程中要注意系数符号的处理以及同底数幂的乘法规则。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则计算：
$\begin{aligned}-3x·(x+1)&=-3x·x + (-3x)·1\\&=-3x^2 - 3x\end{aligned}$
【答案】
$-3x^2-3x$
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对单项式乘多项式运算法则的掌握程度，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断运算过程中的符号，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.9

计算:$(-3x)^2 · (x - 2y) =$ .

3. $9x^3-18x^2y$

【分析】
本题属于整式乘法的混合运算，解题时遵循先乘方、再乘法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算$(-3x)^2$，第二步再根据单项式乘多项式的运算法则，将得到的单项式分别乘多项式$(x-2y)$的每一项，最后合并结果即可，运算时要注意符号不要出错，避免漏乘项。
【解析】
解：第一步先计算积的乘方：
$(-3x)^2=(-3)^2· x^2=9x^2$
第二步计算单项式乘多项式，根据乘法分配律展开：
$9x^2·(x-2y)=9x^2· x + 9x^2·(-2y)$
根据同底数幂的乘法法则分别计算两项：
$9x^2· x=9x^{2+1}=9x^3$，$9x^2·(-2y)=-18x^2y$
合并计算结果得：$9x^3-18x^2y$
【答案】
$9x^3-18x^2y$
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题型，重点考查运算顺序和基础运算法则的应用，易错点为积的乘方符号处理错误、单项式乘多项式时漏乘项或符号出错，熟练掌握基础运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

如果一个长方体的长、宽、高分别是$3x$、$2x$、$x+6$，那么它的体积是。

4. $6x^3+36x^2$

【分析】
解题时首先回忆长方体的体积计算公式：体积=长×宽×高，我们只需将题目给出的长、宽、高代入公式，再按照整式乘法的运算法则逐步计算即可。第一步先计算两个单项式的乘积，再将得到的结果与多项式相乘，用单项式乘多项式的法则展开就能得到最终结果。
【解析】
长方体的体积公式为$V = 长 × 宽 × 高$，
将长$3x$、宽$2x$、高$x+6$代入公式得：
$\begin{aligned}V&=3x · 2x · (x+6) \\&=6x^2 · (x+6) \\&=6x^2 · x + 6x^2 · 6 \\&=6x^3 + 36x^2\end{aligned}$
【答案】
$6x^3+36x^2$
【知识点】
长方体体积计算，单项式乘单项式，单项式乘多项式
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算的结合题，核心是牢记体积公式和整式乘法的运算法则，计算时注意同底数幂相乘的指数变化，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 计算下列各式：
(1) $(-2x^3) · (3x - 1)$
(2) $( \frac{2}{5}xy^2 - \frac{3}{5}x^2y ) · \frac{5}{6}xy$
(3) $(-2a)^3 · (a^2 + a - 1)$
(4) $2x^2 · x - x(x^2 + 2x)$
(5) $-2a(a - 1) + 2a^2$
(6) $5ab(a + b) - a^2b$
(7) $2x · (-3xy) + 6x^2(x + y)$
(8) $x(x^2 - x - 1) + 2(x^2 + 1) - \frac{1}{3}x(3x^2 + 6x)$

1. (1)$-6x^4+2x^3$ (2)$\frac{1}{3}x^2y^3-\frac{1}{2}x^3y^2$ (3)$-8a^5-8a^4+8a^3$ (4)$x^3-2x^2$ (5)$2a$ (6)$4a^2b+5ab^2$ (7)$6x^3$ (8)$-x^2-x+2$

【分析】
这8道题均为整式的混合运算题，解题遵循整式运算优先级：先算乘方，再算乘法，最后算加减。具体思考步骤：1. 若式子中含有乘方运算，先根据乘方法则计算出结果；2. 运用单项式乘多项式的法则（乘法分配律），用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，展开时注意不要漏乘项，同时准确判断每一项的符号；3. 展开后识别同类项，合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 利用分配律展开计算：
原式$=(-2x^3)·3x + (-2x^3)·(-1) = -6x^4 + 2x^3$
(2) 利用分配律展开，分别计算单项式乘法：
原式$=\frac{2}{5}xy^2·\frac{5}{6}xy + (-\frac{3}{5}x^2y)·\frac{5}{6}xy = \frac{1}{3}x^2y^3 - \frac{1}{2}x^3y^2$
(3) 先计算乘方，再展开计算：
原式$=(-8a^3)·(a^2+a-1) = (-8a^3)·a^2 + (-8a^3)·a + (-8a^3)·(-1) = -8a^5 -8a^4 +8a^3$
(4) 先分别计算单项式乘法，再去括号合并同类项：
原式$=2x^3 - (x^3 + 2x^2) = 2x^3 -x^3 -2x^2 = x^3 -2x^2$
(5) 先展开单项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=-2a^2 +2a +2a^2 = 2a$
(6) 先展开单项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=5a^2b +5ab^2 -a^2b = 4a^2b +5ab^2$
(7) 先分别计算单项式乘法，再合并同类项：
原式$=-6x^2y +6x^3 +6x^2y = 6x^3$
(8) 先分别展开各个单项式乘多项式，再合并同类项：
原式$=x^3 -x^2 -x +2x^2 +2 -x^3 -2x^2 = -x^2 -x +2$
【答案】
(1)$-6x^4+2x^3$ (2)$\frac{1}{3}x^2y^3-\frac{1}{2}x^3y^2$ (3)$-8a^5-8a^4+8a^3$ (4)$x^3-2x^2$ (5)$2a$ (6)$4a^2b+5ab^2$ (7)$6x^3$ (8)$-x^2-x+2$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、合并同类项
【点评】
本组题目属于整式运算的基础训练题，核心考查单项式乘多项式的运算法则，易错点为展开时符号判断错误、漏乘多项式的项，计算时按照运算顺序逐步计算，展开后认真核对每一项，合并同类项时注意区分同类项即可得分。
【难度系数】
0.75