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11.如图,用若干根相同的小棒摆正六边形,其中正六边形的每条边需要一根小棒。
(1)摆1个正六边形需要
(2)照这样摆下去:
①摆$n$个正六边形需要几根小棒?当$n=200$时,需要几根小棒?
②181根小棒可以摆多少个正六边形?
(1)摆1个正六边形需要
6
根小棒,摆2个正六边形需要11
根小棒,摆3个正六边形需要16
根小棒。(2)照这样摆下去:
①摆$n$个正六边形需要几根小棒?当$n=200$时,需要几根小棒?
②181根小棒可以摆多少个正六边形?
答案
11.解:(1)6 11 16
(2)①摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒;当$n=200$时,需要$5×200+1=1001$(根)小棒。
②当$5n+1=181$时,$n=(181-1)÷5=36$,即可以摆36个正六边形。
(2)①摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒;当$n=200$时,需要$5×200+1=1001$(根)小棒。
②当$5n+1=181$时,$n=(181-1)÷5=36$,即可以摆36个正六边形。
解析
【分析】
首先通过直接计数得到摆1、2、3个正六边形的小棒数量，再观察规律：相邻两个正六边形会共用1条边，因此每增加1个正六边形，仅需要新增5根小棒。根据该规律推导摆n个正六边形的小棒数量通用公式，再分别代入n的数值求解、列方程求解小棒对应的正六边形个数即可。
【解析】
(1) 单个正六边形有6条边，每条边1根小棒，因此摆1个正六边形需要6根小棒；
摆2个正六边形时，两个正六边形共用1条边，总小棒数为$6+5=11$根；
摆3个正六边形时，第三个正六边形与第二个共用1条边，总小棒数为$11+5=16$根。
(2) ① 摆n个正六边形时，第一个需要6根，剩下的$(n-1)$个每个仅需要新增5根，总小棒数为：
$6+5(n-1)=5n+1$（根）
当$n=200$时，代入公式得$5×200+1=1001$（根）
② 设181根小棒可以摆x个正六边形，根据规律列方程：
$5x+1=181$
解得$x=(181-1)÷5=36$
【答案】
(1) 6；11；16
(2) ① 摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒，当$n=200$时，需要1001根小棒；② 181根小棒可以摆36个正六边形。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是观察出图形拼接时公共边导致小棒增量为5的规律，掌握该类题的观察方法后即可快速求解，能有效提升归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
首先通过直接计数得到摆1、2、3个正六边形的小棒数量，再观察规律：相邻两个正六边形会共用1条边，因此每增加1个正六边形，仅需要新增5根小棒。根据该规律推导摆n个正六边形的小棒数量通用公式，再分别代入n的数值求解、列方程求解小棒对应的正六边形个数即可。
【解析】
(1) 单个正六边形有6条边，每条边1根小棒，因此摆1个正六边形需要6根小棒；
摆2个正六边形时，两个正六边形共用1条边，总小棒数为$6+5=11$根；
摆3个正六边形时，第三个正六边形与第二个共用1条边，总小棒数为$11+5=16$根。
(2) ① 摆n个正六边形时，第一个需要6根，剩下的$(n-1)$个每个仅需要新增5根，总小棒数为：
$6+5(n-1)=5n+1$（根）
当$n=200$时，代入公式得$5×200+1=1001$（根）
② 设181根小棒可以摆x个正六边形，根据规律列方程：
$5x+1=181$
解得$x=(181-1)÷5=36$
【答案】
(1) 6；11；16
(2) ① 摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒，当$n=200$时，需要1001根小棒；② 181根小棒可以摆36个正六边形。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是观察出图形拼接时公共边导致小棒增量为5的规律，掌握该类题的观察方法后即可快速求解，能有效提升归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
12.用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下图,并探究和解决下列问题:
(1)第n个图形中,每一行有
(2)在铺设第n个图形时,共用多少块瓷砖?
(3)如果每块黑瓷砖4元,每块白瓷砖3元,铺设第10个图形时,共需多少钱购买瓷砖?
(1)第n个图形中,每一行有
n+3
块瓷砖,每一列有n+2
块瓷砖。(2)在铺设第n个图形时,共用多少块瓷砖?
(3)如果每块黑瓷砖4元,每块白瓷砖3元,铺设第10个图形时,共需多少钱购买瓷砖?
答案
12.解:(1)$n+3$ $n+2$
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需$n(n+1)$块,当$n=10$时,白瓷砖需$10×11=110$(块),黑瓷砖需$13×12-110=156-110=46$(块)。共需$110×3+46×4=514$(元)购买瓷砖。
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需$n(n+1)$块,当$n=10$时,白瓷砖需$10×11=110$(块),黑瓷砖需$13×12-110=156-110=46$(块)。共需$110×3+46×4=514$(元)购买瓷砖。
解析
【分析】
解决这道题我们按照从特殊到一般的思路推导：
1. 第(1)问先分别统计n=1、n=2、n=3时每行、每列的瓷砖数：n=1时每行4块、每列3块；n=2时每行5块、每列4块；n=3时每行6块、每列5块，对比n的数值就能归纳出每行、每列瓷砖数和n的关系。
2. 第(2)问求总瓷砖数，长方形地面总瓷砖数等于每行瓷砖数乘每列瓷砖数，直接代入第(1)问的结论就能得到表达式。
3. 第(3)问先找白瓷砖的数量规律：观察n=1、2、3时白瓷砖数量分别为1×2、2×3、3×4，可归纳出第n个图形白瓷砖为n(n+1)块，黑瓷砖数量为总瓷砖数减白瓷砖数，再代入n=10，分别乘对应单价求和即可得到总费用。
【解析】
(1) 观察已知图形：
当n=1时，每行有$4=1+3$块，每列有$3=1+2$块；
当n=2时，每行有$5=2+3$块，每列有$4=2+2$块；
当n=3时，每行有$6=3+3$块，每列有$5=3+2$块；
因此第n个图形中，每一行有$(n+3)$块瓷砖，每一列有$(n+2)$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，因此共用瓷砖：
$(n+3)(n+2)$块。
(3) 先推导白瓷砖的数量规律：
n=1时，白瓷砖有$2=1×2$块；
n=2时，白瓷砖有$6=2×3$块；
n=3时，白瓷砖有$12=3×4$块；
因此第n个图形白瓷砖数量为$n(n+1)$块。
当n=10时：
白瓷砖数量$=10×(10+1)=110$块，
总瓷砖数$=(10+3)×(10+2)=156$块，
黑瓷砖数量$=156-110=46$块，
总费用$=110×3 + 46×4 = 330+184=514$元。
【答案】
(1) $n+3$；$n+2$
(2) 共用$\boldsymbol{(n+3)(n+2)}$块瓷砖
(3) 共需$\boldsymbol{514}$元购买瓷砖
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是通过观察特殊图形的特征归纳出通用数量规律，再结合代数式运算解决实际问题，能够锻炼观察归纳能力和代数知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们按照从特殊到一般的思路推导：
1. 第(1)问先分别统计n=1、n=2、n=3时每行、每列的瓷砖数：n=1时每行4块、每列3块；n=2时每行5块、每列4块；n=3时每行6块、每列5块，对比n的数值就能归纳出每行、每列瓷砖数和n的关系。
2. 第(2)问求总瓷砖数，长方形地面总瓷砖数等于每行瓷砖数乘每列瓷砖数，直接代入第(1)问的结论就能得到表达式。
3. 第(3)问先找白瓷砖的数量规律：观察n=1、2、3时白瓷砖数量分别为1×2、2×3、3×4，可归纳出第n个图形白瓷砖为n(n+1)块，黑瓷砖数量为总瓷砖数减白瓷砖数，再代入n=10，分别乘对应单价求和即可得到总费用。
【解析】
(1) 观察已知图形：
当n=1时，每行有$4=1+3$块，每列有$3=1+2$块；
当n=2时，每行有$5=2+3$块，每列有$4=2+2$块；
当n=3时，每行有$6=3+3$块，每列有$5=3+2$块；
因此第n个图形中，每一行有$(n+3)$块瓷砖，每一列有$(n+2)$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，因此共用瓷砖：
$(n+3)(n+2)$块。
(3) 先推导白瓷砖的数量规律：
n=1时，白瓷砖有$2=1×2$块；
n=2时，白瓷砖有$6=2×3$块；
n=3时，白瓷砖有$12=3×4$块；
因此第n个图形白瓷砖数量为$n(n+1)$块。
当n=10时：
白瓷砖数量$=10×(10+1)=110$块，
总瓷砖数$=(10+3)×(10+2)=156$块，
黑瓷砖数量$=156-110=46$块，
总费用$=110×3 + 46×4 = 330+184=514$元。
【答案】
(1) $n+3$；$n+2$
(2) 共用$\boldsymbol{(n+3)(n+2)}$块瓷砖
(3) 共需$\boldsymbol{514}$元购买瓷砖
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是通过观察特殊图形的特征归纳出通用数量规律，再结合代数式运算解决实际问题，能够锻炼观察归纳能力和代数知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
