登录
1.计算$\frac{x}{y} ÷ \frac{2}{y}$的结果是（
A.$\frac{2}{y}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$2x$
D.$2y$
B
）.A.$\frac{2}{y}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$2x$
D.$2y$
答案
1.B
解析
【分析】
这是分式除法的基础运算题，解题思路如下：第一步回忆分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式，等于乘这个分式的倒数；第二步将除法运算转化为乘法运算，本题中y作为分母，默认y≠0，满足运算的前提条件；第三步对转化后的乘法算式进行约分，约掉分子分母的公因式，化简后即可得到结果。
【解析】
根据分式除法运算法则计算：
原式$=\frac{x}{y} × \frac{y}{2}$
分子分母的公因式$y$可约去（$y≠0$），化简得：
$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则，运算时注意先将除法转化为乘法再约分，避免直接分子除分子、分母除分母的错误，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这是分式除法的基础运算题，解题思路如下：第一步回忆分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式，等于乘这个分式的倒数；第二步将除法运算转化为乘法运算，本题中y作为分母，默认y≠0，满足运算的前提条件；第三步对转化后的乘法算式进行约分，约掉分子分母的公因式，化简后即可得到结果。
【解析】
根据分式除法运算法则计算：
原式$=\frac{x}{y} × \frac{y}{2}$
分子分母的公因式$y$可约去（$y≠0$），化简得：
$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式除法的运算规则，运算时注意先将除法转化为乘法再约分，避免直接分子除分子、分母除分母的错误，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.计算$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的结果是（
A.$\frac{1}{a+b}$
B.$\frac{2}{a+b}$
C.$\frac{a+b}{ab}$
D.$a+b$
C
）.A.$\frac{1}{a+b}$
B.$\frac{2}{a+b}$
C.$\frac{a+b}{ab}$
D.$a+b$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查异分母分式的加法运算，解题思路如下：首先判断两个分式的分母为a和b，二者没有公因式，因此最简公分母为ab；接下来根据分式的基本性质对两个分式通分，将其转化为同分母分式；最后按照同分母分式加法“分母不变，分子相加”的法则计算，对比选项得到结果即可。
【解析】
解：异分母分式相加，需先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加法规则计算。
分式$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$的最简公分母为$ab$，因此：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加法、分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，主要考查异分母分式的加法运算规则，只要熟练掌握通分方法和同分母分式的加减法则就能顺利解答，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.9
本题考查异分母分式的加法运算，解题思路如下：首先判断两个分式的分母为a和b，二者没有公因式，因此最简公分母为ab；接下来根据分式的基本性质对两个分式通分，将其转化为同分母分式；最后按照同分母分式加法“分母不变，分子相加”的法则计算，对比选项得到结果即可。
【解析】
解：异分母分式相加，需先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加法规则计算。
分式$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$的最简公分母为$ab$，因此：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加法、分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，主要考查异分母分式的加法运算规则，只要熟练掌握通分方法和同分母分式的加减法则就能顺利解答，属于基础得分题型。
【难度系数】
0.9
3.计算$\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} ÷ (-\frac{x}{y})^2$的结果是(
A.$\frac{x^2}{y}$
B.$\frac{y^2}{x}$
C.$-\frac{x^2}{y}$
D.$-\frac{y^2}{x}$
B
).A.$\frac{x^2}{y}$
B.$\frac{y^2}{x}$
C.$-\frac{x^2}{y}$
D.$-\frac{y^2}{x}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算乘方项$(-\frac{x}{y})^2$，注意平方后负号会消去；第二步将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步对所有分式的分子、分母进行约分，消去公因式后即可得到最终结果。
【解析】
先计算乘方：
$(-\frac{x}{y})^2=\frac{x^2}{y^2}$
将原式的除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} ÷ \frac{x^2}{y^2}=\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} · \frac{y^2}{x^2}$
逐项约分：
分子的$x^2$与分母的$x^2$约去，分子的$y$与分母的$y$约去，剩余分子为$y^2$，分母为$x$，即结果为$\frac{y^2}{x}$。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘方运算
2.分式的乘除运算
3.约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算法则的应用，解题时要注意乘方运算的符号处理，除法转乘法时不要出错，约分要彻底才能得到最简结果。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除。第一步先计算乘方项$(-\frac{x}{y})^2$，注意平方后负号会消去；第二步将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步对所有分式的分子、分母进行约分，消去公因式后即可得到最终结果。
【解析】
先计算乘方：
$(-\frac{x}{y})^2=\frac{x^2}{y^2}$
将原式的除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} ÷ \frac{x^2}{y^2}=\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} · \frac{y^2}{x^2}$
逐项约分：
分子的$x^2$与分母的$x^2$约去，分子的$y$与分母的$y$约去，剩余分子为$y^2$，分母为$x$，即结果为$\frac{y^2}{x}$。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的乘方运算
2.分式的乘除运算
3.约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查运算顺序和运算法则的应用，解题时要注意乘方运算的符号处理，除法转乘法时不要出错，约分要彻底才能得到最简结果。
【难度系数】
0.7
4.计算$(\dfrac{3}{2m})^3$的结果是(
A.$\dfrac{3}{2m^3}$
B.$\dfrac{27}{8m}$
C.$\dfrac{6}{5m^3}$
D.$\dfrac{27}{8m^3}$
D
).A.$\dfrac{3}{2m^3}$
B.$\dfrac{27}{8m}$
C.$\dfrac{6}{5m^3}$
D.$\dfrac{27}{8m^3}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方，需要将分子、分母分别进行乘方运算；再结合积的乘方法则，对分母中的乘积形式分别乘方，最后计算数值得到结果，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$b≠0$，$n$为正整数），可得：
$(\dfrac{3}{2m})^3=\dfrac{3^3}{(2m)^3}$
再根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），计算分母：
$(2m)^3=2^3 · m^3=8m^3$
分子计算得：$3^3=27$
因此原式结果为$\dfrac{27}{8m^3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式乘方和积的乘方的运算规则，解题时需注意不仅要给分子、分母的字母乘方，也要给系数乘方，避免出现漏乘方的错误。
【难度系数】
0.85
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方，需要将分子、分母分别进行乘方运算；再结合积的乘方法则，对分母中的乘积形式分别乘方，最后计算数值得到结果，对比选项即可选出正确答案。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（$b≠0$，$n$为正整数），可得：
$(\dfrac{3}{2m})^3=\dfrac{3^3}{(2m)^3}$
再根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），计算分母：
$(2m)^3=2^3 · m^3=8m^3$
分子计算得：$3^3=27$
因此原式结果为$\dfrac{27}{8m^3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查分式乘方和积的乘方的运算规则，解题时需注意不仅要给分子、分母的字母乘方，也要给系数乘方，避免出现漏乘方的错误。
【难度系数】
0.85
5.计算$\frac{a^2 + ab}{a - b} - \frac{ab}{a - b}$的结果是（
A.$a^2$
B.$\frac{a^2}{a - b}$
C.$\frac{a - b}{b}$
D.$\frac{a + b}{b}$
B
）.A.$a^2$
B.$\frac{a^2}{a - b}$
C.$\frac{a - b}{b}$
D.$\frac{a + b}{b}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是同分母分式的减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现均为$a-b$，属于同分母分式相减，按照同分母分式减法的运算规则，分母保持不变，只需将两个分子相减即可；第二步对相减后的分子进行合并同类项化简，最后判断化简后的分式是否能约分，得到最终结果后对应选项即可。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{a^2 + ab}{a - b} - \frac{ab}{a - b}&=\frac{(a^2+ab)-ab}{a-b}\\&=\frac{a^2+ab - ab}{a-b}\\&=\frac{a^2}{a-b}\end{aligned}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式减法、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题，运算时要注意分子相减时，减数的分子要整体参与运算，避免出现符号错误，合并同类项时要仔细确认同类项是否完全抵消。
【难度系数】
0.9
这是同分母分式的减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现均为$a-b$，属于同分母分式相减，按照同分母分式减法的运算规则，分母保持不变，只需将两个分子相减即可；第二步对相减后的分子进行合并同类项化简，最后判断化简后的分式是否能约分，得到最终结果后对应选项即可。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{a^2 + ab}{a - b} - \frac{ab}{a - b}&=\frac{(a^2+ab)-ab}{a-b}\\&=\frac{a^2+ab - ab}{a-b}\\&=\frac{a^2}{a-b}\end{aligned}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式减法、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题，运算时要注意分子相减时，减数的分子要整体参与运算，避免出现符号错误，合并同类项时要仔细确认同类项是否完全抵消。
【难度系数】
0.9
6.若$(\dfrac{a^2}{b})^2 ÷ (\dfrac{a}{b^2})^2 = 3$，则$a^6b^6$的结果是（
A.3
B.9
C.27
D.81
C
）.A.3
B.9
C.27
D.81
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先需运用分式的乘方法则分别计算等式左边两个分式的乘方，再根据分式的除法法则将除法转化为乘法进行约分化简，得到$a^2b^2$的值；再观察所求式子$a^6b^6$，可利用积的乘方的逆运算将其变形为$(a^2b^2)^3$，最后代入$a^2b^2$的值计算即可得到结果。
【解析】
先化简已知等式左边的式子：
1. 计算分式的乘方：
$(\dfrac{a^2}{b})^2 = \dfrac{(a^2)^2}{b^2} = \dfrac{a^4}{b^2}$，$(\dfrac{a}{b^2})^2 = \dfrac{a^2}{(b^2)^2} = \dfrac{a^2}{b^4}$
2. 计算分式除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$(\dfrac{a^4}{b^2}) ÷ (\dfrac{a^2}{b^4}) = \dfrac{a^4}{b^2} × \dfrac{b^4}{a^2}$
3. 约分计算：
$\dfrac{a^4}{b^2} × \dfrac{b^4}{a^2} = a^{4-2}b^{4-2} = a^2b^2$
由题意得$a^2b^2=3$。
再化简所求式子：
根据积的乘方逆运算，$a^6b^6=(a^2b^2)^3$，将$a^2b^2=3$代入得：
$(a^2b^2)^3=3^3=27$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题重点考查分式的运算与幂的运算性质的综合应用，解题的核心是先通过化简已知等式得到基础代数式的值，再对所求代数式进行变形后整体代入计算，整体代入思想是代数运算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先需运用分式的乘方法则分别计算等式左边两个分式的乘方，再根据分式的除法法则将除法转化为乘法进行约分化简，得到$a^2b^2$的值；再观察所求式子$a^6b^6$，可利用积的乘方的逆运算将其变形为$(a^2b^2)^3$，最后代入$a^2b^2$的值计算即可得到结果。
【解析】
先化简已知等式左边的式子：
1. 计算分式的乘方：
$(\dfrac{a^2}{b})^2 = \dfrac{(a^2)^2}{b^2} = \dfrac{a^4}{b^2}$，$(\dfrac{a}{b^2})^2 = \dfrac{a^2}{(b^2)^2} = \dfrac{a^2}{b^4}$
2. 计算分式除法，除以一个分式等于乘以它的倒数：
$(\dfrac{a^4}{b^2}) ÷ (\dfrac{a^2}{b^4}) = \dfrac{a^4}{b^2} × \dfrac{b^4}{a^2}$
3. 约分计算：
$\dfrac{a^4}{b^2} × \dfrac{b^4}{a^2} = a^{4-2}b^{4-2} = a^2b^2$
由题意得$a^2b^2=3$。
再化简所求式子：
根据积的乘方逆运算，$a^6b^6=(a^2b^2)^3$，将$a^2b^2=3$代入得：
$(a^2b^2)^3=3^3=27$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题重点考查分式的运算与幂的运算性质的综合应用，解题的核心是先通过化简已知等式得到基础代数式的值，再对所求代数式进行变形后整体代入计算，整体代入思想是代数运算中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
7.已知$|a|=4$，则代数式$(1-\dfrac{2}{a-2})÷\dfrac{a-4}{a^2-4}$的值是（
A.6
B.$-2$
C.6或$-2$
D.0
B
）.A.6
B.$-2$
C.6或$-2$
D.0
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先按照分式混合运算的规则化简代数式，再结合|a|=4得到a的可能取值，最后根据分式有意义的条件排除不符合的取值，代入剩余的a值计算结果即可。具体步骤：1. 先计算括号内的分式减法，通分后合并；2. 将分式除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分，得到最简代数式；3. 根据绝对值性质求出a的两个可能值，再结合分式分母不为0、除数不为0的要求，排除使分式无意义的a值；4. 代入合法的a值计算结果。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{2}{a-2})÷\dfrac{a-4}{a^2-4}\\=&(\dfrac{a-2}{a-2}-\dfrac{2}{a-2})×\dfrac{a^2-4}{a-4}\\=&\dfrac{a-2-2}{a-2}×\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-4}\\=&\dfrac{a-4}{a-2}×\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-4}\\=&a+2\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母和除数均不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-4≠0$，解得$a≠2$，$a≠-2$，$a≠4$。
已知$|a|=4$，则$a=4$或$a=-4$，排除$a=4$，故$a=-4$。
将$a=-4$代入$a+2$得：$-4+2=-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，绝对值的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，易错点是容易忽略分式有意义的约束条件，直接将a=4代入得到结果6错选C，解题时要先确定字母的合法取值范围，再代入计算。
【难度系数】
0.6
解题时先按照分式混合运算的规则化简代数式，再结合|a|=4得到a的可能取值，最后根据分式有意义的条件排除不符合的取值，代入剩余的a值计算结果即可。具体步骤：1. 先计算括号内的分式减法，通分后合并；2. 将分式除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分，得到最简代数式；3. 根据绝对值性质求出a的两个可能值，再结合分式分母不为0、除数不为0的要求，排除使分式无意义的a值；4. 代入合法的a值计算结果。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(1-\dfrac{2}{a-2})÷\dfrac{a-4}{a^2-4}\\=&(\dfrac{a-2}{a-2}-\dfrac{2}{a-2})×\dfrac{a^2-4}{a-4}\\=&\dfrac{a-2-2}{a-2}×\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-4}\\=&\dfrac{a-4}{a-2}×\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-4}\\=&a+2\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母和除数均不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-4≠0$，$a-4≠0$，解得$a≠2$，$a≠-2$，$a≠4$。
已知$|a|=4$，则$a=4$或$a=-4$，排除$a=4$，故$a=-4$。
将$a=-4$代入$a+2$得：$-4+2=-2$。
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算，绝对值的性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，易错点是容易忽略分式有意义的约束条件，直接将a=4代入得到结果6错选C，解题时要先确定字母的合法取值范围，再代入计算。
【难度系数】
0.6
8.计算.
(1) $\dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} · \dfrac{a}{a - 3}$.
(2) $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} + x + 2$.
(1) $\dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} · \dfrac{a}{a - 3}$.
(2) $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} + x + 2$.
答案
8.(1)$\dfrac{a}{a+3}$. (2)$2x$.
解析
【分析】
对于（1）题分式乘法运算，首先需对分子、分母中的多项式分别因式分解，再约去分子分母的公因式，最后将剩余因式相乘即可得到化简结果；对于（2）题分式与整式的加法运算，可先对分式的分子因式分解，约去分子分母的公因式，将分式化为整式后，再合并同类项即可，该方法比通分计算更简便。
【解析】
（1）先对多项式因式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2+6a+9=(a+3)^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2}·\frac{a}{a-3}\\&=\frac{a}{a+3}\end{aligned}$
（2）先对第一个分式的分子因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} + x + 2\\&=x-2 + x + 2\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a+3}$；(2) $2x$
【知识点】
因式分解、分式乘除运算、分式加减运算
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考查因式分解在分式化简中的应用，运算时优先对多项式因式分解再约分，可大幅简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
对于（1）题分式乘法运算，首先需对分子、分母中的多项式分别因式分解，再约去分子分母的公因式，最后将剩余因式相乘即可得到化简结果；对于（2）题分式与整式的加法运算，可先对分式的分子因式分解，约去分子分母的公因式，将分式化为整式后，再合并同类项即可，该方法比通分计算更简便。
【解析】
（1）先对多项式因式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2+6a+9=(a+3)^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2}·\frac{a}{a-3}\\&=\frac{a}{a+3}\end{aligned}$
（2）先对第一个分式的分子因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} + x + 2\\&=x-2 + x + 2\\&=2x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a+3}$；(2) $2x$
【知识点】
因式分解、分式乘除运算、分式加减运算
【点评】
这两道题是分式运算的常规基础题，核心考查因式分解在分式化简中的应用，运算时优先对多项式因式分解再约分，可大幅简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
