登录
8.观察下列等式: $a_1 = n(n ≠ 0 \mathrm{ 且 } n ≠ 1), a_2 = 1 - \frac{1}{a_1}, a_3 = 1 - \frac{1}{a_2}, ···$ 根据其蕴含的规律可得(
A.$a_{2025} = n$
B.$a_{2025} = \frac{n - 1}{n}$
C.$a_{2025} = \frac{1}{n - 1}$
D.$a_{2025} = \frac{1}{1 - n}$
D
).A.$a_{2025} = n$
B.$a_{2025} = \frac{n - 1}{n}$
C.$a_{2025} = \frac{1}{n - 1}$
D.$a_{2025} = \frac{1}{1 - n}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是结合分式运算的规律探究题，解题思路为：首先根据递推公式依次计算前几项的结果，观察找到数列的循环周期，再用所求项的序号除以周期，根据余数判断所求项对应周期内的具体项，即可得到$a_{2025}$的结果。
【解析】
解：根据题意依次计算前几项：
已知$a_1 = n$，
$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$，
$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{n}{n - 1} = \frac{(n - 1) - n}{n - 1} = \frac{-1}{n - 1} = \frac{1}{1 - n}$，
$a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} = 1 - (1 - n) = n$，
可发现数列每3项为一个周期循环：$n$、$\frac{n - 1}{n}$、$\frac{1}{1 - n}$，周期为3。
计算2025除以3：$2025 ÷ 3 = 675$，余数为0，说明$a_{2025}$对应周期内的第3项，即$a_{2025} = a_3 = \frac{1}{1 - n}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式化简，周期规律，代数式求值
【点评】
本题综合考查分式运算和规律探究能力，需要通过计算前几项归纳出循环周期，再利用周期推导结果，计算时要注意分式通分、符号处理的正确性，避免因运算失误选错答案。
【难度系数】
0.7
本题是结合分式运算的规律探究题，解题思路为：首先根据递推公式依次计算前几项的结果，观察找到数列的循环周期，再用所求项的序号除以周期，根据余数判断所求项对应周期内的具体项，即可得到$a_{2025}$的结果。
【解析】
解：根据题意依次计算前几项：
已知$a_1 = n$，
$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$，
$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{n}{n - 1} = \frac{(n - 1) - n}{n - 1} = \frac{-1}{n - 1} = \frac{1}{1 - n}$，
$a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} = 1 - (1 - n) = n$，
可发现数列每3项为一个周期循环：$n$、$\frac{n - 1}{n}$、$\frac{1}{1 - n}$，周期为3。
计算2025除以3：$2025 ÷ 3 = 675$，余数为0，说明$a_{2025}$对应周期内的第3项，即$a_{2025} = a_3 = \frac{1}{1 - n}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式化简，周期规律，代数式求值
【点评】
本题综合考查分式运算和规律探究能力，需要通过计算前几项归纳出循环周期，再利用周期推导结果，计算时要注意分式通分、符号处理的正确性，避免因运算失误选错答案。
【难度系数】
0.7
9.照相机成像应用了一个重要的物理原理,可用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$表示,其中$f$表示照相机镜头的焦距,$u$表示物体到镜头的距离,$v$表示胶片(像)到镜头的距离.已知$f,v$,则$u$等于(
A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
C
).A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
答案
9.C
解析
【分析】
这是一道代数式变形题，解题时把f、v当作已知数，u当作未知数，先通过移项将含u的项单独放在等式一侧，再利用分式减法运算对另一侧化简，最后取倒数就能得到u的表达式，题目给出v≠f，可保证最终分母不为0，表达式有意义。
【解析】
已知公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$，
1. 移项，将含$\frac{1}{v}$的项移到等式左侧，可得：
$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$
2. 对右侧通分计算，取公分母为$fv$：
$\frac{1}{u}=\frac{v}{fv}-\frac{f}{fv}=\frac{v-f}{fv}$
3. 两边同时取倒数，得：
$u=\frac{fv}{v-f}$
对比选项可知对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算，代数式变形
【点评】
本题结合物理成像原理考查分式的基本运算，将物理公式转化为数学代数式变形问题，体现了跨学科的知识关联，只要熟练掌握分式通分、移项的基本操作就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道代数式变形题，解题时把f、v当作已知数，u当作未知数，先通过移项将含u的项单独放在等式一侧，再利用分式减法运算对另一侧化简，最后取倒数就能得到u的表达式，题目给出v≠f，可保证最终分母不为0，表达式有意义。
【解析】
已知公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$，
1. 移项，将含$\frac{1}{v}$的项移到等式左侧，可得：
$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$
2. 对右侧通分计算，取公分母为$fv$：
$\frac{1}{u}=\frac{v}{fv}-\frac{f}{fv}=\frac{v-f}{fv}$
3. 两边同时取倒数，得：
$u=\frac{fv}{v-f}$
对比选项可知对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算，代数式变形
【点评】
本题结合物理成像原理考查分式的基本运算，将物理公式转化为数学代数式变形问题，体现了跨学科的知识关联，只要熟练掌握分式通分、移项的基本操作就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
10.已知$x≠y$，$y=-x+8$，求式子$\frac{x^2}{x-y}+\frac{y^2}{y-x}$的值.
答案
10.8
解析
【分析】
解题时首先观察两个分式的分母，发现x-y和y-x互为相反数，因此可以先将分母统一为x-y，转化为同分母分式的减法运算；再对分子利用平方差公式因式分解，结合已知x≠y的条件约分，最后根据给出的x和y的关系求出x+y的值，整体代入即可得到结果，不需要单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：先对原式变形，统一分母：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-y}+\frac{y^2}{y-x}&=\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}\\&=\frac{x^2 - y^2}{x-y}\\&=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\end{aligned}$
∵x≠y，即x-y≠0，约分后可得原式=x+y
又
∵y=-x+8，移项得x+y=8
∴原式的值为8。
【答案】
8
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，解题的关键是先观察分母的关系统一分母，再通过因式分解约分简化计算，采用整体代入的方法求值，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个分式的分母，发现x-y和y-x互为相反数，因此可以先将分母统一为x-y，转化为同分母分式的减法运算；再对分子利用平方差公式因式分解，结合已知x≠y的条件约分，最后根据给出的x和y的关系求出x+y的值，整体代入即可得到结果，不需要单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：先对原式变形，统一分母：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x-y}+\frac{y^2}{y-x}&=\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}\\&=\frac{x^2 - y^2}{x-y}\\&=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\end{aligned}$
∵x≠y，即x-y≠0，约分后可得原式=x+y
又
∵y=-x+8，移项得x+y=8
∴原式的值为8。
【答案】
8
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题，解题的关键是先观察分母的关系统一分母，再通过因式分解约分简化计算，采用整体代入的方法求值，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
11.定义:若两个分式$A$与$B$满足$|A-B|=3$,则称$A$与$B$这两个分式互为“美妙分式”.
若分式$\frac{4a^2}{a^2 - b^2}$与$\frac{a}{a + b}$互为“美妙分式”,且$a,b$均为不等于0的实数,求分式$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$的值.
若分式$\frac{4a^2}{a^2 - b^2}$与$\frac{a}{a + b}$互为“美妙分式”,且$a,b$均为不等于0的实数,求分式$\frac{2a^2 - b^2}{ab}$的值.
答案
11.$\because \left|\dfrac{4a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a}{a+b}\right|=3$,
$\because \left|\dfrac{4a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a}{a+b}\right|$
$=\left|\dfrac{4a^2}{(a+b)(a-b)}-\dfrac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$,
$\therefore \dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$ 或$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$.
$\therefore 3a^2+ab=3(a^2-b^2)$或$3a^2+ab=-3(a^2-b^2)$.
$\because a,b$均为不等于0的实数，
$\therefore ①a=-3b$或②$ab=3b^2-6a^2$.
把①代入，$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}=\dfrac{2(-3b)^2-b^2}{-3b^2}=\dfrac{17b^2}{-3b^2}=-\dfrac{17}{3}$,
把②代入，$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}=\dfrac{2a^2-b^2}{3b^2-6a^2}=\dfrac{2a^2-b^2}{-3(2a^2-b^2)}=-\dfrac{1}{3}$,
综上：分式$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}$的值为$-\dfrac{17}{3}$或$-\dfrac{1}{3}$.
$\because \left|\dfrac{4a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a}{a+b}\right|$
$=\left|\dfrac{4a^2}{(a+b)(a-b)}-\dfrac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$,
$\therefore \dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$ 或$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$.
$\therefore 3a^2+ab=3(a^2-b^2)$或$3a^2+ab=-3(a^2-b^2)$.
$\because a,b$均为不等于0的实数，
$\therefore ①a=-3b$或②$ab=3b^2-6a^2$.
把①代入，$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}=\dfrac{2(-3b)^2-b^2}{-3b^2}=\dfrac{17b^2}{-3b^2}=-\dfrac{17}{3}$,
把②代入，$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}=\dfrac{2a^2-b^2}{3b^2-6a^2}=\dfrac{2a^2-b^2}{-3(2a^2-b^2)}=-\dfrac{1}{3}$,
综上：分式$\dfrac{2a^2-b^2}{ab}$的值为$-\dfrac{17}{3}$或$-\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
首先根据“美妙分式”的定义，可列出两个分式差的绝对值等于3的等式；接下来对等式左边的分式通分化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，通分后合并分子化简；再根据绝对值的性质，去掉绝对值后分正负两种情况讨论，推导得出a与b的数量关系；最后将a、b的关系代入待求分式，结合a、b均不为0的条件约分计算即可得到结果。
【解析】
解：根据“美妙分式”的定义可得：
$\left|\dfrac{4a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a}{a+b}\right|=3$
对左边的式子通分化简：
$\left|\dfrac{4a^2}{(a+b)(a-b)}-\dfrac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{4a^2 - a^2 + ab}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{3a^2 + ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$
根据绝对值的性质分两种情况：
① 当$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$时：
两边同乘$(a+b)(a-b)$得$3a^2 + ab = 3(a^2 - b^2)$
化简得$ab=-3b^2$，
$\because b≠0$，$\therefore a=-3b$
代入$\dfrac{2a^2 - b^2}{ab}$得：
$\dfrac{2×(-3b)^2 - b^2}{(-3b)· b}=\dfrac{17b^2}{-3b^2}=-\dfrac{17}{3}$
② 当$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$时：
两边同乘$(a+b)(a-b)$得$3a^2 + ab = -3(a^2 - b^2)$
化简得$ab=3b^2-6a^2$
代入$\dfrac{2a^2 - b^2}{ab}$得：
$\dfrac{2a^2 - b^2}{3b^2 - 6a^2}=\dfrac{2a^2 - b^2}{-3(2a^2 - b^2)}=-\dfrac{1}{3}$（$2a^2-b^2≠0$可约去）
【答案】
$-\dfrac{17}{3}$或$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式加减运算，绝对值性质，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查分式运算和分类讨论思想，解题核心是准确理解新定义列等式，正确通分化简分式，注意绝对值要分两种情况讨论，计算时利用a、b不为0的条件合理约分，避免漏解或计算错误。
【难度系数】
0.6
首先根据“美妙分式”的定义，可列出两个分式差的绝对值等于3的等式；接下来对等式左边的分式通分化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，确定最简公分母为$(a+b)(a-b)$，通分后合并分子化简；再根据绝对值的性质，去掉绝对值后分正负两种情况讨论，推导得出a与b的数量关系；最后将a、b的关系代入待求分式，结合a、b均不为0的条件约分计算即可得到结果。
【解析】
解：根据“美妙分式”的定义可得：
$\left|\dfrac{4a^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a}{a+b}\right|=3$
对左边的式子通分化简：
$\left|\dfrac{4a^2}{(a+b)(a-b)}-\dfrac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{4a^2 - a^2 + ab}{(a+b)(a-b)}\right|$
$=\left|\dfrac{3a^2 + ab}{(a+b)(a-b)}\right|=3$
根据绝对值的性质分两种情况：
① 当$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=3$时：
两边同乘$(a+b)(a-b)$得$3a^2 + ab = 3(a^2 - b^2)$
化简得$ab=-3b^2$，
$\because b≠0$，$\therefore a=-3b$
代入$\dfrac{2a^2 - b^2}{ab}$得：
$\dfrac{2×(-3b)^2 - b^2}{(-3b)· b}=\dfrac{17b^2}{-3b^2}=-\dfrac{17}{3}$
② 当$\dfrac{3a^2+ab}{(a+b)(a-b)}=-3$时：
两边同乘$(a+b)(a-b)$得$3a^2 + ab = -3(a^2 - b^2)$
化简得$ab=3b^2-6a^2$
代入$\dfrac{2a^2 - b^2}{ab}$得：
$\dfrac{2a^2 - b^2}{3b^2 - 6a^2}=\dfrac{2a^2 - b^2}{-3(2a^2 - b^2)}=-\dfrac{1}{3}$（$2a^2-b^2≠0$可约去）
【答案】
$-\dfrac{17}{3}$或$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式加减运算，绝对值性质，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查分式运算和分类讨论思想，解题核心是准确理解新定义列等式，正确通分化简分式，注意绝对值要分两种情况讨论，计算时利用a、b不为0的条件合理约分，避免漏解或计算错误。
【难度系数】
0.6
