1. 一元二次方程$(x-\frac{1}{2})(x-5)=0$的两个根分别为（）

A.$x_1=\frac{1}{2},x_2=-5$
B.$x_1=-\frac{1}{2},x_2=-5$
C.$x_1=-\frac{1}{2},x_2=5$
D.$x_1=\frac{1}{2},x_2=5$

1.D

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题核心依据是“若两个因式的乘积等于0，则这两个因式中至少有一个的值为0”。解题时，我们只需分别令方程中两个一次因式的值为0，转化为两个一元一次方程求解，得到的解就是原一元二次方程的两个根，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知方程$(x-\frac{1}{2})(x-5)=0$，根据因式分解法的基本原理可得：
$x-\frac{1}{2}=0$ 或 $x-5=0$
解第一个方程，移项得$x_1=\frac{1}{2}$；
解第二个方程，移项得$x_2=5$。
因此原方程的两个根为$x_1=\frac{1}{2},x_2=5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法解一元二次方程的基本运用，熟练掌握“乘积为0的两个因式至少有一个为0”的原理即可快速解题，是一元二次方程解法部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9

2. 解下列方程:①$\frac{1}{3}(x-2)^2=5$；②$x^2-3x-2=0$；③$x(x+3)-x-3=0$；④$x^2+4x-6=0$.
其中用因式分解法较简便的是()

A.①
B.②
C.③
D.④

2.C

【分析】
解这道题首先要明确因式分解法解一元二次方程的适用条件：当方程一边为0，另一边容易分解为两个一次整式的乘积时，用因式分解法求解最简便。接下来我们逐个分析4个方程的结构特征，判断是否符合该条件即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个方程适用的解法：
① 方程$\frac{1}{3}(x-2)^2=5$可变形为$(x-2)^2=15$，适合用直接开平方法求解，不适合因式分解法；
② 方程$x^2-3x-2=0$中，二次三项式$x^2-3x-2$无法分解为整数系数的一次因式乘积，适合用公式法或配方法求解，不适合因式分解法；
③ 方程$x(x+3)-x-3=0$可变形为$x(x+3)-(x+3)=0$，提取公因式$(x+3)$后可得$(x+3)(x-1)=0$，非常适合用因式分解法快速求解；
④ 方程$x^2+4x-6=0$中，二次三项式$x^2+4x-6$无法分解为整数系数的一次因式乘积，适合用配方法或公式法求解，不适合因式分解法。
因此用因式分解法较简便的是方程③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的优选，解题关键是熟练掌握各类解法的适用场景，若方程能快速整理为几个整式乘积为0的形式，优先选择因式分解法，可提高解题效率。
【难度系数】
0.8

3.下列说法正确的是()

A.解方程$3x(x+2)=5(x+2)$时,可以在方程两边同时除以$x+2$,得$3x=5$,故$x=\frac{5}{3}$
B.解方程$(x+2)(x+3)=3×4$时,对比方程两边知$x+2=3,x+3=4$,故$x=1$
C.解方程$(3y+2)^2=4(y-3)^2$时,只要将两边开平方,方程就变形为$3y+2=2(y-3)$,从而解得$y=-8$
D.若一元二次方程的常数项为0,则0必为它的一个根

3.D

【分析】
本题考查一元二次方程求解的规范和根的判断，解题时需逐一排查每个选项的操作是否符合解方程的要求，避免常见的漏根、错解问题：①解方程时不能直接除以可能为0的含未知数的整式，否则会漏根；②开平方运算要考虑正负两种结果，仅取正根会漏解；③不能随意将方程两边的因数直接对应相等，需先整理为标准形式再求解；④常数项为0的一元二次方程可通过因式分解直接判断0是根。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 解方程$3x(x+2)=5(x+2)$时，$x+2$可能为0（$x=-2$是方程的根），直接除以$x+2$会漏根。正确解法为移项得$3x(x+2)-5(x+2)=0$，因式分解为$(x+2)(3x-5)=0$，解得$x_1=-2,x_2=\frac{5}{3}$，故A错误。
B. 方程$(x+2)(x+3)=3×4$即$(x+2)(x+3)=12$，两个数乘积为12的组合不唯一，不能直接对应$x+2=3、x+3=4$。正确解法为展开整理得$x^2+5x-6=0$，因式分解为$(x+6)(x-1)=0$，解得$x_1=1,x_2=-6$，故B错误。
C. 方程$(3y+2)^2=4(y-3)^2$开平方应得$3y+2=\pm2(y-3)$，仅取正号会漏根。两种情况分别求解：$3y+2=2(y-3)$得$y=-8$；$3y+2=-2(y-3)$得$y=\frac{4}{5}$，故C错误。
D. 常数项为0的一元二次方程可写为$ax^2+bx=0(a≠0)$，因式分解得$x(ax+b)=0$，可得$x=0$是方程的一个根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；开平方的性质；一元二次方程的根
【点评】
本题聚焦解方程的常见误区，同学们在求解一元二次方程时要严格遵守操作规范，不要随意除以含未知数的整式、不要遗漏开平方的负根，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.7

4. 下面一元二次方程的解法中,正确的是()

A.∵$(x-3)(x-5)=10×2$, $\therefore x-3=10$, $x-5=2$, $\therefore x_1=13$, $x_2=7$
B.∵$(2-5x)+(5x-2)^2=0$, $\therefore (5x-2)(5x-3)=0$, $\therefore x_1=\frac{2}{5}$, $x_2=\frac{3}{5}$
C.$(x+2)^2+4x=0$, $\therefore x_1=2$, $x_2=-2$
D.$x^2=x$两边同除以$x$,得$x=1$

4.B 点拨:在A中,由$(x-3)(x-5)=10×2$不能得出$x-3=10,x-5=2$;在C中,解不出$x_1=2,x_2=-2$;在D中,方程两边不能同除以$x$,因为$x$可能等于0,故B是正确的.

【分析】
本题考查一元二次方程解法的正误判断，解题时需紧扣一元二次方程各解法的适用规则，尤其是因式分解法的使用前提（方程右侧为0）、等式性质的使用注意事项（不能随意除以可能为0的整式），逐个排查选项即可得出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：因式分解法解一元二次方程要求方程右边为0，该选项中方程右边为$10×2=20≠0$，不能直接令两个因式分别等于10和2，该解法错误。
B选项：先对原式变形，$2-5x=-(5x-2)$，原方程可化为$(5x-2)^2-(5x-2)=0$，提取公因式$(5x-2)$，得$(5x-2)(5x-2-1)=0$，即$(5x-2)(5x-3)=0$，分别令两个因式为0，解得$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=\frac{3}{5}$，解法正确。
C选项：先整理原方程：$(x+2)^2+4x=x^2+4x+4+4x=x^2+8x+4=0$，将$x=2$、$x=-2$代入方程均不成立，该选项解法错误。
D选项：方程$x^2=x$中$x$可能为0，若直接两边除以$x$，会丢失$x=0$这个根，正确解法是移项得$x^2-x=0$，因式分解为$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，该选项解法错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；一元二次方程的根
【点评】
本题重点考察一元二次方程解法的常见误区，需牢记因式分解法必须先将方程整理为一边为0的形式，解方程时不可随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误，属于对基础解法掌握情况的考察。
【难度系数】
0.8

5.用因式分解法解一元二次方程$(3x-4)^2 -25=0$时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是$3x-4+5=0$，则另一个方程是。

5.3x-4-5=0

【分析】
首先观察方程左边的结构，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征。因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为若干个一次因式乘积为0的形式，再令每个因式为0得到对应的一元一次方程。本题中把$(3x-4)$看作整体$a$，25是$5^2$即$b=5$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，分解后两个因式分别为$(3x-4+5)$和$(3x-4-5)$，已知其中一个因式为0的方程是$3x-4+5=0$，另一个即为剩下的因式为0的方程。
【解析】
原方程为$(3x-4)^2 -25=0$，将25改写为$5^2$，可得：
$(3x-4)^2 -5^2=0$
根据平方差公式因式分解，得：
$[(3x-4)+5][(3x-4)-5]=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得两个一元一次方程：
$3x-4+5=0$，$3x-4-5=0$
因此另一个方程是$3x-4-5=0$。
【答案】
$3x-4-5=0$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查因式分解法中平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，能准确识别出可利用平方差分解的式子形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

6.设$x_1,x_2$是方程$x(x-1)+3(x-1)=0$的两个根，则$|x_1-x_2|=$

6.4 点拨:假设$x_1＜x_2$,则方程的根为$x_1=-3$和$x_2=1$,则$|x_1-x_2|=|-3-1|=4$.

【分析】
解题时先观察给定一元二次方程的结构，发现方程左边两项均含有公因式$(x-1)$，因此优先选用因式分解法求解方程的两个根，再将两根代入$|x_1-x_2|$计算即可。具体思考步骤：第一步提取公因式将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”得到两个一元一次方程，求解得到两根；第三步计算两根差值的绝对值。
【解析】
首先解方程$x(x-1)+3(x-1)=0$：
提取公因式$(x-1)$，可得：
$(x-1)(x+3)=0$
根据因式分解法解方程的规则，得：
$x-1=0$ 或 $x+3=0$
解得方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=-3$（或$x_1=-3$，$x_2=1$）
代入$|x_1-x_2|$计算：
$|x_1-x_2|=|1-(-3)|=4$（或$|-3-1|=4$）
【答案】
4
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根，绝对值运算
【点评】
本题考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，解题的核心是准确识别方程中的公因式完成因式分解，整体难度较低，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8

7.用因式分解法解下列方程：
(1)$(2x+1)^2 - 4 = 0$；
(2)$2(2x-3)^2 - 3(2x-3) = 0$。

7.解:(1)分解因式,得$(2x+1+2)(2x+1-2)=0$,
即$(2x+3)(2x-1)=0$,$\therefore x_1=-\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{1}{2}$.
(2)分解因式,得$(2x-3)[2(2x-3)-3]=0$,
$(2x-3)(4x-9)=0$,$\therefore x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{9}{4}$.

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。（1）中方程左边是平方差结构，符合$a^2-b^2$的形式，可直接用平方差公式分解因式；（2）中两项都含有公因式$(2x-3)$，将$(2x-3)$看作整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 对原方程左边利用平方差公式分解因式，得：
$(2x+1+2)(2x+1-2)=0$
整理得：$(2x+3)(2x-1)=0$
令每个因式分别为0，得：
$2x+3=0$ 或 $2x-1=0$
解得：$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$
(2) 把$(2x-3)$看作整体，提取公因式分解因式，得：
$(2x-3)[2(2x-3)-3]=0$
化简括号内的式子：$2(2x-3)-3=4x-6-3=4x-9$
即：$(2x-3)(4x-9)=0$
令每个因式分别为0，得：
$2x-3=0$ 或 $4x-9=0$
解得：$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{9}{4}$
【答案】
(1) $x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{9}{4}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题的关键是准确观察方程的结构特征，选择对应的因式分解方法，第二问用到整体思想，能帮助快速简化计算，熟练掌握因式分解的常用方法是解这类题的基础。
【难度系数】
0.8