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9.若关于$x$的一元二次方程$(a-2)x^2 -2ax +a+1=0$没有实数根，求不等式$ax+3＞0$的解集.(用含$a$的式子表示)
答案
9.解:因为关于 $x$ 的一元二次方程$(a-2)x^2-2ax+a+1=0$ 没有实数根,所以$(-2a)^2-4(a-2)(a+1)=4a^2-4a^2+4a+8＜0$.
解得 $a＜-2$.
由 $ax+3＞0$,
即 $ax＞-3$,解得 $x＜-\frac{3}{a}$.
所以所求不等式的解集为 $x＜-\frac{3}{a}$.
点拨:此题是一元二次方程根的情况与解不等式的综合题. 要求 $ax+3＞0$ 的解集,就是求 $ax＞-3$ 的解集,那么就转化为判定 $a$ 的取值问题. 因为一元二次方程$(a-2)x^2-2ax+a+1=0$ 没有实数根,根据 $\Delta=(-2a)^2-4(a-2)(a+1)＜0$ 就可求出 $a$ 的取值范围.
解得 $a＜-2$.
由 $ax+3＞0$,
即 $ax＞-3$,解得 $x＜-\frac{3}{a}$.
所以所求不等式的解集为 $x＜-\frac{3}{a}$.
点拨:此题是一元二次方程根的情况与解不等式的综合题. 要求 $ax+3＞0$ 的解集,就是求 $ax＞-3$ 的解集,那么就转化为判定 $a$ 的取值问题. 因为一元二次方程$(a-2)x^2-2ax+a+1=0$ 没有实数根,根据 $\Delta=(-2a)^2-4(a-2)(a+1)＜0$ 就可求出 $a$ 的取值范围.
解析
【分析】
解题需分两步思考：第一步先求参数a的取值范围，已知给定方程是一元二次方程，因此首先满足二次项系数不为0，又因为方程没有实数根，所以判别式Δ＜0，计算判别式并解不等式即可得到a的范围；第二步解不等式ax+3＞0，此时需根据a的正负判断不等号方向是否改变，结合第一步得到的a的范围，就能求出最终解集。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(a-2)x^2 -2ax +a+1=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ $a-2≠0$，且判别式$\Delta＜0$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2a)^2 -4(a-2)(a+1)\\&=4a^2 -4(a^2 -a -2)\\&=4a^2 -4a^2 +4a +8\\&=4a +8\end{aligned}$
令$\Delta＜0$，即$4a+8＜0$，解得$a＜-2$，此时$a-2＜0$，满足二次项系数不为0的要求。
再解不等式$ax+3＞0$：
移项得$ax＞-3$，
∵ $a＜-2＜0$，不等式两边同时除以负数$a$，不等号方向改变，
∴ $x＜-\frac{3}{a}$。
【答案】
$x ＜ -\dfrac{3}{a}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、不等式的基本性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题关键是先通过根的判别式确定参数a的取值范围，求解含参数的不等式时，要特别注意参数的正负性，避免遗漏不等号方向变化的情况。
【难度系数】
0.6
解题需分两步思考：第一步先求参数a的取值范围，已知给定方程是一元二次方程，因此首先满足二次项系数不为0，又因为方程没有实数根，所以判别式Δ＜0，计算判别式并解不等式即可得到a的范围；第二步解不等式ax+3＞0，此时需根据a的正负判断不等号方向是否改变，结合第一步得到的a的范围，就能求出最终解集。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(a-2)x^2 -2ax +a+1=0$是一元二次方程，且没有实数根
∴ $a-2≠0$，且判别式$\Delta＜0$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2a)^2 -4(a-2)(a+1)\\&=4a^2 -4(a^2 -a -2)\\&=4a^2 -4a^2 +4a +8\\&=4a +8\end{aligned}$
令$\Delta＜0$，即$4a+8＜0$，解得$a＜-2$，此时$a-2＜0$，满足二次项系数不为0的要求。
再解不等式$ax+3＞0$：
移项得$ax＞-3$，
∵ $a＜-2＜0$，不等式两边同时除以负数$a$，不等号方向改变，
∴ $x＜-\frac{3}{a}$。
【答案】
$x ＜ -\dfrac{3}{a}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、不等式的基本性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题关键是先通过根的判别式确定参数a的取值范围，求解含参数的不等式时，要特别注意参数的正负性，避免遗漏不等号方向变化的情况。
【难度系数】
0.6
1.当 m 的取值在什么范围内时,关于 x 的一元二次方程$mx^2 -4x +5=0$与$x^2 -4mx +4m^2 -3m -3=0$均有实数根? 是否存在整数 m,使得两个方程的根都是整数? 若存在,请求出;若不存在,请说明理由.
答案
1.解:对于方程 $mx^2-4x+5=0$,$b^2-4ac=16-20m$,
对于方程 $x^2-4mx+4m^2-3m-3=0$,$b^2-4ac=12m+12$.
由题意,可得$\begin{cases}16-20m≥0,\\12m+12≥0,\end{cases}$
解得$-1≤ m≤\frac{4}{5}$.
$\therefore$存在整数 $m$,使得两个方程均有实数根.
若 $m$ 为整数,$m$ 应取$-1$ 或 $0$.
当 $m=-1$ 时,方程 $mx^2-4x+5=0$ 变为$x^2+4x-5=0$,
此时解得 $x_1=-5$,$x_2=1$;
方程 $x^2-4mx+4m^2-3m-3=0$ 变为$x^2+4x+4=0$,
解得 $x_1=x_2=-2$.
当 $m=0$ 时,方程 $mx^2-4x+5=0$ 不是一元二次方程,
$\therefore m=0$ 应舍去,$\therefore m=-1$.
故存在整数 $m$,使得两个方程的根都是整数,此时 $m=-1$.
对于方程 $x^2-4mx+4m^2-3m-3=0$,$b^2-4ac=12m+12$.
由题意,可得$\begin{cases}16-20m≥0,\\12m+12≥0,\end{cases}$
解得$-1≤ m≤\frac{4}{5}$.
$\therefore$存在整数 $m$,使得两个方程均有实数根.
若 $m$ 为整数,$m$ 应取$-1$ 或 $0$.
当 $m=-1$ 时,方程 $mx^2-4x+5=0$ 变为$x^2+4x-5=0$,
此时解得 $x_1=-5$,$x_2=1$;
方程 $x^2-4mx+4m^2-3m-3=0$ 变为$x^2+4x+4=0$,
解得 $x_1=x_2=-2$.
当 $m=0$ 时,方程 $mx^2-4x+5=0$ 不是一元二次方程,
$\therefore m=0$ 应舍去,$\therefore m=-1$.
故存在整数 $m$,使得两个方程的根都是整数,此时 $m=-1$.
解析
【分析】
要解决这个问题分两步思考：第一步先确定两个一元二次方程均有实数根时m的取值范围，首先一元二次方程要求二次项系数不为0，且有实数根的条件是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，我们分别计算两个方程的判别式，联立不等式求解即可得到m的取值范围；第二步判断是否存在整数m让两个方程的根都是整数，先在第一步求出的m范围内找出所有整数，再逐个代入两个方程验证根是否为整数，同时注意排除不符合一元二次方程定义的m值。
【解析】
1. 求两个一元二次方程均有实根时m的取值范围：
对于一元二次方程$mx^2 -4x +5=0$，二次项系数$m≠0$，判别式$\Delta_1=(-4)^2 - 4× m ×5=16-20m$，方程有实根则$\Delta_1≥0$，即$16-20m≥0$，解得$m≤\frac{4}{5}$；
对于一元二次方程$x^2 -4mx +4m^2 -3m -3=0$，判别式$\Delta_2=(-4m)^2 -4×1×(4m^2 -3m -3)=12m+12$，方程有实根则$\Delta_2≥0$，即$12m+12≥0$，解得$m≥-1$；
联立以上条件，可得m的取值范围为$-1≤ m≤\frac{4}{5}$且$m≠0$。
2. 判断是否存在整数m使得两方程的根均为整数：
在$-1≤ m≤\frac{4}{5}$范围内的整数有$m=-1$和$m=0$，因为$m=0$时第一个方程不是一元二次方程，不符合题意，舍去；
将$m=-1$代入两个方程验证：
第一个方程变为$-x^2 -4x +5=0$，整理得$x^2 +4x -5=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=1$，均为整数；
第二个方程变为$x^2 +4x +4=0$，解得$x_1=x_2=-2$，均为整数，符合要求。
【答案】
当$-1≤ m≤\frac{4}{5}$且$m≠0$时，两个一元二次方程均有实数根；存在整数$m=-1$，使得两个方程的根都是整数。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，解题时要注意“一元二次方程”的隐含条件是二次项系数不为0，求出参数范围后要代入验证所有题干要求，避免出现多解、漏判的错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题分两步思考：第一步先确定两个一元二次方程均有实数根时m的取值范围，首先一元二次方程要求二次项系数不为0，且有实数根的条件是判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，我们分别计算两个方程的判别式，联立不等式求解即可得到m的取值范围；第二步判断是否存在整数m让两个方程的根都是整数，先在第一步求出的m范围内找出所有整数，再逐个代入两个方程验证根是否为整数，同时注意排除不符合一元二次方程定义的m值。
【解析】
1. 求两个一元二次方程均有实根时m的取值范围：
对于一元二次方程$mx^2 -4x +5=0$，二次项系数$m≠0$，判别式$\Delta_1=(-4)^2 - 4× m ×5=16-20m$，方程有实根则$\Delta_1≥0$，即$16-20m≥0$，解得$m≤\frac{4}{5}$；
对于一元二次方程$x^2 -4mx +4m^2 -3m -3=0$，判别式$\Delta_2=(-4m)^2 -4×1×(4m^2 -3m -3)=12m+12$，方程有实根则$\Delta_2≥0$，即$12m+12≥0$，解得$m≥-1$；
联立以上条件，可得m的取值范围为$-1≤ m≤\frac{4}{5}$且$m≠0$。
2. 判断是否存在整数m使得两方程的根均为整数：
在$-1≤ m≤\frac{4}{5}$范围内的整数有$m=-1$和$m=0$，因为$m=0$时第一个方程不是一元二次方程，不符合题意，舍去；
将$m=-1$代入两个方程验证：
第一个方程变为$-x^2 -4x +5=0$，整理得$x^2 +4x -5=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=1$，均为整数；
第二个方程变为$x^2 +4x +4=0$，解得$x_1=x_2=-2$，均为整数，符合要求。
【答案】
当$-1≤ m≤\frac{4}{5}$且$m≠0$时，两个一元二次方程均有实数根；存在整数$m=-1$，使得两个方程的根都是整数。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题，解题时要注意“一元二次方程”的隐含条件是二次项系数不为0，求出参数范围后要代入验证所有题干要求，避免出现多解、漏判的错误。
【难度系数】
0.6
2.【新定义问题】我们规定:对于任意实数 $a,b,c,d$，有 $[a,b]*[c,d]=ac-bd$，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$。
(1)求 $[-4,3]*[2,-6]$ 的值；
(2)已知关于 $x$ 的方程 $[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$ 有两个实数根，求 $m$ 的取值范围。
(1)求 $[-4,3]*[2,-6]$ 的值；
(2)已知关于 $x$ 的方程 $[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$ 有两个实数根，求 $m$ 的取值范围。
答案
2.解:(1)$[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10$.
(2)根据题意,
得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$,
整理,得 $mx^2+(1-2m)x+m=0$.
$\because$关于 $x$ 的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,
$\therefore \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0$,且 $m≠0$,
解得 $m≤\frac{1}{4}$且 $m≠0$.
(2)根据题意,
得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$,
整理,得 $mx^2+(1-2m)x+m=0$.
$\because$关于 $x$ 的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,
$\therefore \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0$,且 $m≠0$,
解得 $m≤\frac{1}{4}$且 $m≠0$.
解析
【分析】
（1）本题属于新定义运算类题目，首先需明确给定的运算规则：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，求解第一问时，直接将对应数值代入规则按常规四则运算计算即可。
（2）第二问先按照新运算规则将方程左侧展开，整理为关于$x$的方程形式；已知方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是根的判别式$\Delta≥0$，联立两个条件求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，将$a=-4,b=3,c=2,d=-6$代入得：
$\begin{aligned}[-4,3]*[2,-6]&=(-4)×2 - 3×(-6)\\&=-8+18\\&=10\end{aligned}$
(2) 按照新运算规则展开方程左侧：
$\begin{aligned}[x,2x-1]*[mx+1,m]&=x(mx+1)-m(2x-1)\\&=mx^2+x-2mx+m\\&=mx^2+(1-2m)x+m\end{aligned}$
即方程为$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 方程为一元二次方程，需满足：
① 二次项系数不为0：$m≠0$
② 根的判别式$\Delta≥0$：
$\begin{aligned}\Delta=(1-2m)^2-4· m· m&≥0\\1-4m+4m^2-4m^2&≥0\\1-4m&≥0\\m&≤\frac{1}{4}\end{aligned}$
综上，$m$的取值范围为$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义运算考察代数运算能力和一元二次方程相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，易错点是求解第二问时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需注意全面考虑约束条件。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于新定义运算类题目，首先需明确给定的运算规则：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，求解第一问时，直接将对应数值代入规则按常规四则运算计算即可。
（2）第二问先按照新运算规则将方程左侧展开，整理为关于$x$的方程形式；已知方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需同时满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是根的判别式$\Delta≥0$，联立两个条件求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，将$a=-4,b=3,c=2,d=-6$代入得：
$\begin{aligned}[-4,3]*[2,-6]&=(-4)×2 - 3×(-6)\\&=-8+18\\&=10\end{aligned}$
(2) 按照新运算规则展开方程左侧：
$\begin{aligned}[x,2x-1]*[mx+1,m]&=x(mx+1)-m(2x-1)\\&=mx^2+x-2mx+m\\&=mx^2+(1-2m)x+m\end{aligned}$
即方程为$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 方程为一元二次方程，需满足：
① 二次项系数不为0：$m≠0$
② 根的判别式$\Delta≥0$：
$\begin{aligned}\Delta=(1-2m)^2-4· m· m&≥0\\1-4m+4m^2-4m^2&≥0\\1-4m&≥0\\m&≤\frac{1}{4}\end{aligned}$
综上，$m$的取值范围为$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式应用
【点评】
本题结合新定义运算考察代数运算能力和一元二次方程相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，易错点是求解第二问时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，解题时需注意全面考虑约束条件。
【难度系数】
0.7
