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1. 下列说法中不正确的是(
A.方程 $5x^2 = x$ 只有一个实数根
B.方程 $x^2 - 8 = 0$ 有两个不相等的实数根
C.方程 $2x^2 - 3x + 2 = 0$ 没有实数根
D.当 $k ＞ \frac{2}{3}$ 且 $k ≠ 1$ 时，方程 $(k - 1)x^2 + 2x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根
A
)A.方程 $5x^2 = x$ 只有一个实数根
B.方程 $x^2 - 8 = 0$ 有两个不相等的实数根
C.方程 $2x^2 - 3x + 2 = 0$ 没有实数根
D.当 $k ＞ \frac{2}{3}$ 且 $k ≠ 1$ 时，方程 $(k - 1)x^2 + 2x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路为：先明确一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，再将每个选项的方程整理为一般形式，分别计算判别式$\Delta = b^2-4ac$的值，根据$\Delta$的正负判断根的数量，对于二次项系数含参数的选项，还要先保证二次项系数不为0，满足一元二次方程的定义，最后找出说法不正确的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
我们逐个分析选项：
选项A：将方程$5x^2=x$整理为一般形式得$5x^2 - x=0$，其中$a=5$，$b=-1$，$c=0$，计算得$\Delta=(-1)^2-4×5×0=1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，该选项说法错误。
选项B：方程$x^2-8=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-8$，计算得$\Delta=0^2-4×1×(-8)=32＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，该选项说法正确。
选项C：方程$2x^2-3x+2=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=2$，计算得$\Delta=(-3)^2-4×2×2=9-16=-7＜0$，因此方程没有实数根，该选项说法正确。
选项D：方程$(k-1)x^2+2x-3=0$有两个不相等的实数根，首先需满足二次项系数不为0，即$k-1≠0$，得$k≠1$；再满足判别式$\Delta＞0$，即$\Delta=2^2-4×(k-1)×(-3)=4+12(k-1)=12k-8＞0$，解得$k＞\frac{2}{3}$。因此当$k＞\frac{2}{3}$且$k≠1$时，方程有两个不相等的实数根，该选项说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式的应用，一元二次方程的定义
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题，解题时要注意：使用判别式判断根的个数的前提是方程为一元二次方程，需先确认二次项系数不为0；整理方程为一般形式时不要漏项，避免计算判别式时出错。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路为：先明确一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，再将每个选项的方程整理为一般形式，分别计算判别式$\Delta = b^2-4ac$的值，根据$\Delta$的正负判断根的数量，对于二次项系数含参数的选项，还要先保证二次项系数不为0，满足一元二次方程的定义，最后找出说法不正确的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
我们逐个分析选项：
选项A：将方程$5x^2=x$整理为一般形式得$5x^2 - x=0$，其中$a=5$，$b=-1$，$c=0$，计算得$\Delta=(-1)^2-4×5×0=1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，该选项说法错误。
选项B：方程$x^2-8=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-8$，计算得$\Delta=0^2-4×1×(-8)=32＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，该选项说法正确。
选项C：方程$2x^2-3x+2=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=2$，计算得$\Delta=(-3)^2-4×2×2=9-16=-7＜0$，因此方程没有实数根，该选项说法正确。
选项D：方程$(k-1)x^2+2x-3=0$有两个不相等的实数根，首先需满足二次项系数不为0，即$k-1≠0$，得$k≠1$；再满足判别式$\Delta＞0$，即$\Delta=2^2-4×(k-1)×(-3)=4+12(k-1)=12k-8＞0$，解得$k＞\frac{2}{3}$。因此当$k＞\frac{2}{3}$且$k≠1$时，方程有两个不相等的实数根，该选项说法正确。
综上，说法不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
根的判别式的应用，一元二次方程的定义
【点评】
本题属于根的判别式的常规应用题，解题时要注意：使用判别式判断根的个数的前提是方程为一元二次方程，需先确认二次项系数不为0；整理方程为一般形式时不要漏项，避免计算判别式时出错。
【难度系数】
0.7
2.方程$x^2 + 4x = 2$的正实数根为（
A.$x=2-\sqrt{6}$
B.$x=2+\sqrt{6}$
C.$x=-2-\sqrt{6}$
D.$x=-2+\sqrt{6}$
D
）A.$x=2-\sqrt{6}$
B.$x=2+\sqrt{6}$
C.$x=-2-\sqrt{6}$
D.$x=-2+\sqrt{6}$
答案
2.D 点拨:将方程 $x^2+4x=2$ 化为一般形式,得 $x^2+4x-2=0$,$\therefore a=1,b=4,c=-2$,$\therefore b^2-4ac=4^2-4×1×(-2)=24＞0$,$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×1}$,$\therefore x_1=-2+\sqrt{6}$,$x_2=-2-\sqrt{6}$,故正实数根为 $x=-2+\sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的正实数根，解题思路如下：第一步，先将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的值；第二步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步，代入求根公式求出方程的两个实数根；第四步，判断两个根的正负，选出正实数根即可。
【解析】
首先将方程$x^2 + 4x = 2$移项化为一般形式：
$x^2 + 4x - 2 = 0$
可得各项系数：$a=1$，$b=4$，$c=-2$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}=-2\pm\sqrt{6}$
即$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$
其中$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-2+\sqrt{6}＞0$，$-2-\sqrt{6}＜0$，故正实数根为$x=-2+\sqrt{6}$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.公式法解一元二次方程
2.实数正负判断
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，解题时需注意先将方程整理为一般形式再确定系数，求出所有根后要结合题目要求筛选出符合条件的根，避免直接求出根就盲目选择。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程的正实数根，解题思路如下：第一步，先将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，确定系数$a、b、c$的值；第二步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根；第三步，代入求根公式求出方程的两个实数根；第四步，判断两个根的正负，选出正实数根即可。
【解析】
首先将方程$x^2 + 4x = 2$移项化为一般形式：
$x^2 + 4x - 2 = 0$
可得各项系数：$a=1$，$b=4$，$c=-2$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}=-2\pm\sqrt{6}$
即$x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$
其中$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-2+\sqrt{6}＞0$，$-2-\sqrt{6}＜0$，故正实数根为$x=-2+\sqrt{6}$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.公式法解一元二次方程
2.实数正负判断
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，解题时需注意先将方程整理为一般形式再确定系数，求出所有根后要结合题目要求筛选出符合条件的根，避免直接求出根就盲目选择。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数$a$的值为(
A.－4
B.－1
C.1
D.4
C
)A.－4
B.－1
C.1
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出两个关键条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$。接下来我们只需确定方程各项系数，代入判别式公式建立关于$a$的方程，求解后验证$a$是否满足非零要求即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数 $a ≠ 0$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$
该方程中，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
化简得 $4 - 4a = 0$
解得 $a=1$，满足$a≠0$的条件。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，熟练掌握判别式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干给出两个关键条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即$a≠0$；二是方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式$\Delta=0$。接下来我们只需确定方程各项系数，代入判别式公式建立关于$a$的方程，求解后验证$a$是否满足非零要求即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数 $a ≠ 0$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$
该方程中，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
化简得 $4 - 4a = 0$
解得 $a=1$，满足$a≠0$的条件。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，熟练掌握判别式的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.【易错题】若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，分别求出两个条件对应的a的取值范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$
代入得：$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1≥0$
计算得：$4 - 4(a-1)≥0$
展开：$4 -4a +4≥0$
化简：$8-4a≥0$
移项得：$4a≤8$
解得：$a≤2$
综上，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式得到$a≤2$误选A，因此做此类题目时要先明确方程类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
要确定一元二次方程有实数根时参数a的取值范围，需分两步思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有实数根说明根的判别式Δ≥0，分别求出两个条件对应的a的取值范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$
代入得：$\Delta=2^2 - 4×(a-1)×1≥0$
计算得：$4 - 4(a-1)≥0$
展开：$4 -4a +4≥0$
化简：$8-4a≥0$
移项得：$4a≤8$
解得：$a≤2$
综上，a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式得到$a≤2$误选A，因此做此类题目时要先明确方程类型，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
5.【跨学科融合·物理】如图25－2－1，小球悬浮于液体中（$F_{浮}=G$）。若$F_{浮}=20\ \mathrm{N}$，小球质量为$(x^2 + x)\ \mathrm{kg}$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，则$x$的值为
－2或1
答案
5.－2或1
解析
【分析】
解题时首先利用题目给出的悬浮条件$F_{浮}=G$，结合重力计算公式$G=mg$，将已知数值代入得到关于$x$的等式，再整理为一元二次方程的标准形式，最后运用一元二次方程的求根公式求解即可得到$x$的值。
【解析】
解：根据题意，小球悬浮时$F_{浮}=G$，且重力$G=mg$，代入已知条件可得：
$20 = 10(x^2 + x)$
两边同时除以10，整理得标准一元二次方程：
$x^2 + x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-2) = 9 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{-1\pm3}{2}$
取正号时，$x_1 = \frac{-1+3}{2}=1$；
取负号时，$x_2 = \frac{-1-3}{2}=-2$。
【答案】
－2或1
【知识点】
一元二次方程求解、重力计算、浮沉条件
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理基础规律与数学一元二次方程的计算相结合，考查学生对不同学科基础知识的整合运用能力，解题时先根据物理关系列对等式是前提，正确求解一元二次方程是得分关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用题目给出的悬浮条件$F_{浮}=G$，结合重力计算公式$G=mg$，将已知数值代入得到关于$x$的等式，再整理为一元二次方程的标准形式，最后运用一元二次方程的求根公式求解即可得到$x$的值。
【解析】
解：根据题意，小球悬浮时$F_{浮}=G$，且重力$G=mg$，代入已知条件可得：
$20 = 10(x^2 + x)$
两边同时除以10，整理得标准一元二次方程：
$x^2 + x - 2 = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，
计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-2) = 9 ＞ 0$，
代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2×1} = \frac{-1\pm3}{2}$
取正号时，$x_1 = \frac{-1+3}{2}=1$；
取负号时，$x_2 = \frac{-1-3}{2}=-2$。
【答案】
－2或1
【知识点】
一元二次方程求解、重力计算、浮沉条件
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将物理基础规律与数学一元二次方程的计算相结合，考查学生对不同学科基础知识的整合运用能力，解题时先根据物理关系列对等式是前提，正确求解一元二次方程是得分关键。
【难度系数】
0.7
6.关于$x$的方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是
$m＜4$且$m≠0$
。答案
6.$m＜4$且$m≠0$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的充要条件是判别式大于0，代入系数求解不等式，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，
同时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等实数根需满足判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
将$a=m$，$b=4$，$c=1$代入判别式得：
$\Delta=4^2 - 4× m×1=16-4m＞0$，
解不等式$16-4m＞0$：
移项得$16＞4m$，两边同时除以4得$m＜4$，
综合两个限制条件，得$m$的取值范围是$m＜4$且$m≠0$。
【答案】
$m＜4$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的前提条件，直接仅通过判别式求解取值范围，解题时要先判断方程类型，再结合判别式的性质求解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先需明确：方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次，一元二次方程有两个不相等实根的充要条件是判别式大于0，代入系数求解不等式，再结合二次项系数不为0的限制，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，
同时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等实数根需满足判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，
将$a=m$，$b=4$，$c=1$代入判别式得：
$\Delta=4^2 - 4× m×1=16-4m＞0$，
解不等式$16-4m＞0$：
移项得$16＞4m$，两边同时除以4得$m＜4$，
综合两个限制条件，得$m$的取值范围是$m＜4$且$m≠0$。
【答案】
$m＜4$且$m≠0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型基础题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的前提条件，直接仅通过判别式求解取值范围，解题时要先判断方程类型，再结合判别式的性质求解。
【难度系数】
0.7
7.若关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 + x + m^2 + 2m - 3 = 0$有一个根为0，则m的值是
－3
。图25-2-1答案
7.－3
解析
【分析】
解题时先利用方程根的定义，将已知根x=0代入原方程，得到关于m的一元二次方程，解出m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 + x + m^2 + 2m - 3 = 0$有一个根为0，
∴ 将x=0代入方程，等式成立，即：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$
综上，m的值为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到m=1或m=-3的错误结论，解题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时先利用方程根的定义，将已知根x=0代入原方程，得到关于m的一元二次方程，解出m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 + x + m^2 + 2m - 3 = 0$有一个根为0，
∴ 将x=0代入方程，等式成立，即：
$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不为0，
∴ $m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$
综上，m的值为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义
【点评】
本题属于易错题，容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到m=1或m=-3的错误结论，解题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
8.【教材P12练习变式】用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - 3x -1=0$；
(2)$3x^2=5x+2$；
(3)$2x^2 -4x -1=0$；
(4)$4x^2 -3x +1=0$。
(1)$x^2 - 3x -1=0$；
(2)$3x^2=5x+2$；
(3)$2x^2 -4x -1=0$；
(4)$4x^2 -3x +1=0$。
答案
8.解:(1)因为 $a=1,b=-3,c=-1$,
所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-1)=13$,
所以 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)整理,得 $3x^2-5x-2=0$.
因为 $a=3,b=-5,c=-2$,
所以 $b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49$,
所以 $x_1=\frac{5+7}{6}=2$,$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$.
(3)因为 $a=2,b=-4,c=-1$,
所以 $b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$,
所以 $x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$,
所以 $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$,$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$.
(4)因为 $a=4,b=-3,c=1$,
所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×4×1=-7＜0$,
所以方程无实数根.
所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-1)=13$,
所以 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)整理,得 $3x^2-5x-2=0$.
因为 $a=3,b=-5,c=-2$,
所以 $b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-2)=49$,
所以 $x_1=\frac{5+7}{6}=2$,$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$.
(3)因为 $a=2,b=-4,c=-1$,
所以 $b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$,
所以 $x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$,
所以 $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$,$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$.
(4)因为 $a=4,b=-3,c=1$,
所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×4×1=-7＜0$,
所以方程无实数根.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x -1=0$，得$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-1)=13＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 先将方程移项整理为一般形式：$3x^2-5x-2=0$，
得$a=3$，$b=-5$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，
即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 对于方程$2x^2 -4x -1=0$，得$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
(4) 对于方程$4x^2 -3x +1=0$，得$a=4$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = (-3)^2-4×4×1=-7＜0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$；
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$；
(4) 无实数根。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，解题核心是先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的值，尤其要注意各项的符号，计算判别式是判断根的情况的关键，当判别式小于0时无需代入求根公式，直接判断无实根即可。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定解题步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意各项符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x -1=0$，得$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-1)=13＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 先将方程移项整理为一般形式：$3x^2-5x-2=0$，
得$a=3$，$b=-5$，$c=-2$，
判别式$\Delta = (-5)^2-4×3×(-2)=49＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{5\pm7}{6}$，
即$x_1=\frac{5+7}{6}=2$，$x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3}$。
(3) 对于方程$2x^2 -4x -1=0$，得$a=2$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = (-4)^2-4×2×(-1)=24＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
即$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$。
(4) 对于方程$4x^2 -3x +1=0$，得$a=4$，$b=-3$，$c=1$，
判别式$\Delta = (-3)^2-4×4×1=-7＜0$，
因此该方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$；
(3) $x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$；
(4) 无实数根。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题是公式法解方程的基础训练题，解题核心是先将方程化为一般形式再确定$a、b、c$的值，尤其要注意各项的符号，计算判别式是判断根的情况的关键，当判别式小于0时无需代入求根公式，直接判断无实根即可。
【难度系数】
0.8
