1.如果$x=m$是方程$\frac{1}{2}x - m = 1$的解，那么$m$的值是。

解：把$x=m$代入方程$\frac{1}{2}x - m = 1$，得
$\frac{1}{2}m - m = 1$
合并同类项，得
$-\frac{1}{2}m = 1$
系数化为1，得
$m = -2$

【分析】
要解决这道题，首先回忆方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=m是给定方程的解，第一步可将x替换成m代入原方程，得到仅含未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（合并同类项、系数化为1）计算，即可求出m的值。
【解析】
把$x=m$代入方程$\frac{1}{2}x - m = 1$，得
$\frac{1}{2}m - m = 1$
合并同类项，得
$-\frac{1}{2}m = 1$
系数化为1，得
$m = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次方程解的概念的应用，同时巩固解一元一次方程的基本运算能力，理解方程解的含义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2. 方程 $x + 3x = -8$ 的解是.

解：合并同类项，得
$4x = -8$
系数化为1，得
$x = -2$

【分析】
本题是基础的一元一次方程求解问题，解题思路清晰：首先观察方程左侧均为含x的同类项，先合并同类项将方程化简为ax=b的标准形式，再利用等式的性质将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：合并同类项，得
$4x = -8$
系数化为1，得
$x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的入门题型，主要考察解一元一次方程的基础步骤，掌握合并同类项和系数化为1的操作方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

3.若－5x，3x，－x的和是9，则x=。

解：根据题意列方程，得
$-5x + 3x - x = 9$
合并同类项，得
$-3x = 9$
系数化为1，得
$x = -3$

【分析】
解题时先根据题目中“三个式子的和是9”的文字描述，将其转化为数学方程，即把-5x、3x、-x相加等于9，得到关于x的一元一次方程；再按照解一元一次方程的步骤，先合并同类项化简方程，最后将x的系数化为1即可求出x的值。
【解析】
根据题意列方程，得
$-5x + 3x - x = 9$
合并同类项，得
$-3x = 9$
系数化为1，得
$x = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
列一元一次方程；合并同类项；解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，主要考查文字信息转化为数学等式的能力，以及一元一次方程的基础解法，掌握解方程的常规步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

4.若三个连续奇数的和为27，则这三个数分别为。

解：设中间的奇数为x，则其余两个连续奇数分别为x-2，x+2。
根据题意列方程，得
$(x-2) + x + (x+2) = 27$
合并同类项，得
$3x = 27$
系数化为1，得
$x = 9$
则$x-2=7$，$x+2=11$。
这三个数分别为7，9，11。

【分析】
连续奇数的特征是相邻两个奇数的差为2，解题时为了简化计算，我们可以设中间的奇数为x，那么另外两个连续奇数就可以分别表示为x-2和x+2，再根据“三个连续奇数的和为27”这个等量关系列出一元一次方程，解方程求出中间奇数的数值后，就能推出另外两个奇数的结果。
【解析】
解：设中间的奇数为x，则其余两个连续奇数分别为x-2，x+2。
根据题意列方程，得
$(x-2) + x + (x+2) = 27$
合并同类项，得
$3x = 27$
系数化为1，得
$x = 9$
则$x-2=7$，$x+2=11$。
【答案】
7，9，11
【知识点】
一元一次方程的应用；奇数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程应用的基础题型，解题的核心是准确把握连续奇数的特征，合理选择未知数简化运算，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85

5.某人把720 cm长的铁丝分成两段，分别做成大、小两个正方形数学模型.已知两个正方形的边长比是4:5，设小正方形的边长为4x cm，则大正方形的边长为，根据题意，列出方程为.
所以这两个正方形的边长分别是.

解：
大正方形的边长为$5x\ \mathrm{cm}$，
根据题意，列出方程为$4× 4x + 4× 5x = 720$。
解方程：
$16x + 20x = 720$
$36x = 720$
$x = 20$
则$4x=80$，$5x=100$，所以这两个正方形的边长分别是$80\ \mathrm{cm}$和$100\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先根据两个正方形的边长比4:5，结合已知设小正方形边长为4x cm，可直接推出大正方形的边长表达式；再明确铁丝总长度等于两个正方形的周长之和，利用正方形周长=4×边长的公式，分别表示出两个正方形的周长，相加等于总长度720 cm即可列出方程；最后解方程求出x的值，代入边长表达式就能得到两个正方形的实际边长。
【解析】
已知两个正方形的边长比是4:5，小正方形的边长为4x cm，则大正方形的边长为5x cm。
正方形的周长=4×边长，因此小正方形周长为$4×4x$ cm，大正方形周长为$4×5x$ cm，由铁丝总长720 cm可列方程：
$4× 4x + 4× 5x = 720$
解方程：
合并同类项得：$16x + 20x = 720$，即$36x = 720$
系数化为1得：$x = 20$
则小正方形边长：$4x = 4×20 = 80$（cm）
大正方形边长：$5x = 5×20 = 100$（cm）
【答案】
$5x\ \mathrm{cm}$；$4× 4x + 4× 5x = 720$；$80\ \mathrm{cm}$和$100\ \mathrm{cm}$
【知识点】
一元一次方程的应用；正方形周长计算；比的应用
【点评】
本题属于基础类的方程应用题，解题关键是抓住周长总和的等量关系，结合比例正确表示未知量，计算难度低，解题时注意区分边长和周长，避免漏乘4即可。
【难度系数】
0.8

6.解下列方程：
(1)$-3x+5x=5$；
(2)$0.1x-0.7x-0.9x=3$。

解：
(1) 合并同类项，得
$2x=5$
系数化为1，得
$x=\frac{5}{2}$
(2) 合并同类项，得
$-1.5x=3$
系数化为1，得
$x=-2$

【分析】
这两道题是一元一次方程的基础求解题目，解题按照“合并同类项→系数化为1”的步骤开展即可。首先观察方程左侧均为含未知数x的同类项，第一步先将同类项的系数相加，字母和x的次数保持不变，把方程化简为$ax=b$（$a\ne0$）的形式；第二步方程两边同时除以未知数的系数$a$，就能得到x的解，计算时要注意系数的正负，避免符号运算出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$2x=5$
系数化为1，得
$x=\frac{5}{2}$
(2) 合并同类项，得
$-1.5x=3$
系数化为1，得
$x=-2$
【答案】
(1)$x=\frac{5}{2}$；(2)$x=-2$
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；系数化为1
【点评】
本题属于解一元一次方程的入门题型，主要考察合并同类项的运算规则和系数化为1的基本操作，计算过程中需要注意系数的符号，避免因符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.9

7.△，□，○，☆各代表一个数.
(1)已知△+□=24，△=□+□+□.求△和□的值.
甲：“1个△等于3个□的和.”
乙：“把△+□=24中的△换成□+□+□，这叫等量代换.”
(2)已知○+☆=160，◎+☆=160，○是否等于◎？
丙：“两个等式里都有☆，可以利用等式的性质思考.”

解：
(1) 把$△ = □ + □ + □$代入$△ + □ = 24$，得：
$□ + □ + □ + □ = 24$
合并同类项，得$4□ = 24$
系数化为1，得$□ = 6$
则$△ = 6 + 6 + 6 = 18$
(2) 根据等式的性质1，对$◯ + ☆ = 160$两边同时减去$☆$，得：
$◯ = 160 - ☆$
同理，对$◎ + ☆ = 160$两边同时减去$☆$，得：
$◎ = 160 - ☆$
因此$◯ = ◎$，即$◯$等于$◎$。
答：(1) $△$的值为18，$□$的值为6；(2) $◯$等于$◎$。

【分析】
(1) 先观察已知的两个关系式，发现△可以用3个的和表示，利用等量代换方法，将△+=24中的△替换为3个相加，此时式子仅含一个未知数，转化为简单的一元一次方程，先求出的值，再代入关系式就能求出△的值。
(2) 观察两个等式，发现式子右侧均为160，且都含有加数☆，根据等式的性质，等式两边同时减去同一个数等式仍然成立，分别把两个等式两边同时减☆，得到○和◎的表达式，对比表达式即可判断二者是否相等。
【解析】
(1) 把$△ = □ + □ + □$代入$△ + □ = 24$，得：
$□ + □ + □ + □ = 24$
合并同类项得$4□ = 24$
两边同时除以4，得$□ = 6$
将$□=6$代入$△ = □ + □ + □$，得$△ = 6×3 = 18$
(2) 根据等式的性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立。
对$○ + ☆ = 160$两边同时减去☆，得：$○ = 160 - ☆$
对$◎ + ☆ = 160$两边同时减去☆，得：$◎ = 160 - ☆$
因此$○ = ◎$
【答案】
(1) $△$的值为18，$□$的值为6；(2) $○$等于$◎$。
【知识点】
等量代换、等式的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题属于代数基础运算题型，重点考察等量代换思想和等式性质的应用，解题思路清晰、方法固定，掌握基础知识点即可轻松解答，是锻炼代数逻辑思维的典型基础题。
【难度系数】
0.8

8. 提升题 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.第二天到第六天每天分别走了多少里？

解：设第一天走了$x$里，
则第二天走了$\frac{1}{2}x$里，第三天走了$\frac{1}{4}x$里，第四天走了$\frac{1}{8}x$里，第五天走了$\frac{1}{16}x$里，第六天走了$\frac{1}{32}x$里。
根据题意列方程：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}x+\frac{1}{32}x=378$
合并同类项，得：
$\frac{63}{32}x=378$
系数化为1，得：
$x=192$
第二天走的路程：$\frac{1}{2}×192=96$（里）
第三天走的路程：$\frac{1}{4}×192=48$（里）
第四天走的路程：$\frac{1}{8}×192=24$（里）
第五天走的路程：$\frac{1}{16}×192=12$（里）
第六天走的路程：$\frac{1}{32}×192=6$（里）
答：第二天走了96里，第三天走了48里，第四天走了24里，第五天走了12里，第六天走了6里。

【分析】
解题时首先梳理题目条件：总路程为378里，一共走了6天，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半。我们可以先设第一天走的路程为未知数，再根据每天路程的倍半关系依次表示出第二天到第六天的路程，再根据“6天走的路程之和等于总路程”的等量关系列一元一次方程，解出第一天的路程后，再分别计算后五天的路程即可。
【解析】
设第一天走了$x$里，
则第二天走了$\frac{1}{2}x$里，第三天走了$\frac{1}{4}x$里，第四天走了$\frac{1}{8}x$里，第五天走了$\frac{1}{16}x$里，第六天走了$\frac{1}{32}x$里。
根据题意列方程：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}x+\frac{1}{32}x=378$
合并同类项，得：
$\frac{63}{32}x=378$
系数化为1，得：
$x=192$
第二天走的路程：$\frac{1}{2}×192=96$（里）
第三天走的路程：$\frac{1}{4}×192=48$（里）
第四天走的路程：$\frac{1}{8}×192=24$（里）
第五天走的路程：$\frac{1}{16}×192=12$（里）
第六天走的路程：$\frac{1}{32}×192=6$（里）
【答案】
第二天走了96里，第三天走了48里，第四天走了24里，第五天走了12里，第六天走了6里。
【知识点】
一元一次方程应用，解一元一次方程，实际问题建模
【点评】
本题结合古代数学著作的经典问题，考查运用一元一次方程解决实际问题的能力，解题的关键是找准每天路程的数量关系和总路程的等量关系，正确列解方程，有助于提升数学文化素养和方程应用能力。
【难度系数】
0.6