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1. 请说明下列等式是怎样变形的.
(1)将等式 $ x - 5 = 2 $ 的两边 ______，得到 $ x = 7 $，依据的是 ______；
(2)将等式 $ x + 6 = 8 $ 的两边 ______，得到 $ x = 2 $，依据的是 ______；
(3)将等式 $ 4x = 12 $ 的两边 ______，得到 $ x = 3 $，依据的是 ______；
(4)将等式 $ \frac{1}{2}x = 7 $ 的两边 ______，得到 $ x = 14 $，依据的是 ______。
(1)将等式 $ x - 5 = 2 $ 的两边 ______，得到 $ x = 7 $，依据的是 ______；
(2)将等式 $ x + 6 = 8 $ 的两边 ______，得到 $ x = 2 $，依据的是 ______；
(3)将等式 $ 4x = 12 $ 的两边 ______，得到 $ x = 3 $，依据的是 ______；
(4)将等式 $ \frac{1}{2}x = 7 $ 的两边 ______，得到 $ x = 14 $，依据的是 ______。
答案
解：
(1) 同时加上5；等式的性质1
(2) 同时减去6；等式的性质1
(3) 同时除以4；等式的性质2
(4) 同时乘2；等式的性质2
(1) 同时加上5；等式的性质1
(2) 同时减去6；等式的性质1
(3) 同时除以4；等式的性质2
(4) 同时乘2；等式的性质2
解析
【分析】
本题考查等式的变形应用，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，目标是将等式左侧变形为仅含x的形式。解题时先观察x旁的运算：若为加/减某个常数，就通过两边同时减/加同一个常数消去常数项，对应使用等式性质1；若为乘/除以某个非零系数，就通过两边同时除以/乘同一个非零数将系数化为1，对应使用等式性质2。
【解析】
(1) 等式$x-5=2$左侧有$-5$，要得到$x$，需给两边同时加5，左侧变为$x-5+5=x$，右侧变为$2+5=7$，依据为等式的性质1。
(2) 等式$x+6=8$左侧有$+6$，要得到$x$，需给两边同时减6，左侧变为$x+6-6=x$，右侧变为$8-6=2$，依据为等式的性质1。
(3) 等式$4x=12$中x的系数为4，要将系数化为1，需给两边同时除以4，左侧变为$4x÷4=x$，右侧变为$12÷4=3$，依据为等式的性质2。
(4) 等式$\frac{1}{2}x=7$中x的系数为$\frac{1}{2}$，要将系数化为1，需给两边同时乘2，左侧变为$\frac{1}{2}x×2=x$，右侧变为$7×2=14$，依据为等式的性质2。
【答案】
(1) 同时加上5；等式的性质1
(2) 同时减去6；等式的性质1
(3) 同时除以4；等式的性质2
(4) 同时乘2；等式的性质2
【知识点】
等式的性质1、等式的性质2、等式的变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式基本性质的掌握与应用能力，是后续学习解方程的核心基础，解题时明确变形目标，匹配对应等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查等式的变形应用，解题核心是熟练掌握等式的两个基本性质，目标是将等式左侧变形为仅含x的形式。解题时先观察x旁的运算：若为加/减某个常数，就通过两边同时减/加同一个常数消去常数项，对应使用等式性质1；若为乘/除以某个非零系数，就通过两边同时除以/乘同一个非零数将系数化为1，对应使用等式性质2。
【解析】
(1) 等式$x-5=2$左侧有$-5$，要得到$x$，需给两边同时加5，左侧变为$x-5+5=x$，右侧变为$2+5=7$，依据为等式的性质1。
(2) 等式$x+6=8$左侧有$+6$，要得到$x$，需给两边同时减6，左侧变为$x+6-6=x$，右侧变为$8-6=2$，依据为等式的性质1。
(3) 等式$4x=12$中x的系数为4，要将系数化为1，需给两边同时除以4，左侧变为$4x÷4=x$，右侧变为$12÷4=3$，依据为等式的性质2。
(4) 等式$\frac{1}{2}x=7$中x的系数为$\frac{1}{2}$，要将系数化为1，需给两边同时乘2，左侧变为$\frac{1}{2}x×2=x$，右侧变为$7×2=14$，依据为等式的性质2。
【答案】
(1) 同时加上5；等式的性质1
(2) 同时减去6；等式的性质1
(3) 同时除以4；等式的性质2
(4) 同时乘2；等式的性质2
【知识点】
等式的性质1、等式的性质2、等式的变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式基本性质的掌握与应用能力，是后续学习解方程的核心基础，解题时明确变形目标，匹配对应等式性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.下列结论正确的是________（填序号）.
①若$m=n$，则$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$；②若$-2x+2=-2y+2$，则$x=y$；③若$am=bm$，则$a=b$；④若$a=b$，则$am=bm$.
①若$m=n$，则$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$；②若$-2x+2=-2y+2$，则$x=y$；③若$am=bm$，则$a=b$；④若$a=b$，则$am=bm$.
答案
解：
对于①，根据等式的性质2，等式$m=n$两边同时除以3，得$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$，故①正确；
对于②，等式$-2x+2=-2y+2$两边同时减去2，得$-2x=-2y$，再根据等式的性质2，两边同时除以$-2$，得$x=y$，故②正确；
对于③，当$m=0$时，$am=bm$恒成立，无法推出$a=b$，故③错误；
对于④，根据等式的性质2，等式$a=b$两边同时乘$m$，得$am=bm$，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
对于①，根据等式的性质2，等式$m=n$两边同时除以3，得$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$，故①正确；
对于②，等式$-2x+2=-2y+2$两边同时减去2，得$-2x=-2y$，再根据等式的性质2，两边同时除以$-2$，得$x=y$，故②正确；
对于③，当$m=0$时，$am=bm$恒成立，无法推出$a=b$，故③错误；
对于④，根据等式的性质2，等式$a=b$两边同时乘$m$，得$am=bm$，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质，再逐条分析4个结论是否符合等式性质的要求，特别注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，对容易出错的结论③要考虑特殊值m=0的情况，最终筛选出所有正确的结论。
【解析】
①若$m=n$，根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的3，可得$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$，故①正确；
②对于$-2x+2=-2y+2$，先根据等式的性质1，两边同时减去2，得$-2x=-2y$，再根据等式的性质2，两边同时除以不为0的$-2$，得$x=y$，故②正确；
③若$am=bm$，当$m=0$时，无论a、b取何值，等式都成立，因此无法直接推出$a=b$，故③错误；
④若$a=b$，根据等式的性质2，等式两边同时乘$m$，无论m取何值，都有$am=bm$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题重点考查对等式性质的理解与应用，易错点是分析结论③时忽略“等式两边除以同一个数时，这个数不能为0”的限制，误判③正确，解题时要重点关注除法变形的前提条件。
【难度系数】
0.7
本题考查等式性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质，再逐条分析4个结论是否符合等式性质的要求，特别注意等式两边同时除以同一个数时，这个数不能为0，对容易出错的结论③要考虑特殊值m=0的情况，最终筛选出所有正确的结论。
【解析】
①若$m=n$，根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的3，可得$\frac{m}{3}=\frac{n}{3}$，故①正确；
②对于$-2x+2=-2y+2$，先根据等式的性质1，两边同时减去2，得$-2x=-2y$，再根据等式的性质2，两边同时除以不为0的$-2$，得$x=y$，故②正确；
③若$am=bm$，当$m=0$时，无论a、b取何值，等式都成立，因此无法直接推出$a=b$，故③错误；
④若$a=b$，根据等式的性质2，等式两边同时乘$m$，无论m取何值，都有$am=bm$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题重点考查对等式性质的理解与应用，易错点是分析结论③时忽略“等式两边除以同一个数时，这个数不能为0”的限制，误判③正确，解题时要重点关注除法变形的前提条件。
【难度系数】
0.7
3.已知等式$3x - 8 = 1$,两边加,得$3x =$;再两边,得$x =$.
答案
解：已知等式$3x - 8 = 1$，两边加$\boldsymbol{8}$，得$3x = \boldsymbol{9}$；再两边同时除以3，得$x = \boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
解题时要依据等式的基本性质逐步变形。首先观察等式左边为$3x-8$，要消去常数项$-8$，根据等式两边加（或减）同一个数，等式仍然成立的规则，给两边同时加8，即可得到仅含未知数项的左边$3x$，同时算出右侧的结果；接下来要将$x$的系数化为1，根据等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立的规则，给两边同时除以$x$的系数3，就能求出$x$的取值。
【解析】
1. 处理等式$3x - 8 = 1$，根据等式的性质，两边同时加8：
$3x - 8 + 8 = 1 + 8$
化简计算得$3x = 9$。
2. 对等式$3x=9$，根据等式的性质，两边同时除以3：
$3x ÷ 3 = 9 ÷ 3$
化简计算得$x = 3$。
【答案】
8；9；同时除以3；3
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用，是解一元一次方程的核心基础，解题时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，才能保证等式始终成立。
【难度系数】
0.9
解题时要依据等式的基本性质逐步变形。首先观察等式左边为$3x-8$，要消去常数项$-8$，根据等式两边加（或减）同一个数，等式仍然成立的规则，给两边同时加8，即可得到仅含未知数项的左边$3x$，同时算出右侧的结果；接下来要将$x$的系数化为1，根据等式两边除以同一个不为0的数，等式仍然成立的规则，给两边同时除以$x$的系数3，就能求出$x$的取值。
【解析】
1. 处理等式$3x - 8 = 1$，根据等式的性质，两边同时加8：
$3x - 8 + 8 = 1 + 8$
化简计算得$3x = 9$。
2. 对等式$3x=9$，根据等式的性质，两边同时除以3：
$3x ÷ 3 = 9 ÷ 3$
化简计算得$x = 3$。
【答案】
8；9；同时除以3；3
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用，是解一元一次方程的核心基础，解题时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，才能保证等式始终成立。
【难度系数】
0.9
4.某益智节目有这样一个问题:如图,两个天平都平衡,根据图示可知3个球的质量等于个正方体的质量.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
天平平衡说明左右两侧物体总质量相等，我们可以先设未知数表示三种物体的质量，根据两个天平的平衡关系列出对应的等式，再以圆柱的质量为中间量，通过等式的性质消去中间量，得到球和正方体的质量关系，最终求出3个球对应的正方体数量。
【解析】
设每个球的质量为$x$，每个圆柱的质量为$y$，每个正方体的质量为$z$。
根据第一个天平平衡可得：$2x=5y$ ①
根据第二个天平平衡可得：$2z=3y$ ②
为消去$y$，将①式左右两边同时乘3，得：$6x=15y$ ③
将②式左右两边同时乘5，得：$10z=15y$ ④
结合③④可得$6x=10z$，等式两边同时除以2，得$3x=5z$。
即3个球的质量等于5个正方体的质量。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
等式的性质，等量代换，消元思想
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的转化，解题关键是找准圆柱这个中间量，通过等式变形消去中间量，建立球和正方体的质量关系，考查学生转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
天平平衡说明左右两侧物体总质量相等，我们可以先设未知数表示三种物体的质量，根据两个天平的平衡关系列出对应的等式，再以圆柱的质量为中间量，通过等式的性质消去中间量，得到球和正方体的质量关系，最终求出3个球对应的正方体数量。
【解析】
设每个球的质量为$x$，每个圆柱的质量为$y$，每个正方体的质量为$z$。
根据第一个天平平衡可得：$2x=5y$ ①
根据第二个天平平衡可得：$2z=3y$ ②
为消去$y$，将①式左右两边同时乘3，得：$6x=15y$ ③
将②式左右两边同时乘5，得：$10z=15y$ ④
结合③④可得$6x=10z$，等式两边同时除以2，得$3x=5z$。
即3个球的质量等于5个正方体的质量。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
等式的性质，等量代换，消元思想
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等量关系的转化，解题关键是找准圆柱这个中间量，通过等式变形消去中间量，建立球和正方体的质量关系，考查学生转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 利用等式的性质解方程.
(1)$4x -6=-10$;
(2)$-7x -5=9$;
(3)$2x -1=5$;
(4)$2x=x+3$.
(1)$4x -6=-10$;
(2)$-7x -5=9$;
(3)$2x -1=5$;
(4)$2x=x+3$.
答案
解：
(1) 等式两边同时加6，得
$4x -6 +6 = -10 +6$
化简，得 $4x = -4$
等式两边同时除以4，得
$x = -1$
(2) 等式两边同时加5，得
$-7x -5 +5 = 9 +5$
化简，得 $-7x = 14$
等式两边同时除以$-7$，得
$x = -2$
(3) 等式两边同时加1，得
$2x -1 +1 = 5 +1$
化简，得 $2x = 6$
等式两边同时除以2，得
$x = 3$
(4) 等式两边同时减$x$，得
$2x -x = x +3 -x$
化简，得 $x = 3$
(1) 等式两边同时加6，得
$4x -6 +6 = -10 +6$
化简，得 $4x = -4$
等式两边同时除以4，得
$x = -1$
(2) 等式两边同时加5，得
$-7x -5 +5 = 9 +5$
化简，得 $-7x = 14$
等式两边同时除以$-7$，得
$x = -2$
(3) 等式两边同时加1，得
$2x -1 +1 = 5 +1$
化简，得 $2x = 6$
等式两边同时除以2，得
$x = 3$
(4) 等式两边同时减$x$，得
$2x -x = x +3 -x$
化简，得 $x = 3$
解析
【分析】
解这类方程要用到等式的两条核心性质：性质1为等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路可分为两步：第一步利用等式性质1，消去方程左边的常数项，若方程两边都含有未知项，就同时消去其中一边的未知项，将方程转化为“ax=b（a≠0）”的形式；第二步利用等式性质2，在等式两边同时除以未知数的系数a，把系数化为1，即可得到方程的解，变形过程中要注意等式两边必须同时进行相同运算，避免出现符号错误。
【解析】
解：
(1) 等式两边同时加6，得
$4x -6 +6 = -10 +6$
化简，得 $4x = -4$
等式两边同时除以4，得
$x = -1$
(2) 等式两边同时加5，得
$-7x -5 +5 = 9 +5$
化简，得 $-7x = 14$
等式两边同时除以$-7$，得
$x = -2$
(3) 等式两边同时加1，得
$2x -1 +1 = 5 +1$
化简，得 $2x = 6$
等式两边同时除以2，得
$x = 3$
(4) 等式两边同时减$x$，得
$2x -x = x +3 -x$
化简，得 $x = 3$
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=-2$；(3)$x=3$；(4)$x=3$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对等式性质的理解与运用，解题时需严格遵循等式性质进行变形，计算过程中注意符号运算，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.85
解这类方程要用到等式的两条核心性质：性质1为等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路可分为两步：第一步利用等式性质1，消去方程左边的常数项，若方程两边都含有未知项，就同时消去其中一边的未知项，将方程转化为“ax=b（a≠0）”的形式；第二步利用等式性质2，在等式两边同时除以未知数的系数a，把系数化为1，即可得到方程的解，变形过程中要注意等式两边必须同时进行相同运算，避免出现符号错误。
【解析】
解：
(1) 等式两边同时加6，得
$4x -6 +6 = -10 +6$
化简，得 $4x = -4$
等式两边同时除以4，得
$x = -1$
(2) 等式两边同时加5，得
$-7x -5 +5 = 9 +5$
化简，得 $-7x = 14$
等式两边同时除以$-7$，得
$x = -2$
(3) 等式两边同时加1，得
$2x -1 +1 = 5 +1$
化简，得 $2x = 6$
等式两边同时除以2，得
$x = 3$
(4) 等式两边同时减$x$，得
$2x -x = x +3 -x$
化简，得 $x = 3$
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=-2$；(3)$x=3$；(4)$x=3$
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对等式性质的理解与运用，解题时需严格遵循等式性质进行变形，计算过程中注意符号运算，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.85
6.已知$2x^2 + 3x = 5$,请你用等式的性质求多项式$4x^2 + 6x + 6$的值.
答案
解：
已知$2x^2 + 3x = 5$，
根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得：
$2×(2x^2 + 3x) = 5×2$，
即$4x^2 + 6x = 10$。
根据等式的性质1，等式两边同时加6，得：
$4x^2 + 6x + 6 = 10 + 6 = 16$。
答：多项式$4x^2 + 6x + 6$的值为16。
已知$2x^2 + 3x = 5$，
根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得：
$2×(2x^2 + 3x) = 5×2$，
即$4x^2 + 6x = 10$。
根据等式的性质1，等式两边同时加6，得：
$4x^2 + 6x + 6 = 10 + 6 = 16$。
答：多项式$4x^2 + 6x + 6$的值为16。
解析
【分析】
首先观察待求多项式$4x^2 + 6x + 6$的前两项$4x^2+6x$，与已知条件中的$2x^2+3x$存在2倍的倍数关系，因此不用单独求解x的值，可采用整体代入的思路解题：先利用等式的性质2，将已知等式两边同时乘2，得到$4x^2+6x$的值，再利用等式的性质1，给所得等式两边同时加6，即可求出目标多项式的值。
【解析】
已知$2x^2 + 3x = 5$，
根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得：
$2×(2x^2 + 3x) = 5×2$，
即$4x^2 + 6x = 10$。
根据等式的性质1，等式两边同时加6，得：
$4x^2 + 6x + 6 = 10 + 6 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用和整体代入的数学思想，不需要求出未知数x的具体值，通过对已知式子变形即可快速得到结果，能有效锻炼代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
首先观察待求多项式$4x^2 + 6x + 6$的前两项$4x^2+6x$，与已知条件中的$2x^2+3x$存在2倍的倍数关系，因此不用单独求解x的值，可采用整体代入的思路解题：先利用等式的性质2，将已知等式两边同时乘2，得到$4x^2+6x$的值，再利用等式的性质1，给所得等式两边同时加6，即可求出目标多项式的值。
【解析】
已知$2x^2 + 3x = 5$，
根据等式的性质2，等式两边同时乘2，得：
$2×(2x^2 + 3x) = 5×2$，
即$4x^2 + 6x = 10$。
根据等式的性质1，等式两边同时加6，得：
$4x^2 + 6x + 6 = 10 + 6 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查等式性质的灵活运用和整体代入的数学思想，不需要求出未知数x的具体值，通过对已知式子变形即可快速得到结果，能有效锻炼代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8
7. 提升题 已知$2a+3=2b-1$，请你利用等式的性质比较a与b的大小。
答案
解：等式两边同时减去3，得
$2a = 2b - 4$
等式两边同时减去$2b$，得
$2a - 2b = -4$
等式两边同时除以2，得
$a - b = -2$
因为$-2 ＜ 0$，所以$a - b ＜ 0$，可得$a ＜ b$。
$2a = 2b - 4$
等式两边同时减去$2b$，得
$2a - 2b = -4$
等式两边同时除以2，得
$a - b = -2$
因为$-2 ＜ 0$，所以$a - b ＜ 0$，可得$a ＜ b$。
解析
【分析】
要比较a和b的大小，通常可以通过判断a-b的正负来推导，因此我们可以利用等式的性质对已知等式逐步变形，将含a、b的项整理到等式的同一侧，常数项整理到另一侧，最终求出a-b的值，根据值的正负就能判断a和b的大小关系。
【解析】
解：等式两边同时减去3，得
$2a = 2b - 4$
等式两边同时减去$2b$，得
$2a - 2b = -4$
等式两边同时除以2，得
$a - b = -2$
因为$-2 ＜ 0$，所以$a - b ＜ 0$，可得$a ＜ b$。
【答案】
$a＜b$
【知识点】
等式的基本性质，作差法比较大小
【点评】
本题是等式性质的典型应用，核心是通过合理的等式变形得到两个未知数的差，再根据差的正负判断大小，熟练掌握等式变形的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要比较a和b的大小，通常可以通过判断a-b的正负来推导，因此我们可以利用等式的性质对已知等式逐步变形，将含a、b的项整理到等式的同一侧，常数项整理到另一侧，最终求出a-b的值，根据值的正负就能判断a和b的大小关系。
【解析】
解：等式两边同时减去3，得
$2a = 2b - 4$
等式两边同时减去$2b$，得
$2a - 2b = -4$
等式两边同时除以2，得
$a - b = -2$
因为$-2 ＜ 0$，所以$a - b ＜ 0$，可得$a ＜ b$。
【答案】
$a＜b$
【知识点】
等式的基本性质，作差法比较大小
【点评】
本题是等式性质的典型应用，核心是通过合理的等式变形得到两个未知数的差，再根据差的正负判断大小，熟练掌握等式变形的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
