1. 下列式子一定是二次根式的是( )
A. $\sqrt {x}$
B. $\sqrt {x+2}$
C. $\sqrt {x^{2}-2}$
D. $\sqrt {x^{2}}$

D

2. 如果二次根式$\sqrt {\frac {1}{x+3}}$有意义,那么x的取值范围是( )
A. $x＞-3$
B. $x≥-3$
C. $x＜-3$
D. $x≤-3$

A

3. 如果$\sqrt {12x}$是一个正整数,那么x可以取到的最小正整数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

B

4. 若k,b都是实数,且$\sqrt {k-1}+\sqrt {1-k}+b=3$,则$k+b=$______.

$4$

5. 若式子$\frac {\sqrt {2x+1}}{x-4}+x^{0}$有意义,则x的取值范围是______.

$x\geqslant-\frac{1}{2}$且$x\neq0$且$x\neq4$

6. 无论x取任何实数,代数式$\sqrt {x^{2}-8x+m}$都有意义,则m的取值范围是______.

$m\geqslant16$

7. (1)若x,y都是实数,且$y=\sqrt {x-3}+\sqrt {3-x}+8$,求$5x+13y+6$的立方根;
(2)已知$\sqrt [3]{3y-1}$与$\sqrt [3]{1-2x}$互为相反数,求$\frac {x}{y}$的值.

【解析】：
(1)要使根式$\sqrt{x - 3}$和$\sqrt{3 - x}$有意义，则被开方数须大于等于$0$，即$\begin{cases}x - 3\geq0\\3 - x\geq0\end{cases}$。
由$x - 3\geq0$得$x\geq3$，由$3 - x\geq0$得$x\leq3$，所以$x = 3$。
把$x = 3$代入$y=\sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}+8$，可得$y=\sqrt{3 - 3}+\sqrt{3 - 3}+8=8$。
将$x = 3$，$y = 8$代入$5x + 13y + 6$得：
$5\times3+13\times8 + 6=15 + 104+6=125$。
因为$125$的立方根为$\sqrt[3]{125}=5$，所以$5x + 13y + 6$的立方根是$5$。
(2)因为$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为$0$，可得$\sqrt[3]{3y - 1}+\sqrt[3]{1 - 2x}=0$。
又因为两个立方根的和为$0$，则这两个数也互为相反数，即$3y - 1$与$1 - 2x$互为相反数，所以$(3y - 1)+(1 - 2x)=0$。
去括号得$3y - 1 + 1 - 2x=0$，化简得$3y-2x = 0$，移项可得$3y=2x$。
因为$y\neq0$（若$y = 0$，则$x = 0$，此时$\frac{x}{y}$无意义），等式两边同时除以$3y$，得到$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
【答案】：(1)$5$；(2)$\frac{3}{2}$

8. 定义:若两个二次根式m,n满足$m\cdot n=p$,且p是有理数,则称m与n是关于p的“友好二次根式”.
(1)若m与$\sqrt {5}$是关于15的“友好二次根式”,求m的值;
(2)若$2-\sqrt {2}$与$4+\sqrt {2}m$是关于4的“友好二次根式”,求m的值.

【解析】：
(1)根据“友好二次根式”的定义，因为$m$与$\sqrt{5}$是关于$15$的“友好二次根式”，所以$m\cdot\sqrt{5}=15$，则$m = \frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$。
(2)因为$2 - \sqrt{2}$与$4+\sqrt{2}m$是关于$4$的“友好二次根式”，所以$(2 - \sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$。
展开左边式子得：
$\begin{aligned}(2 - \sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)&=2\times4+2\times\sqrt{2}m-4\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\times\sqrt{2}m\\&=8 + 2\sqrt{2}m-4\sqrt{2}-2m\end{aligned}$
则$8 + 2\sqrt{2}m-4\sqrt{2}-2m = 4$，整理可得$(2\sqrt{2}m-2m)+(8 - 4\sqrt{2}-4)=0$，即$(2\sqrt{2}m-2m)+(4 - 4\sqrt{2})=0$，进一步变形为$2m(\sqrt{2}-1)-4(\sqrt{2}-1)=0$，提取公因式$(\sqrt{2}-1)$得$(\sqrt{2}-1)(2m - 4)=0$。
因为$\sqrt{2}-1\neq0$，所以$2m - 4 = 0$，解得$m = 2$。
【答案】：(1)$3\sqrt{5}$；(2)$2$

9. 【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法.
例:若x,y为实数,且$y＞\sqrt {x-3}+\sqrt {3-x}+1$,化简:$\frac {|1-y|}{y-1}$.
(1)解:由$\left\{\begin{array}{l} x-3≥0,\\ 3-x≥0,\end{array}\right. $解得$x=$______,$y＞$______,$\therefore \frac {|1-y|}{y-1}=$______=______.
(2)【拓展创新】已知$n=\sqrt {mn-10}+\sqrt {20-2mn}-m+7$,求$m^{2}+n^{2}$的值.

【解析】：
1. 对于例题：
首先，根据二次根式有意义的条件，被开方数须是非负数。在$\sqrt{x - 3}$和$\sqrt{3 - x}$中，要使$\sqrt{x - 3}$有意义，则$x-3\geq0$；要使$\sqrt{3 - x}$有意义，则$3 - x\geq0$。
解不等式组$\begin{cases}x - 3\geq0\\3 - x\geq0\end{cases}$，由$x-3\geq0$得$x\geq3$，由$3 - x\geq0$得$x\leq3$，所以$x = 3$。
当$x = 3$时，$\sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}=0$，因为$y\gt\sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}+1$，所以$y\gt1$。
当$y\gt1$时，$1 - y\lt0$，根据绝对值的性质$\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$，则$\vert1 - y\vert=-(1 - y)=y - 1$，所以$\frac{\vert1 - y\vert}{y - 1}=\frac{y - 1}{y - 1}=1$。
2. 对于拓展创新：
同样根据二次根式有意义的条件，在$\sqrt{mn - 10}$和$\sqrt{20 - 2mn}$中，$mn-10\geq0$且$20 - 2mn\geq0$。
由$mn - 10\geq0$得$mn\geq10$，由$20 - 2mn\geq0$，即$2mn\leq20$，得$mn\leq10$，所以$mn = 10$。
当$mn = 10$时，$n=\sqrt{mn - 10}+\sqrt{20 - 2mn}-m + 7=0 + 0-m + 7=-m + 7$。
又因为$mn = 10$，将$n=-m + 7$代入$mn = 10$得$m(-m + 7)=10$，即$-m^{2}+7m = 10$，移项得$m^{2}-7m + 10 = 0$。
分解因式$m^{2}-7m + 10=(m - 2)(m - 5)=0$，则$m - 2 = 0$或$m - 5 = 0$，解得$m = 2$或$m = 5$。
当$m = 2$时，$n=\frac{10}{m}=5$；当$m = 5$时，$n=\frac{10}{m}=2$。
当$m = 2$，$n = 5$时，$m^{2}+n^{2}=2^{2}+5^{2}=4 + 25 = 29$；当$m = 5$，$n = 2$时，$m^{2}+n^{2}=5^{2}+2^{2}=25 + 4 = 29$。
【答案】：(1) $3$；$1$；$\frac{y - 1}{y - 1}$；$1$；(2) $29$