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3.如图,每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,连接AB,BC,则∠ABC的度数为
$45°$
.答案
3. $45°$
解析
【分析】
要求∠ABC的度数，我们可以借助网格的特征，通过构造三角形结合勾股定理求解：第一步先连接AC，构造出△ABC；第二步利用勾股定理分别计算出△ABC三边长度的平方，省去开根号步骤更便于比较；第三步根据三边的数量关系判断三角形的形状，进而推导得到∠ABC的度数。
【解析】
连接AC，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AC^2=1^2+3^2=10$，
$BC^2=1^2+3^2=10$，
$AB^2=2^2+4^2=20$，
因此可得$AC^2+BC^2=AB^2$，且$AC=BC$，
由此可知△ABC是等腰直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
所以$∠ ABC=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是网格类角度计算的典型题型，解题核心是利用勾股定理量化边长，通过边长关系判断三角形的形状，进而得到所求角的度数，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠ABC的度数，我们可以借助网格的特征，通过构造三角形结合勾股定理求解：第一步先连接AC，构造出△ABC；第二步利用勾股定理分别计算出△ABC三边长度的平方，省去开根号步骤更便于比较；第三步根据三边的数量关系判断三角形的形状，进而推导得到∠ABC的度数。
【解析】
连接AC，根据勾股定理计算各边长度的平方：
$AC^2=1^2+3^2=10$，
$BC^2=1^2+3^2=10$，
$AB^2=2^2+4^2=20$，
因此可得$AC^2+BC^2=AB^2$，且$AC=BC$，
由此可知△ABC是等腰直角三角形，且$∠ ACB=90°$，
所以$∠ ABC=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是网格类角度计算的典型题型，解题核心是利用勾股定理量化边长，通过边长关系判断三角形的形状，进而得到所求角的度数，能有效考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知$AC ⊥ AB$，$DB ⊥ AB$，$AC = BE$，$CE = ED$，$∠ C = 30°$，则$∠ D$的度数为
60
。答案
4. 60
解析
【分析】
首先观察图形，由$AC⊥AB$、$DB⊥AB$可得到两个直角三角形，已知条件给出了一组直角边相等（$AC=BE$）和一组斜边相等（$CE=ED$），因此首先考虑用HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，就能求出$∠D$的度数。
【解析】
$\because AC⊥ AB$，$DB⊥ AB$
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，即$△ ACE$和$△ BED$均为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BED$中：
$\begin{cases}AC=BE \\ CE=ED\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ BED$（HL）
$\therefore ∠ D=∠ AEC$
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，$∠ C=30°$
$\therefore ∠ AEC=90°-∠ C=90°-30°=60°$
$\therefore ∠ D=60°$
【答案】
$60$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过HL判定直角三角形全等，建立已知角和所求角的关联，再结合直角三角形的角度性质计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，由$AC⊥AB$、$DB⊥AB$可得到两个直角三角形，已知条件给出了一组直角边相等（$AC=BE$）和一组斜边相等（$CE=ED$），因此首先考虑用HL定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的特点，就能求出$∠D$的度数。
【解析】
$\because AC⊥ AB$，$DB⊥ AB$
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，即$△ ACE$和$△ BED$均为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ BED$中：
$\begin{cases}AC=BE \\ CE=ED\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ BED$（HL）
$\therefore ∠ D=∠ AEC$
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，$∠ C=30°$
$\therefore ∠ AEC=90°-∠ C=90°-30°=60°$
$\therefore ∠ D=60°$
【答案】
$60$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过HL判定直角三角形全等，建立已知角和所求角的关联，再结合直角三角形的角度性质计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
解题时首先观察到△PMN是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线：过点P作PC⊥OB于点C，即可得到MN的中点，求出MC的长度；再在Rt△OPC中，利用含30°角的直角三角形的性质求出OC的长度，最后用OC的长度减去MC的长度即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PC⊥OB于点C。
1. 因为PM=PN，PC⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，可得C为MN的中点，所以$MC=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
2. 在Rt△OPC中，∠AOB=60°，所以∠OPC=90°-60°=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×12=6$。
3. 因此$OM=OC-MC=6-1=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是合理作辅助线，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质进行线段长度的计算，掌握特殊几何图形的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到△PMN是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线：过点P作PC⊥OB于点C，即可得到MN的中点，求出MC的长度；再在Rt△OPC中，利用含30°角的直角三角形的性质求出OC的长度，最后用OC的长度减去MC的长度即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PC⊥OB于点C。
1. 因为PM=PN，PC⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，可得C为MN的中点，所以$MC=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
2. 在Rt△OPC中，∠AOB=60°，所以∠OPC=90°-60°=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×12=6$。
3. 因此$OM=OC-MC=6-1=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是合理作辅助线，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质进行线段长度的计算，掌握特殊几何图形的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，$EC ⊥ BC$于点$C$，且$AB=BE$，$CD=CE$。求证：$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$.
1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，$EC ⊥ BC$于点$C$，且$AB=BE$，$CD=CE$。求证：$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$.
答案
证明：
∵ $AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $AD⊥ BC$，$BD=CD$（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ $∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
∵ $EC⊥ BC$，
∴ $∠ ECB=90°$，即$△ BEC$是直角三角形。
又∵ $CD=CE$，
∴ $BD=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases}AB=BE \\BD=CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$（$\mathrm{HL}$）。
∵ $AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $AD⊥ BC$，$BD=CD$（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ $∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
∵ $EC⊥ BC$，
∴ $∠ ECB=90°$，即$△ BEC$是直角三角形。
又∵ $CD=CE$，
∴ $BD=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases}AB=BE \\BD=CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$（$\mathrm{HL}$）。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形全等，可优先使用HL判定定理，需先确定两个三角形均为直角三角形，再找到一组斜边对应相等、一组直角边对应相等即可。首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC，可推出AD⊥BC、BD=CD，得到△ABD是直角三角形；再由EC⊥BC得到△BEC是直角三角形；结合已知CD=CE，可推导出BD=CE；最后结合已知AB=BE，满足HL判定的条件，即可证明两个直角三角形全等。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $AD⊥ BC$，$BD=CD$（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ $∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
∵ $EC⊥ BC$，
∴ $∠ ECB=90°$，即$△ BEC$是直角三角形。
又
∵ $CD=CE$，
∴ $BD=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases}AB=BE \\BD=CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$（$\mathrm{HL}$）。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形全等判定（HL）；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等腰三角形的性质和直角三角形全等的判定方法，解题的关键是通过等腰三角形三线合一推导得到证明全等所需的垂直关系和边相等的条件，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形全等，可优先使用HL判定定理，需先确定两个三角形均为直角三角形，再找到一组斜边对应相等、一组直角边对应相等即可。首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD平分∠BAC，可推出AD⊥BC、BD=CD，得到△ABD是直角三角形；再由EC⊥BC得到△BEC是直角三角形；结合已知CD=CE，可推导出BD=CE；最后结合已知AB=BE，满足HL判定的条件，即可证明两个直角三角形全等。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $AD⊥ BC$，$BD=CD$（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边），
∴ $∠ ADB=90°$，即$△ ABD$是直角三角形。
∵ $EC⊥ BC$，
∴ $∠ ECB=90°$，即$△ BEC$是直角三角形。
又
∵ $CD=CE$，
∴ $BD=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中，
$\begin{cases}AB=BE \\BD=CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$（$\mathrm{HL}$）。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ BEC$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形全等判定（HL）；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等腰三角形的性质和直角三角形全等的判定方法，解题的关键是通过等腰三角形三线合一推导得到证明全等所需的垂直关系和边相等的条件，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,$F$在$AC$上,$BD=DF$.求证:$AB=AF+2EB$.
答案
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC = DE，∠C = ∠DEA = 90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC = AE。
在Rt△FCD和Rt△BED中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△FCD ≌ Rt△BED（HL），
∴ CF = EB。
∵ AB = AE + EB，
将AE=AC，AC=AF+CF代入得：
AB = AC + EB = AF + CF + EB，
又∵ CF=EB，
∴ AB = AF + EB + EB = AF + 2EB。
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC = DE，∠C = ∠DEA = 90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC = AE。
在Rt△FCD和Rt△BED中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△FCD ≌ Rt△BED（HL），
∴ CF = EB。
∵ AB = AE + EB，
将AE=AC，AC=AF+CF代入得：
AB = AC + EB = AF + CF + EB，
又∵ CF=EB，
∴ AB = AF + EB + EB = AF + 2EB。
解析
【分析】
要证明AB=AF+2EB，可通过线段等量代换推导。首先根据角平分线的性质，由AD是∠BAC的平分线、∠C=90°、DE⊥AB可得DC=DE；接下来利用HL定理分别证明Rt△ACD≌Rt△AED、Rt△FCD≌Rt△BED，得到AC=AE、CF=EB；最后将AB拆分为AE+EB，把AE替换为AF+CF，再代入CF=EB的结论即可推出待证等式。
【解析】
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC = DE，∠C = ∠DEA = 90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC = AE。
在Rt△FCD和Rt△BED中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△FCD ≌ Rt△BED（HL），
∴ CF = EB。
∵ AB = AE + EB，
将AE=AC，AC=AF+CF代入得：
AB = AC + EB = AF + CF + EB，
又
∵ CF=EB，
∴ AB = AF + EB + EB = AF + 2EB。
【答案】
AB=AF+2EB得证。
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的典型综合题，解题核心是通过两次证明直角三角形全等实现线段的等量代换，掌握线段和差类问题的转化思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
要证明AB=AF+2EB，可通过线段等量代换推导。首先根据角平分线的性质，由AD是∠BAC的平分线、∠C=90°、DE⊥AB可得DC=DE；接下来利用HL定理分别证明Rt△ACD≌Rt△AED、Rt△FCD≌Rt△BED，得到AC=AE、CF=EB；最后将AB拆分为AE+EB，把AE替换为AF+CF，再代入CF=EB的结论即可推出待证等式。
【解析】
证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC = DE，∠C = ∠DEA = 90°。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC = AE。
在Rt△FCD和Rt△BED中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△FCD ≌ Rt△BED（HL），
∴ CF = EB。
∵ AB = AE + EB，
将AE=AC，AC=AF+CF代入得：
AB = AC + EB = AF + CF + EB，
又
∵ CF=EB，
∴ AB = AF + EB + EB = AF + 2EB。
【答案】
AB=AF+2EB得证。
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的典型综合题，解题核心是通过两次证明直角三角形全等实现线段的等量代换，掌握线段和差类问题的转化思路即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
