1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=2∠ A$，则$∠ A$的度数是()

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

1.B

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：①△ABC是直角三角形，∠C=90°；②∠B=2∠A，要求∠A的度数。首先回忆三角形内角和为180°，因此直角三角形中两个锐角的和为90°，再结合题目给出的∠B和∠A的倍数关系，将∠B替换为2∠A，即可得到只含∠A的等式，计算就能求出结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵已知∠B = 2∠A
将∠B=2∠A代入∠A + ∠B = 90°可得：
∠A + 2∠A = 90°
即3∠A = 90°，解得∠A = 30°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心考察三角形内角和性质与直角三角形的角度特征，结合角度倍数关系即可求解，是对三角形基础性质的常规考察。
【难度系数】
0.9

2. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()

A.斜边和一条直角边对应相等
B.一锐角和斜边对应相等
C.两条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等

2.D

【分析】
解题时首先回忆三角形全等的通用判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）和直角三角形特有的HL判定定理，明确全等三角形必须满足至少一组对应边相等的核心要求，再逐一验证每个选项是否符合全等判定条件，最终选出不能判定的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 斜边和一条直角边对应相等，符合直角三角形特有的“HL”判定定理，可判定两个直角三角形全等；
B. 一锐角和斜边对应相等，加上两个三角形的直角本身相等，满足“AAS”判定定理，可判定两个直角三角形全等；
C. 两条直角边对应相等，加上直角作为夹角相等，满足“SAS”判定定理，可判定两个直角三角形全等；
D. 两个锐角对应相等，仅能说明两个三角形形状相同（相似），没有对应边相等的条件，无法判定两个直角三角形全等。
因此符合题意的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的判定条件
【点评】
本题是基础类考题，主要考查全等三角形的判定规则，解题时要注意：仅角对应相等只能证明三角形相似，必须有至少一组边对应相等才能判定全等，学习时要牢记各判定定理的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是()

A.16
B.25
C.144
D.169

3.B

【分析】
解题时先从已知边长的右侧直角三角形入手，利用勾股定理求出其竖直方向的直角边，这条边正好是中间正方形的边长；再观察左侧的直角三角形，它的两条直角边分别对应两个阴影正方形的边长，斜边为中间正方形的边长，根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和（即两条直角边的平方和）等于斜边的平方，也就是中间正方形边长的平方，由此可直接求出阴影部分的总面积。
【解析】
1. 先求右侧直角三角形的竖直直角边长：
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，设该竖直边长为$a$，则：
$a^2 + 12^2 = 13^2$
计算得：$a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，即中间正方形的边长的平方为25。
2. 再求阴影部分面积：
左侧直角三角形的两条直角边分别是两个阴影正方形的边长，设为$b$、$c$，斜边为$a$，根据勾股定理可得$b^2 + c^2 = a^2$。
而阴影部分的面积就是两个阴影正方形的面积和，即$S_{\mathrm{阴影}}=b^2 + c^2 = a^2 = 25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题关键是理解正方形面积等于边长的平方，借助勾股定理将阴影部分面积和转化为中间正方形边长的平方，无需分别计算两个阴影正方形的面积，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7

4. 下列命题的逆命题正确的是()

A.等边三角形是锐角三角形
B.直角三角形的两个锐角互余
C.全等三角形的对应角相等
D.如果$a=b$,那么$a^2=b^2$

4.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换位置，得到的就是原命题的逆命题。解题思路分为三步：第一步，把每个选项的原命题改写为“如果……那么……”的形式，准确区分题设和结论；第二步，互换题设和结论得到对应的逆命题；第三步，结合已学的几何、代数知识判断逆命题的真假，最终选出逆命题正确的选项。
【解析】
逆命题的改写规则为：原命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，我们逐一分析选项：
A. 原命题改写为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是锐角三角形。
逆命题为：如果一个三角形是锐角三角形，那么它是等边三角形。
反例：三个内角为50°、60°、70°的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形，因此逆命题错误。
B. 原命题改写为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。
逆命题为：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
推理：三角形内角和为180°，两个锐角和为90°，则第三个角为180°-90°=90°，符合直角三角形的定义，因此逆命题正确。
C. 原命题改写为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等。
逆命题为：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形。
反例：大小不同的两个等边三角形，对应角都相等，但不全等，因此逆命题错误。
D. 原命题为：如果a=b，那么a²=b²。
逆命题为：如果a²=b²，那么a=b。
反例：a=2，b=-2时，a²=b²=4，但a≠b，因此逆命题错误。
综上，只有B选项的逆命题正确。
【答案】
B
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，解题的关键是准确拆分原命题的题设和结论，再结合几何、代数的基础知识点验证逆命题是否成立，这类题型是命题相关知识的常考类型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

5. 已知$△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，下列条件中不能判定$△ ABC$是直角三角形的是()

A.$b^2 - c^2 = a^2$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$∠ A=∠ B-∠ C$
D.$a:b:c=8:15:17$

5.B

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可从两个方向验证：一是利用角的关系，结合三角形内角和为180°，看是否存在90°的内角；二是利用边的关系，通过勾股定理的逆定理，判断两条短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个分析选项是否满足以上两个判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：由$b^2 - c^2 = a^2$移项得$b^2=a^2+c^2$，符合勾股定理逆定理，说明$∠B=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
B选项：设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，根据三角形内角和为180°，得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，因此三个角分别为$45°、60°、75°$，没有直角，不能判定$△ ABC$是直角三角形，符合题意。
C选项：由$∠A=∠B-∠C$移项得$∠A+∠C=∠B$，结合内角和$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠B=180°$，解得$∠B=90°$，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
D选项：设$a=8k$，$b=15k$，$c=17k$（$k＞0$），计算得$(8k)^2+(15k)^2=64k^2+225k^2=289k^2=(17k)^2$，符合勾股定理逆定理，可判定$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础考查题，需要熟练掌握直角三角形的两种判定思路，分别从角和边两个维度逐一验证选项即可，解题时注意对已知条件的灵活变形。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在边$AB$上,$AD=AC$,点$E$在边$BC$上,$DE ⊥ AB$.若$∠ B=28°$,则$∠ AED$的度数为()

A.$28°$
B.$62°$
C.$59°$
D.$58°$

6.C

【分析】解题时先观察图形特征，结合已知条件：有公共斜边AE，AC=AD，且∠C、∠ADE均为直角，可先通过HL定理证明Rt△ACE和Rt△ADE全等，得到AE平分∠CAB；再利用三角形内角和求出∠CAB的度数，进而得到∠EAD的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=28°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CAB=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-28°=62°$。
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$，即$△ ACE$和$△ ADE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD\\AE=AE\quad(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE≌\mathrm{Rt}△ ADE\quad(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×62°=31°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=90°$，直角三角形两锐角互余，
$\therefore ∠ AED=90°-∠ DAE=90°-31°=59°$。
【答案】C
【知识点】HL判定直角三角形全等；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】本题是全等三角形与角度计算的综合基础题，解题核心是通过全等得到角的等量关系，再结合三角形内角相关性质计算角度，考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】0.7

二、填空题
1. 命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是，这个逆命题是命题(填“真”或“假”).

1. 三个角都相等的三角形是等边三角形，真

【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：命题由题设（条件）和结论两部分组成，逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的新命题。第一步先拆分原命题“等边三角形的三个角都相等”的题设和结论，第二步互换二者得到逆命题，第三步结合等边三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。
【解析】
1. 拆分原命题结构：
原命题可以改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个角都相等”，其中题设是“一个三角形是等边三角形”，结论是“它的三个角都相等”。
2. 改写逆命题：
将题设和结论互换，得到逆命题为“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”，简写为“三个角都相等的三角形是等边三角形”。
3. 判断逆命题真假：
根据等边三角形的判定定理，三个内角都相等的三角形是等边三角形，因此该逆命题是真命题。
【答案】
三个角都相等的三角形是等边三角形，真
【知识点】
逆命题的改写，命题真假判断，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是准确识别原命题的条件和结论，再结合已学的几何定理判断命题真假，掌握命题的基本结构是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8

2. 如图,已知$AB⊥BD,CD⊥BD$,若用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CDB$全等,则需要添加的条件是.

2. $AD=CB$

【分析】
首先回忆HL判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。首先确定两个三角形的性质：由AB⊥BD、CD⊥BD可知△ABD和△CDB均为直角三角形；其次找已有的相等条件：BD是两个三角形的公共直角边，即BD=DB。要使用HL判定全等，已有一条直角边相等，因此需要添加两个三角形的斜边对应相等，即可满足HL的判定条件。
【解析】
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，即Rt△ABD和Rt△CDB均为直角三角形。
两个三角形的公共边BD是二者的直角边，故已有相等条件：BD=DB。
根据HL判定定理，需要添加两个直角三角形的斜边对应相等，即AD=CB。
此时在Rt△ABD和Rt△CDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=CB\\BD=DB\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
【答案】
$AD=CB$
【知识点】
1. HL全等判定定理
2. 直角三角形的定义
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时需先明确HL定理的适用前提和所需条件，注意区分HL与一般三角形全等判定的差异，结合图形找到已有的相等边，再补充缺少的判定条件即可。
【难度系数】
0.7