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2. 如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，则∠BOC=
120°
。答案
2.120°
解析
【分析】
解题思路：首先回忆等边三角形的基本性质，等边三角形每个内角均为60°，且等边三角形的高同时也是对应角的角平分线（三线合一）。我们可以先通过三线合一求出△OBC中两个底角∠OBC、∠OCB的度数，再利用三角形内角和为180°，就能算出∠BOC的度数，也可通过四边形内角和结合对顶角相等的性质求解。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
同理，CE⊥AB，CE平分∠ACB，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质推导相关角的度数，结合基础内角和公式即可求解，解题思路灵活，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆等边三角形的基本性质，等边三角形每个内角均为60°，且等边三角形的高同时也是对应角的角平分线（三线合一）。我们可以先通过三线合一求出△OBC中两个底角∠OBC、∠OCB的度数，再利用三角形内角和为180°，就能算出∠BOC的度数，也可通过四边形内角和结合对顶角相等的性质求解。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
同理，CE⊥AB，CE平分∠ACB，
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-30°-30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质推导相关角的度数，结合基础内角和公式即可求解，解题思路灵活，容易掌握。
【难度系数】
0.8
3. 在△ABC中，如果AB=AC，∠A=∠C，那么△ABC是
等边
三角形.（按边分）答案
3.等边
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件，明确题目要求是按边判断三角形类型：首先由已知AB=AC，可先判定△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C；再结合题目给出的∠A=∠C，通过等量代换得到三个内角都相等，再根据“等角对等边”可推出三条边长度相等，即可得出三角形类型。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=AC，
根据等边对等角的性质，可得∠B=∠C，
又
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
根据等角对等边的性质，可得AB=BC=AC，
因此△ABC的三条边都相等，是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
等腰三角形性质、等角对等边、等边三角形判定
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查等腰三角形和等边三角形的性质与判定，掌握三角形边与角的对应转换关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件，明确题目要求是按边判断三角形类型：首先由已知AB=AC，可先判定△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C；再结合题目给出的∠A=∠C，通过等量代换得到三个内角都相等，再根据“等角对等边”可推出三条边长度相等，即可得出三角形类型。
【解析】
解：已知在△ABC中，AB=AC，
根据等边对等角的性质，可得∠B=∠C，
又
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
根据等角对等边的性质，可得AB=BC=AC，
因此△ABC的三条边都相等，是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
等腰三角形性质、等角对等边、等边三角形判定
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查等腰三角形和等边三角形的性质与判定，掌握三角形边与角的对应转换关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,AD是边BC上的高,$DE// AB$交AC于点E. 求证:$△ ADE$是等腰三角形.
1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,AD是边BC上的高,$DE// AB$交AC于点E. 求证:$△ ADE$是等腰三角形.
答案
证明：
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，需证明该三角形存在两条相等的边或两个相等的内角。首先从已知条件出发：由△ABC中∠B=∠C，可判定△ABC是等腰三角形；再结合AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；最后根据DE//AB，利用平行线的内错角相等的性质，可得∠BAD=∠ADE，通过等量代换得到∠CAD=∠ADE，进而根据“等角对等边”推出AE=DE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【答案】
证明：
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将等腰三角形的性质、判定和平行线的性质结合考查，解题时只需顺着已知条件逐步推导角的等量关系，即可完成等腰三角形的判定。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE是等腰三角形，需证明该三角形存在两条相等的边或两个相等的内角。首先从已知条件出发：由△ABC中∠B=∠C，可判定△ABC是等腰三角形；再结合AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；最后根据DE//AB，利用平行线的内错角相等的性质，可得∠BAD=∠ADE，通过等量代换得到∠CAD=∠ADE，进而根据“等角对等边”推出AE=DE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【答案】
证明：
∵ ∠B = ∠C，
∴ AB = AC，即△ABC是等腰三角形。
∵ AD是BC边上的高，
∴ AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠CAD = ∠ADE，
∴ AE = DE，
∴ △ADE是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将等腰三角形的性质、判定和平行线的性质结合考查，解题时只需顺着已知条件逐步推导角的等量关系，即可完成等腰三角形的判定。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD$是中线，延长$BC$至点$E$，使$CE=CD$.
(1)若$AB=10$，求$BE$的长.
(2)求$∠ E$的度数.
(1)若$AB=10$，求$BE$的长.
(2)求$∠ E$的度数.
答案
2.(1)15.
(2)30°.
(2)30°.
解析
【分析】
对于(1)，首先利用等边三角形三边相等的性质，可直接得到BC和AC的长度等于AB的长；再结合BD是中线，可知D是AC中点，即可求出CD的长度，又因为CE=CD，得到CE的长，最后由BE=BC+CE计算即可。对于(2)，先根据等边三角形的内角都是60°得到∠ACB的度数，再由CE=CD可知△CDE是等腰三角形，两底角∠E和∠CDE相等，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推出∠ACB=2∠E，进而求出∠E的度数。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=10，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
又
∵CE=CD，
∴CE=5，
∴BE = BC + CE = 10 + 5 = 15。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°，
∵CE=CD，
∴∠E = ∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E，
∴∠E = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
(1) 15；(2) 30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，侧重考察特殊三角形边角关系的应用，解题时只要找准已知条件和所求量之间的关联，结合对应性质逐步推导即可，计算量小，逻辑推导过程简单。
【难度系数】
0.8
对于(1)，首先利用等边三角形三边相等的性质，可直接得到BC和AC的长度等于AB的长；再结合BD是中线，可知D是AC中点，即可求出CD的长度，又因为CE=CD，得到CE的长，最后由BE=BC+CE计算即可。对于(2)，先根据等边三角形的内角都是60°得到∠ACB的度数，再由CE=CD可知△CDE是等腰三角形，两底角∠E和∠CDE相等，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推出∠ACB=2∠E，进而求出∠E的度数。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=10，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×10 = 5，
又
∵CE=CD，
∴CE=5，
∴BE = BC + CE = 10 + 5 = 15。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°，
∵CE=CD，
∴∠E = ∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E，
∴∠E = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
【答案】
(1) 15；(2) 30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，侧重考察特殊三角形边角关系的应用，解题时只要找准已知条件和所求量之间的关联，结合对应性质逐步推导即可，计算量小，逻辑推导过程简单。
【难度系数】
0.8
