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一、单选题
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞BC＞AC$,点$P$在$AB$上,使得$PA+PC=AB$.下列描述正确的是(
A.$P$是$AC$的垂直平分线与$AB$的交点
B.$P$是$BC$的垂直平分线与$AB$的交点
C.$P$是$∠ ACB$的平分线与$AB$的交点
D.$P$是$AB$的垂直平分线与$AB$的交点
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞BC＞AC$,点$P$在$AB$上,使得$PA+PC=AB$.下列描述正确的是(
B
)A.$P$是$AC$的垂直平分线与$AB$的交点
B.$P$是$BC$的垂直平分线与$AB$的交点
C.$P$是$∠ ACB$的平分线与$AB$的交点
D.$P$是$AB$的垂直平分线与$AB$的交点
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件PA+PC=AB入手，由于点P在AB上，可知AB可拆分为AP与PB的和，将其代入已知等式即可化简得到PC与PB的等量关系，再结合线段垂直平分线的判定定理，就能确定P点的位置，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵点P在AB上，
∴AB = PA + PB，
又
∵PA + PC = AB，
∴PA + PC = PA + PB，
等式两边同时减去PA，可得PC = PB。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在BC的垂直平分线上。
又
∵点P在AB上，
∴点P是BC的垂直平分线与AB的交点，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差关系；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题侧重考查基础定理的灵活应用，解题的关键是通过线段的和差转化得到PC=PB的结论，结合垂直平分线的判定即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件PA+PC=AB入手，由于点P在AB上，可知AB可拆分为AP与PB的和，将其代入已知等式即可化简得到PC与PB的等量关系，再结合线段垂直平分线的判定定理，就能确定P点的位置，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵点P在AB上，
∴AB = PA + PB，
又
∵PA + PC = AB，
∴PA + PC = PA + PB，
等式两边同时减去PA，可得PC = PB。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在BC的垂直平分线上。
又
∵点P在AB上，
∴点P是BC的垂直平分线与AB的交点，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差关系；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题侧重考查基础定理的灵活应用，解题的关键是通过线段的和差转化得到PC=PB的结论，结合垂直平分线的判定即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，DE垂直平分BC，AB=4，AC=6，则$△ ABD$的周长为(
A.9
B.10
C.11
D.12
B
)A.9
B.10
C.11
D.12
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察题干给出的DE垂直平分BC这一条件，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD。接下来分析△ABD的周长组成，其周长为AB+AD+BD，将BD用相等的CD替换，即可将周长转化为AB+AD+CD，而AD+CD的和正好是AC的长度，因此只需代入已知的AB、AC的长度就能算出周长。
【解析】
∵DE垂直平分BC，点D在DE上
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ABD的周长=AB + AD + BD
将BD替换为CD，可得：
△ABD的周长=AB + AD + CD = AB + AC
已知AB=4，AC=6，代入得：
△ABD的周长=4+6=10
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现边长的等量代换，把未知的周长转化为已知线段长度的和，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干给出的DE垂直平分BC这一条件，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD。接下来分析△ABD的周长组成，其周长为AB+AD+BD，将BD用相等的CD替换，即可将周长转化为AB+AD+CD，而AD+CD的和正好是AC的长度，因此只需代入已知的AB、AC的长度就能算出周长。
【解析】
∵DE垂直平分BC，点D在DE上
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ABD的周长=AB + AD + BD
将BD替换为CD，可得：
△ABD的周长=AB + AD + CD = AB + AC
已知AB=4，AC=6，代入得：
△ABD的周长=4+6=10
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现边长的等量代换，把未知的周长转化为已知线段长度的和，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在河岸$m$上建一个水厂，向村庄$P,Q$供水，若水厂到两个村庄的距离相等，则水厂应建在(
A.$A$点
B.$B$点
C.$C$点
D.$D$点
B
)A.$A$点
B.$B$点
C.$C$点
D.$D$点
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。我们要找的水厂位置需要同时满足两个条件：①在河岸m上；②到村庄P、Q的距离相等，也就是水厂在PQ的垂直平分线上。因此最终的位置就是PQ的垂直平分线和河岸m的交点，再对应选项找到该点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到P、Q两个村庄距离相等的点都在线段PQ的垂直平分线上，又因为水厂要建在河岸m上，所以水厂的位置是线段PQ的垂直平分线与河岸m的交点，结合选项可知该交点为B点。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用问题，解题的核心是将“到两点距离相等”的条件转化为点在两点连线的垂直平分线上，再找与河岸的交点即可，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆线段垂直平分线的相关性质：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。我们要找的水厂位置需要同时满足两个条件：①在河岸m上；②到村庄P、Q的距离相等，也就是水厂在PQ的垂直平分线上。因此最终的位置就是PQ的垂直平分线和河岸m的交点，再对应选项找到该点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因此到P、Q两个村庄距离相等的点都在线段PQ的垂直平分线上，又因为水厂要建在河岸m上，所以水厂的位置是线段PQ的垂直平分线与河岸m的交点，结合选项可知该交点为B点。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用问题，解题的核心是将“到两点距离相等”的条件转化为点在两点连线的垂直平分线上，再找与河岸的交点即可，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，△ABC的边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足为点F,G.若∠BAC=130°,则∠DAE的度数为(
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
D
)A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到AD=BD、AE=CE，再根据等边对等角推出∠BAD=∠B、∠CAE=∠C；接着利用三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，最后用∠BAC的度数减去∠BAD与∠CAE的和，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵DF是AB的垂直平分线，点D在DF上，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B。
∵EG是AC的垂直平分线，点E在EG上，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=50°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=130°-50°=80°。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等角的转化，解题时要理清各个角之间的和差关系，熟练掌握相关基础性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到AD=BD、AE=CE，再根据等边对等角推出∠BAD=∠B、∠CAE=∠C；接着利用三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，最后用∠BAC的度数减去∠BAD与∠CAE的和，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵DF是AB的垂直平分线，点D在DF上，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B。
∵EG是AC的垂直平分线，点E在EG上，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=50°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=130°-50°=80°。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等角的转化，解题时要理清各个角之间的和差关系，熟练掌握相关基础性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则$△ AEG$的周长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们的目标是求△AEG的周长，即AE+EG+AG的和，利用垂直平分线的性质可将AE转化为BE、AG转化为GC，此时三条线段的和刚好等于BC的长度，代入已知的BC数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AE=BE$。
同理，FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴$AG=GC$。
△AEG的周长为$AE+EG+AG$，将$AE=BE$、$AG=GC$代入可得：
$C_{△ AEG}=BE+EG+GC=BC$。
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的长度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，出现了线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们的目标是求△AEG的周长，即AE+EG+AG的和，利用垂直平分线的性质可将AE转化为BE、AG转化为GC，此时三条线段的和刚好等于BC的长度，代入已知的BC数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$AE=BE$。
同理，FG是AC的垂直平分线，点G在FG上，
∴$AG=GC$。
△AEG的周长为$AE+EG+AG$，将$AE=BE$、$AG=GC$代入可得：
$C_{△ AEG}=BE+EG+GC=BC$。
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的长度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
