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二、填空题
1. 如图，在$△ ABC$中，$AC$的垂直平分线分别交$BC$，$AC$于点$D$，$E$，$∠ B=50°$，$∠ C=35°$，则$∠ BAD=$
1. 如图，在$△ ABC$中，$AC$的垂直平分线分别交$BC$，$AC$于点$D$，$E$，$∠ B=50°$，$∠ C=35°$，则$∠ BAD=$
60°
。答案
1.60°
解析
【分析】
解题思路如下：首先，看到AC的垂直平分线DE，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=CD，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠DAC=∠C；其次，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，算出△ABC中∠BAC的度数；最后，用∠BAC减去∠DAC的度数，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 35° = 95°$
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴$AD = CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴$∠ DAC = ∠ C = 35°$（等边对等角）
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 95° - 35° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等的边，进而转化为相等的角，再结合三角形内角和公式计算角度，整体运算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，看到AC的垂直平分线DE，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=CD，再根据等腰三角形等边对等角的性质，得到∠DAC=∠C；其次，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，算出△ABC中∠BAC的度数；最后，用∠BAC减去∠DAC的度数，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 35° = 95°$
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴$AD = CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴$∠ DAC = ∠ C = 35°$（等边对等角）
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 95° - 35° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到相等的边，进而转化为相等的角，再结合三角形内角和公式计算角度，整体运算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，线段$BC$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，若$△ ABC$的周长为$19$，$CE=3$，则$△ ADC$的周长为
13
。答案
2.13
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分对应线段，二是垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等。首先根据CE的长度算出BC的长，再结合△ABC的周长得到AB与AC的长度和；接下来观察△ADC的周长组成，利用垂直平分线的性质将DC替换为相等的DB，就能把△ADC的周长转化为AB与AC的和，从而算出结果。
【解析】
∵ DE是线段BC的垂直平分线，
∴ DC = DB，BC = 2CE，
∵ CE = 3，
∴ BC = 2×3 = 6，
∵ △ABC的周长为19，即AB + BC + AC = 19，
∴ AB + AC = 19 - BC = 19 - 6 = 13，
又
∵ △ADC的周长 = AD + DC + AC，且DC = DB，
∴ △ADC的周长 = AD + DB + AC = AB + AC = 13。
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知三角形的周长转化为已知条件中的线段和，解题时要注意观察线段之间的等量关系，避免盲目计算各条边的具体长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分对应线段，二是垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离相等。首先根据CE的长度算出BC的长，再结合△ABC的周长得到AB与AC的长度和；接下来观察△ADC的周长组成，利用垂直平分线的性质将DC替换为相等的DB，就能把△ADC的周长转化为AB与AC的和，从而算出结果。
【解析】
∵ DE是线段BC的垂直平分线，
∴ DC = DB，BC = 2CE，
∵ CE = 3，
∴ BC = 2×3 = 6，
∵ △ABC的周长为19，即AB + BC + AC = 19，
∴ AB + AC = 19 - BC = 19 - 6 = 13，
又
∵ △ADC的周长 = AD + DC + AC，且DC = DB，
∴ △ADC的周长 = AD + DB + AC = AB + AC = 13。
【答案】
13
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知三角形的周长转化为已知条件中的线段和，解题时要注意观察线段之间的等量关系，避免盲目计算各条边的具体长度。
【难度系数】
0.8
3. 如图，BC的垂直平分线AD交BC于点D，连接AB，AC，点E，F分别在线段AB，AD上，连接EF，∠EAF=∠EFA.若BE=10，EF=8，则AC的长为
18
.答案
3.18
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 利用线段垂直平分线的性质，可知AD上的点A到B、C两点距离相等，即AB=AC，因此求AC的长度可转化为求AB的长度；② 根据已知的∠EAF=∠EFA，结合等腰三角形“等角对等边”的判定，可推出AE=EF，代入EF的长度得到AE的长，再与BE的长度相加即可得到AB的长，进而求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC的垂直平分线，点A在AD上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC
∵∠EAF=∠EFA
∴根据等角对等边，可得AE=EF
已知EF=8，
∴AE=8
又
∵BE=10
∴AB=AE+BE=8+10=18
∵AB=AC
∴AC=18
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过线段垂直平分线的性质实现待求量的转化，再结合等腰三角形的判定求出对应线段长度，熟练掌握基础几何定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：① 利用线段垂直平分线的性质，可知AD上的点A到B、C两点距离相等，即AB=AC，因此求AC的长度可转化为求AB的长度；② 根据已知的∠EAF=∠EFA，结合等腰三角形“等角对等边”的判定，可推出AE=EF，代入EF的长度得到AE的长，再与BE的长度相加即可得到AB的长，进而求出AC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC的垂直平分线，点A在AD上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC
∵∠EAF=∠EFA
∴根据等角对等边，可得AE=EF
已知EF=8，
∴AE=8
又
∵BE=10
∴AB=AE+BE=8+10=18
∵AB=AC
∴AC=18
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过线段垂直平分线的性质实现待求量的转化，再结合等腰三角形的判定求出对应线段长度，熟练掌握基础几何定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,∠BAD=37°,根据图中尺规作图的痕迹,可得∠ABD=
53°
.答案
4.53°
解析
【分析】
解题时首先要识别图中的尺规作图痕迹，判断出BD与AD所在直线的垂直关系，得到∠ADB=90°，再结合已知的∠BAD=37°，利用直角三角形的两个锐角互余的性质，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
由尺规作图的痕迹可得，BD⊥AD，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ ABD + ∠ BAD = 90°$
已知$∠ BAD=37°$，代入计算得：
$∠ ABD = 90° - 37° = 53°$
【答案】
$53°$
【知识点】
尺规作图识别；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将尺规作图与角度计算结合考查，解题的核心是先根据作图痕迹得到垂直关系，再运用直角三角形的性质计算，侧重对基础作图识别能力和基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要识别图中的尺规作图痕迹，判断出BD与AD所在直线的垂直关系，得到∠ADB=90°，再结合已知的∠BAD=37°，利用直角三角形的两个锐角互余的性质，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
由尺规作图的痕迹可得，BD⊥AD，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ ABD + ∠ BAD = 90°$
已知$∠ BAD=37°$，代入计算得：
$∠ ABD = 90° - 37° = 53°$
【答案】
$53°$
【知识点】
尺规作图识别；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题将尺规作图与角度计算结合考查，解题的核心是先根据作图痕迹得到垂直关系，再运用直角三角形的性质计算，侧重对基础作图识别能力和基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$AB$上一点，$AD=AC$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，$F$是$BC$上一点，连接$DF$，$CD$，$AF$，且$DC$平分$∠ EDF$. 求证：$AF$垂直平分$CD$.
1. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$AB$上一点，$AD=AC$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，$F$是$BC$上一点，连接$DF$，$CD$，$AF$，且$DC$平分$∠ EDF$. 求证：$AF$垂直平分$CD$.
答案
证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
解析
【分析】
要证明AF垂直平分CD，可结合线段垂直平分线的判定思路推导：若两个点都在某条线段的垂直平分线上，那么过这两个点的直线就是该线段的垂直平分线。首先已知AD=AC，可直接得出点A在CD的垂直平分线上；接下来只需证明点F也在CD的垂直平分线上，即证FD=FC：利用DE//BC可得内错角∠EDC=∠DCB，结合DC平分∠EDF得到∠EDC=∠FDC，等量代换可得∠FDC=∠DCB，根据等角对等边即可推出FD=FC；最后结合两点确定一条直线，就能得出AF垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又
∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
【答案】
证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又
∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题核心是通过角的等量代换推导边相等，再结合线段垂直平分线的判定定理完成论证，能有效巩固基础几何定理的应用能力，培养几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
要证明AF垂直平分CD，可结合线段垂直平分线的判定思路推导：若两个点都在某条线段的垂直平分线上，那么过这两个点的直线就是该线段的垂直平分线。首先已知AD=AC，可直接得出点A在CD的垂直平分线上；接下来只需证明点F也在CD的垂直平分线上，即证FD=FC：利用DE//BC可得内错角∠EDC=∠DCB，结合DC平分∠EDF得到∠EDC=∠FDC，等量代换可得∠FDC=∠DCB，根据等角对等边即可推出FD=FC；最后结合两点确定一条直线，就能得出AF垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又
∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
【答案】
证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EDC = ∠ DCB$。
∵ $DC$平分$∠ EDF$，
∴ $∠ EDC = ∠ FDC$，
∴ $∠ FDC = ∠ DCB$，
∴ $FD = FC$，
∴ 点$F$在$CD$的垂直平分线上。
又
∵ $AD = AC$，
∴ 点$A$在$CD$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线$AF$是$CD$的垂直平分线，即$AF$垂直平分$CD$。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题核心是通过角的等量代换推导边相等，再结合线段垂直平分线的判定定理完成论证，能有效巩固基础几何定理的应用能力，培养几何证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$AB=CD$，线段$AC$的垂直平分线与线段$BD$的垂直平分线相交于点$E$. 求证：$∠ ABE=∠ CDE$.
答案
证明：连接AE，CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
解析
【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可先证明两个角所在的△ABE和△CDE全等。已知E是AC、BD的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接AE、CE，可得到AE=CE、BE=DE，再结合题目给出的AB=CD，即可通过“SSS”判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：连接AE，CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
【答案】
证明：连接AE，CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定（SSS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查垂直平分线的性质与全等三角形的应用，解题的关键是根据垂直平分线的性质添加辅助线，构造出全等三角形，掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABE=∠CDE，可先证明两个角所在的△ABE和△CDE全等。已知E是AC、BD的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接AE、CE，可得到AE=CE、BE=DE，再结合题目给出的AB=CD，即可通过“SSS”判定两个三角形全等，最后利用全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：连接AE，CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
【答案】
证明：连接AE，CE。
∵ 点E在AC的垂直平分线上，
∴ AE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ 点E在BD的垂直平分线上，
∴ BE = DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD \\AE = CE \\BE = DE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDE（SSS），
∴ ∠ABE = ∠CDE。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定（SSS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查垂直平分线的性质与全等三角形的应用，解题的关键是根据垂直平分线的性质添加辅助线，构造出全等三角形，掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
