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1. 如图，有一个正五边形纸片ABCDE，小明想在这个五边形纸片内部找一点P，剪出一个四边形ABPE，使该四边形为平行四边形。请你告诉小明该如何剪，并说明理由。
答案
解：
作法：分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪，所得四边形ABPE即为所求的平行四边形。
理由如下：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$。
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
$\therefore ∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABP=108°+72°=180°$，
$\therefore AE// BP$。
同理可证：$∠ AEP=72°$，$∠ A+∠ AEP=180°$，
$\therefore AB// EP$。
∵ 四边形ABPE的两组对边分别平行，
∴ 四边形ABPE是平行四边形。
作法：分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪，所得四边形ABPE即为所求的平行四边形。
理由如下：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$。
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
$\therefore ∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABP=108°+72°=180°$，
$\therefore AE// BP$。
同理可证：$∠ AEP=72°$，$∠ A+∠ AEP=180°$，
$\therefore AB// EP$。
∵ 四边形ABPE的两组对边分别平行，
∴ 四边形ABPE是平行四边形。
解析
【分析】
我们要构造平行四边形ABPE，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定来推导。首先明确正五边形的基本性质：各边相等，每个内角相等。第一步先计算正五边形每个内角的度数；第二步思考如何得到与AE平行的直线、与AB平行的直线：利用正五边形的边构造等腰三角形，计算出底角为36°，进而得到与AB相邻的角为72°，和正五边形的内角108°互补，即可得到平行线；两条平行线的交点就是我们要找的点P，最后沿BP、EP裁剪即可。
【解析】
作法：
分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪，所得四边形ABPE即为所求的平行四边形。
理由：
1. 正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，且正五边形各边相等，即$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 计算得$∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，因此$∠ A + ∠ ABP=108°+72°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AE// BP$。
4. 同理可证：$∠ AEP=72°$，$∠ A+∠ AEP=180°$，因此$AB// EP$。
5. 四边形ABPE两组对边分别平行，因此四边形ABPE是平行四边形。
【答案】
分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪即可得到平行四边形ABPE。
【知识点】
多边形内角和、等腰三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题将几何操作与性质证明相结合，综合考查了正多边形性质、角度计算和平行四边形的判定定理，能够有效锻炼逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
我们要构造平行四边形ABPE，可依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定来推导。首先明确正五边形的基本性质：各边相等，每个内角相等。第一步先计算正五边形每个内角的度数；第二步思考如何得到与AE平行的直线、与AB平行的直线：利用正五边形的边构造等腰三角形，计算出底角为36°，进而得到与AB相邻的角为72°，和正五边形的内角108°互补，即可得到平行线；两条平行线的交点就是我们要找的点P，最后沿BP、EP裁剪即可。
【解析】
作法：
分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪，所得四边形ABPE即为所求的平行四边形。
理由：
1. 正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$\frac{540°}{5}=108°$，且正五边形各边相等，即$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. 计算得$∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，因此$∠ A + ∠ ABP=108°+72°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AE// BP$。
4. 同理可证：$∠ AEP=72°$，$∠ A+∠ AEP=180°$，因此$AB// EP$。
5. 四边形ABPE两组对边分别平行，因此四边形ABPE是平行四边形。
【答案】
分别连接正五边形的对角线BD、CE，两线交于点P，沿线段BP、EP裁剪即可得到平行四边形ABPE。
【知识点】
多边形内角和、等腰三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题将几何操作与性质证明相结合，综合考查了正多边形性质、角度计算和平行四边形的判定定理，能够有效锻炼逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2. 从前有一位老人，家里很穷，只有一块平行四边形田地，记为平行四边形ABCD，如图所示。老人临终前对两个儿子说：“这块田地，你们兄弟俩平分，但水井（图中点P的位置）公用。”兄弟俩怎样才能按老人的要求平分田地？聪明的你能帮这对兄弟设计一种可行的方案吗？快动手试试吧！
答案
解：
作法：
① 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线交于点O；
② 过点O和点P作直线，该直线与平行四边形的一组对边分别相交，沿这条直线分割田地。
由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点O，过对称中心的直线可以将平行四边形的面积平分为相等的两部分，且点P在分界线上，分割后两块田地都可使用水井P，满足要求。
答：沿过平行四边形对角线交点O与水井点P的直线分割田地，即可将田地面积平分，同时保证水井可被兄弟二人共同使用。
作法：
① 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线交于点O；
② 过点O和点P作直线，该直线与平行四边形的一组对边分别相交，沿这条直线分割田地。
由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点O，过对称中心的直线可以将平行四边形的面积平分为相等的两部分，且点P在分界线上，分割后两块田地都可使用水井P，满足要求。
答：沿过平行四边形对角线交点O与水井点P的直线分割田地，即可将田地面积平分，同时保证水井可被兄弟二人共同使用。
解析
【分析】
要解决这个问题，需要同时满足两个要求：一是将平行四边形田地的面积平均分成两份，二是分割线经过水井所在的点P，保证水井公用。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意直线都可以将平行四边形分成面积相等的两部分。因此我们只需要先找到平行四边形的对称中心，再作一条同时经过对称中心和点P的直线，这条直线就能同时满足两个要求。
【解析】
作法：
① 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线相交于点O，点O即为平行四边形的对称中心；
② 过点O和点P作直线，该直线与平行四边形的一组对边分别相交，沿这条直线分割田地。
原理：根据中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分，因此这条直线能平分平行四边形的面积；又因为点P在该直线上，水井在分割界线上，兄弟二人都可以使用水井，符合老人的要求。
【答案】
沿过平行四边形对角线交点O与水井点P的直线分割田地，即可将田地面积平分，同时保证水井可被兄弟二人共同使用。
【知识点】
平行四边形的性质、中心对称图形的性质、图形面积分割
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住“过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”这一核心规律，再结合题目要求让分割线经过水井点P即可，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需要同时满足两个要求：一是将平行四边形田地的面积平均分成两份，二是分割线经过水井所在的点P，保证水井公用。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意直线都可以将平行四边形分成面积相等的两部分。因此我们只需要先找到平行四边形的对称中心，再作一条同时经过对称中心和点P的直线，这条直线就能同时满足两个要求。
【解析】
作法：
① 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线相交于点O，点O即为平行四边形的对称中心；
② 过点O和点P作直线，该直线与平行四边形的一组对边分别相交，沿这条直线分割田地。
原理：根据中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的直线可以将图形分成面积相等的两部分，因此这条直线能平分平行四边形的面积；又因为点P在该直线上，水井在分割界线上，兄弟二人都可以使用水井，符合老人的要求。
【答案】
沿过平行四边形对角线交点O与水井点P的直线分割田地，即可将田地面积平分，同时保证水井可被兄弟二人共同使用。
【知识点】
平行四边形的性质、中心对称图形的性质、图形面积分割
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住“过中心对称图形对称中心的直线平分图形面积”这一核心规律，再结合题目要求让分割线经过水井点P即可，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
1. 如图1，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC的长是（
A.5
B.4
C.3.5
D.3
B
）A.5
B.4
C.3.5
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的相关性质，结合题目给出的角度和边长条件逐步推导：第一步，矩形的四个角都是直角，同时对角线相等且互相平分，因此我们可以先在直角三角形ABD中利用30°角的特殊性质求出对角线BD的长度；第二步，根据矩形对角线相等得到AC的长度，再由对角线互相平分的性质求出OC的长度即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°，且矩形对角线相等、互相平分，即AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴ BD=2AB
已知AB=4，代入得BD=2×4=8
∴ AC=BD=8
∴ OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考查对矩形性质和特殊直角三角形性质的理解与应用，解题的关键是熟练掌握相关图形的性质，找到边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的相关性质，结合题目给出的角度和边长条件逐步推导：第一步，矩形的四个角都是直角，同时对角线相等且互相平分，因此我们可以先在直角三角形ABD中利用30°角的特殊性质求出对角线BD的长度；第二步，根据矩形对角线相等得到AC的长度，再由对角线互相平分的性质求出OC的长度即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠BAD=90°，且矩形对角线相等、互相平分，即AC=BD，OC=$\frac{1}{2}$AC
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半
∴ BD=2AB
已知AB=4，代入得BD=2×4=8
∴ AC=BD=8
∴ OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考查对矩形性质和特殊直角三角形性质的理解与应用，解题的关键是熟练掌握相关图形的性质，找到边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
2. 如图2，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（
A.5
B.8
C.9
D.11
C
）A.5
B.8
C.9
D.11
答案
2.C
解析
【分析】
解决这类矩形计数问题的核心是确定分类标准，按顺序计数避免重复或遗漏。首先矩形对边中点的连线EG、HF互相垂直，将大矩形ABCD分割为4个全等的小矩形，我们以“组成矩形的小矩形数量”为分类标准逐一计数即可。
【解析】
按构成矩形的小矩形个数分类统计：
1. 单个独立的小矩形：共4个；
2. 由2个小矩形拼接而成的矩形：横向相邻拼接有2个，纵向相邻拼接有2个，合计4个；
3. 由4个小矩形拼接而成的矩形：即原大矩形ABCD，共1个。
总矩形个数为 $ 4+4+1=9 $ 个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；分类计数法
【点评】
本题属于基础图形计数类题目，解题关键是建立有序的计数逻辑，只要做到不重不漏就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.7
解决这类矩形计数问题的核心是确定分类标准，按顺序计数避免重复或遗漏。首先矩形对边中点的连线EG、HF互相垂直，将大矩形ABCD分割为4个全等的小矩形，我们以“组成矩形的小矩形数量”为分类标准逐一计数即可。
【解析】
按构成矩形的小矩形个数分类统计：
1. 单个独立的小矩形：共4个；
2. 由2个小矩形拼接而成的矩形：横向相邻拼接有2个，纵向相邻拼接有2个，合计4个；
3. 由4个小矩形拼接而成的矩形：即原大矩形ABCD，共1个。
总矩形个数为 $ 4+4+1=9 $ 个。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；分类计数法
【点评】
本题属于基础图形计数类题目，解题关键是建立有序的计数逻辑，只要做到不重不漏就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.7
