登录
3. 已知菱形的周长为$4\sqrt{5}$，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.4
D
）A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.4
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的核心性质：①四条边长度相等；②对角线互相垂直平分；③面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再设两条对角线的长度分别为a、b，结合“对角线和为6”可得a+b=6，再利用对角线垂直的性质结合勾股定理，得到a、b的平方和，最后通过完全平方公式变形求出ab的值，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
第一步：求菱形的边长
∵菱形的四条边相等，周长为$4\sqrt{5}$
∴菱形的边长 = $4\sqrt{5} ÷ 4 = \sqrt{5}$
第二步：设未知量，结合性质列关系式
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$，由题意得：
$a + b = 6$ （两条对角线的和为6）
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = (\sqrt{5})^2$
整理得：$\frac{a^2 + b^2}{4} = 5$，即$a^2 + b^2 = 20$
第三步：用完全平方公式求$ab$的值
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=6$、$a^2+b^2=20$代入得：
$6^2 = 20 + 2ab$
解得：$2ab = 36 - 20 = 16$，即$ab = 8$
第四步：计算菱形的面积
菱形的面积 = $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 8 = 4$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，不需要单独求出两条对角线的长度，利用完全平方公式变形求对角线乘积即可简化计算，避免复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形的核心性质：①四条边长度相等；②对角线互相垂直平分；③面积等于两条对角线乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再设两条对角线的长度分别为a、b，结合“对角线和为6”可得a+b=6，再利用对角线垂直的性质结合勾股定理，得到a、b的平方和，最后通过完全平方公式变形求出ab的值，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
第一步：求菱形的边长
∵菱形的四条边相等，周长为$4\sqrt{5}$
∴菱形的边长 = $4\sqrt{5} ÷ 4 = \sqrt{5}$
第二步：设未知量，结合性质列关系式
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$，由题意得：
$a + b = 6$ （两条对角线的和为6）
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = (\sqrt{5})^2$
整理得：$\frac{a^2 + b^2}{4} = 5$，即$a^2 + b^2 = 20$
第三步：用完全平方公式求$ab$的值
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=6$、$a^2+b^2=20$代入得：
$6^2 = 20 + 2ab$
解得：$2ab = 36 - 20 = 16$，即$ab = 8$
第四步：计算菱形的面积
菱形的面积 = $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 8 = 4$
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，不需要单独求出两条对角线的长度，利用完全平方公式变形求对角线乘积即可简化计算，避免复杂运算。
【难度系数】
0.7
4. 如图3，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE。若AB的长为2，则FM的长为（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
B
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
4.B
解析
【分析】解题时先从折叠和正方形的性质入手：首先折叠前后对应边相等，可得BF=AB=2；其次折痕MN是正方形对边中点连线，可推出BM的长度为边长的一半，且MN与BC互相垂直，即△BMF是直角三角形，最后借助勾股定理即可求出FM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=2，
∵MN是正方形沿对边中点对折的折痕，
∴M是BC的中点，MN⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BMF=90°，
由折叠的性质可知，BF=AB=2，
在Rt△BMF中，根据勾股定理：
$FM=\sqrt{BF^2 - BM^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
【答案】B
【知识点】正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】本题将折叠变换与正方形性质结合考查，核心是通过折叠找到相等的线段，将所求线段转化到直角三角形中用勾股定理计算，属于基础的几何综合题。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=2，
∵MN是正方形沿对边中点对折的折痕，
∴M是BC的中点，MN⊥BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BMF=90°，
由折叠的性质可知，BF=AB=2，
在Rt△BMF中，根据勾股定理：
$FM=\sqrt{BF^2 - BM^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
【答案】B
【知识点】正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】本题将折叠变换与正方形性质结合考查，核心是通过折叠找到相等的线段，将所求线段转化到直角三角形中用勾股定理计算，属于基础的几何综合题。
【难度系数】0.7
5. 如图4，DB // AC，且DB= $\frac{1}{2}$AC，E是AC的中点。
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD，BE，要使四边形DBEA是矩形，应给△ABC添加什么条件？说明理由。
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD，BE，要使四边形DBEA是矩形，应给△ABC添加什么条件？说明理由。
答案
5.（1）证明：因为E是AC中点，所以EC=$\frac{1}{2}$AC。因为DB=$\frac{1}{2}$AC，所以DB=EC。又因为DB // EC，所以四边形DBCE是平行四边形，BC=DE。
（2）添加AB=BC。
理由：连接AD，BE。因为DB // AE且DB=AE，所以四边形DBEA是平行四边形。因为BC=DE，AB=BC，所以AB=DE，□DBEA是矩形。
（2）添加AB=BC。
理由：连接AD，BE。因为DB // AE且DB=AE，所以四边形DBEA是平行四边形。因为BC=DE，AB=BC，所以AB=DE，□DBEA是矩形。
解析
【分析】
（1）要证明BC=DE，可通过证明四边形DBCE是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导。首先根据E是AC中点得到EC是AC的一半，结合已知DB是AC的一半，可推出DB与EC相等，再结合DB平行AC的条件，可证四边形DBCE是平行四边形，即可得到BC=DE。
（2）要使四边形DBEA是矩形，首先先判断现有四边形的形状：由DB平行AC、DB是AC一半、E是AC中点，可得DB与AE平行且相等，因此四边形DBEA首先是平行四边形。根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，结合第一问得到的BC=DE，只需添加AB=BC，即可得到平行四边形DBEA的对角线AB=DE，进而证明其是矩形。
【解析】
（1）证明：
∵ E是AC的中点，
∴ $\boldsymbol{EC=\frac{1}{2}AC}$，
又
∵ $DB=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\boldsymbol{DB=EC}$，
∵ $DB// AC$，即$DB// EC$，
∴ 四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $\boldsymbol{BC=DE}$（平行四边形对边相等）。
（2）添加条件：$\boldsymbol{AB=BC}$。
理由：连接AD，BE。
∵ E是AC中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $DB=\frac{1}{2}AC$且$DB// AC$，
∴ $DB=AE$，$DB// AE$，
∴ 四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
由（1）可知$BC=DE$，
又
∵ $AB=BC$，
∴ $AB=DE$，
∴ 平行四边形DBEA是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
（1）证明：因为E是AC中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC$。因为$DB=\frac{1}{2}AC$，所以$DB=EC$。又因为$DB// EC$，所以四边形DBCE是平行四边形，$BC=DE$。
（2）添加$AB=BC$。理由：连接AD，BE。因为$DB// AE$且$DB=AE$，所以四边形DBEA是平行四边形。因为$BC=DE$，$AB=BC$，所以$AB=DE$，$□ DBEA$是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定；中点的定义
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的应用，解题时需先结合已知条件推导边的数量关系与位置关系，先判定平行四边形再结合矩形的判定条件添加合适的条件，能有效巩固特殊四边形的相关定理，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BC=DE，可通过证明四边形DBCE是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质推导。首先根据E是AC中点得到EC是AC的一半，结合已知DB是AC的一半，可推出DB与EC相等，再结合DB平行AC的条件，可证四边形DBCE是平行四边形，即可得到BC=DE。
（2）要使四边形DBEA是矩形，首先先判断现有四边形的形状：由DB平行AC、DB是AC一半、E是AC中点，可得DB与AE平行且相等，因此四边形DBEA首先是平行四边形。根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，结合第一问得到的BC=DE，只需添加AB=BC，即可得到平行四边形DBEA的对角线AB=DE，进而证明其是矩形。
【解析】
（1）证明：
∵ E是AC的中点，
∴ $\boldsymbol{EC=\frac{1}{2}AC}$，
又
∵ $DB=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\boldsymbol{DB=EC}$，
∵ $DB// AC$，即$DB// EC$，
∴ 四边形DBCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $\boldsymbol{BC=DE}$（平行四边形对边相等）。
（2）添加条件：$\boldsymbol{AB=BC}$。
理由：连接AD，BE。
∵ E是AC中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ $DB=\frac{1}{2}AC$且$DB// AC$，
∴ $DB=AE$，$DB// AE$，
∴ 四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
由（1）可知$BC=DE$，
又
∵ $AB=BC$，
∴ $AB=DE$，
∴ 平行四边形DBEA是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
（1）证明：因为E是AC中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC$。因为$DB=\frac{1}{2}AC$，所以$DB=EC$。又因为$DB// EC$，所以四边形DBCE是平行四边形，$BC=DE$。
（2）添加$AB=BC$。理由：连接AD，BE。因为$DB// AE$且$DB=AE$，所以四边形DBEA是平行四边形。因为$BC=DE$，$AB=BC$，所以$AB=DE$，$□ DBEA$是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；矩形的判定；中点的定义
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的应用，解题时需先结合已知条件推导边的数量关系与位置关系，先判定平行四边形再结合矩形的判定条件添加合适的条件，能有效巩固特殊四边形的相关定理，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图5，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC = ∠OCB。
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形变为正方形。
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形变为正方形。
答案
6.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD。
因为∠OBC= ∠OCB，所以OB=OC，AC=BD。所以平行四边形ABCD是矩形。
（2）解：答案不唯一，如AB=AD，AC ⊥ BD等。
因为∠OBC= ∠OCB，所以OB=OC，AC=BD。所以平行四边形ABCD是矩形。
（2）解：答案不唯一，如AB=AD，AC ⊥ BD等。
解析
【分析】
（1）要证明平行四边形ABCD是矩形，可通过证明平行四边形对角线相等实现。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC、OB=OD；再结合已知∠OBC=∠OCB，通过等角对等边得到OB=OC，进而推出AC=BD，即可符合矩形的判定条件。
（2）要让矩形变为正方形，根据正方形的判定规则，只需添加符合“邻边相等的矩形是正方形”或“对角线互相垂直的矩形是正方形”的条件即可，答案不唯一。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。
∵ ∠OBC = ∠OCB，
∴ 等角对等边，即OB=OC，
∴ AC=OA+OC=2OC，BD=OB+OD=2OB，可得AC=BD。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可证平行四边形ABCD是矩形。
（2）解：矩形变为正方形，可添加邻边相等或对角线垂直的条件，比如AB=AD，或者AC⊥BD，均可满足要求。
【答案】
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD。因为∠OBC= ∠OCB，所以OB=OC，AC=BD。所以平行四边形ABCD是矩形。
（2）答案不唯一，如AB=AD，AC ⊥ BD等。
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题核心是熟练掌握矩形、正方形的判定定理，属于基础类题型，只要牢记相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明平行四边形ABCD是矩形，可通过证明平行四边形对角线相等实现。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得到OA=OC、OB=OD；再结合已知∠OBC=∠OCB，通过等角对等边得到OB=OC，进而推出AC=BD，即可符合矩形的判定条件。
（2）要让矩形变为正方形，根据正方形的判定规则，只需添加符合“邻边相等的矩形是正方形”或“对角线互相垂直的矩形是正方形”的条件即可，答案不唯一。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。
∵ ∠OBC = ∠OCB，
∴ 等角对等边，即OB=OC，
∴ AC=OA+OC=2OC，BD=OB+OD=2OB，可得AC=BD。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可证平行四边形ABCD是矩形。
（2）解：矩形变为正方形，可添加邻边相等或对角线垂直的条件，比如AB=AD，或者AC⊥BD，均可满足要求。
【答案】
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD。因为∠OBC= ∠OCB，所以OB=OC，AC=BD。所以平行四边形ABCD是矩形。
（2）答案不唯一，如AB=AD，AC ⊥ BD等。
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题核心是熟练掌握矩形、正方形的判定定理，属于基础类题型，只要牢记相关定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
