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27. 如图，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F，E，求证：FG//BC.
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠BED=90°，∠BFC=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴（
∴∠1=∠BCF（
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BCF（
∴FG//BC（
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知），
∴∠BED=90°，∠BFC=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴（
ED
）//（FC
）（同位角相等，两直线平行
），∴∠1=∠BCF（
两直线平行，同位角相等
）.又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BCF（
等量代换
），∴FG//BC（
内错角相等，两直线平行
）.答案
27. 证明:
∵CF⊥AB,DE⊥AB(已知)，
∴∠BED=90°,∠BFC=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴(ED)//(FC)(同位角相等,两直线平行)，
∴∠1=∠BCF(两直线平行,同位角相等).
又
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠2=∠BCF(等量代换)，
∴FG//BC(内错角相等,两直线平行).
∵CF⊥AB,DE⊥AB(已知)，
∴∠BED=90°,∠BFC=90°，
∴∠BED=∠BFC，
∴(ED)//(FC)(同位角相等,两直线平行)，
∴∠1=∠BCF(两直线平行,同位角相等).
又
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠2=∠BCF(等量代换)，
∴FG//BC(内错角相等,两直线平行).
解析
【分析】
本题要证明$FG// BC$，可通过推导$FG$、$BC$被$CF$所截的内错角相等来证明。首先观察已知条件：$CF⊥ AB$、$DE⊥ AB$，可得$∠ BED$与$∠ BFC$均为$90°$，二者是同位角，根据同位角相等可先推出$ED// FC$；再利用平行线的性质，得到$∠1=∠ BCF$；结合已知$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠2=∠ BCF$，这组角是$FG$和$BC$被$CF$所截的内错角，内错角相等即可推出$FG// BC$，完成证明。
【解析】
证明：$\because CF⊥ AB$，$DE⊥ AB$（已知），
$\therefore ∠ BED=90°$，$∠ BFC=90°$，
$\therefore ∠ BED=∠ BFC$，
$\therefore ED// FC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1=∠ BCF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠1=∠2$（已知），
$\therefore ∠2=∠ BCF$（等量代换），
$\therefore FG// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
依次填入：$ED$；$FC$；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定与性质的基础综合题，核心考查对平行线判定和性质的区分与运用，解题时要注意：由角的数量关系推导直线平行用判定定理，由直线平行推导角的数量关系用性质定理，理清逻辑顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
本题要证明$FG// BC$，可通过推导$FG$、$BC$被$CF$所截的内错角相等来证明。首先观察已知条件：$CF⊥ AB$、$DE⊥ AB$，可得$∠ BED$与$∠ BFC$均为$90°$，二者是同位角，根据同位角相等可先推出$ED// FC$；再利用平行线的性质，得到$∠1=∠ BCF$；结合已知$∠1=∠2$，通过等量代换得到$∠2=∠ BCF$，这组角是$FG$和$BC$被$CF$所截的内错角，内错角相等即可推出$FG// BC$，完成证明。
【解析】
证明：$\because CF⊥ AB$，$DE⊥ AB$（已知），
$\therefore ∠ BED=90°$，$∠ BFC=90°$，
$\therefore ∠ BED=∠ BFC$，
$\therefore ED// FC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1=∠ BCF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠1=∠2$（已知），
$\therefore ∠2=∠ BCF$（等量代换），
$\therefore FG// BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
依次填入：$ED$；$FC$；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于平行线判定与性质的基础综合题，核心考查对平行线判定和性质的区分与运用，解题时要注意：由角的数量关系推导直线平行用判定定理，由直线平行推导角的数量关系用性质定理，理清逻辑顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
28. 如图，∠1=∠C，BE⊥DF于点P.
（1）若∠2=55°，求∠B的度数.
（2）若∠2+∠D=90°，求证：AB//CD.
（1）若∠2=55°，求∠B的度数.
（2）若∠2+∠D=90°，求证：AB//CD.
答案
28.(1)解:
∵∠1=∠C(已知)，
∴BE//CF(同位角相等,两直线平行)，
∴∠B=∠2=55°(两直线平行,同位角相等).
(2)证明:
∵BE⊥DF(已知)，
∴∠DPE=90°(垂直的定义).
∵BE//CF(已证)，
∴∠CFD=∠DPE=90°(两直线平行,同位角相等)，
∴∠2+∠BFD=180-∠CFD=90°(平角的定义).
∵∠2+∠D=90°(已知)，
∴∠BFD=∠D(同角的余角相等)，
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).
∵∠1=∠C(已知)，
∴BE//CF(同位角相等,两直线平行)，
∴∠B=∠2=55°(两直线平行,同位角相等).
(2)证明:
∵BE⊥DF(已知)，
∴∠DPE=90°(垂直的定义).
∵BE//CF(已证)，
∴∠CFD=∠DPE=90°(两直线平行,同位角相等)，
∴∠2+∠BFD=180-∠CFD=90°(平角的定义).
∵∠2+∠D=90°(已知)，
∴∠BFD=∠D(同角的余角相等)，
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).
解析
【分析】
（1）首先观察已知条件∠1=∠C，这是一组同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可推出BE//CF；再结合平行线的性质，两直线平行同位角相等，就能得到∠B和∠2相等，代入∠2的度数即可求出∠B的大小。
（2）要证明AB//CD，可通过证明内错角相等推导：首先由BE⊥DF得到直角，结合第一问已证的BE//CF，推出CF⊥DF，可得∠2与∠BFD互余；再结合已知∠2与∠D互余，根据同角的余角相等得到∠BFD=∠D，这两个角是内错角，即可推出AB//CD。
【解析】
(1) 解：
∵∠1=∠C（已知），
∴BE//CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠2=55°，
∴∠B=55°。
(2) 证明：
∵BE⊥DF（已知），
∴∠DPE=90°（垂直的定义），
由(1)已证BE//CF，
∴∠CFD=∠DPE=90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2+∠BFD=180°-∠CFD=90°（平角的定义），
又
∵∠2+∠D=90°（已知），
∴∠BFD=∠D（同角的余角相等），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) 证明成立，$AB// CD$。
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的定义，余角的性质
【点评】
本题是几何基础题型，重点考查平行线相关定理的综合运用，解题时需要准确识别角的位置关系，结合角的数量关系逐步推导，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察已知条件∠1=∠C，这是一组同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可推出BE//CF；再结合平行线的性质，两直线平行同位角相等，就能得到∠B和∠2相等，代入∠2的度数即可求出∠B的大小。
（2）要证明AB//CD，可通过证明内错角相等推导：首先由BE⊥DF得到直角，结合第一问已证的BE//CF，推出CF⊥DF，可得∠2与∠BFD互余；再结合已知∠2与∠D互余，根据同角的余角相等得到∠BFD=∠D，这两个角是内错角，即可推出AB//CD。
【解析】
(1) 解：
∵∠1=∠C（已知），
∴BE//CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠2=55°，
∴∠B=55°。
(2) 证明：
∵BE⊥DF（已知），
∴∠DPE=90°（垂直的定义），
由(1)已证BE//CF，
∴∠CFD=∠DPE=90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2+∠BFD=180°-∠CFD=90°（平角的定义），
又
∵∠2+∠D=90°（已知），
∴∠BFD=∠D（同角的余角相等），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) 证明成立，$AB// CD$。
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的定义，余角的性质
【点评】
本题是几何基础题型，重点考查平行线相关定理的综合运用，解题时需要准确识别角的位置关系，结合角的数量关系逐步推导，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
29. 如图是一个跳棋棋盘. 其游戏规则是：让一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角. 跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上. 例如：从起始角∠1跳到终点角∠3，可写出其中两种不同路径：
路径1： ∠1 $\xrightarrow{同旁内角}$ ∠9 $\xrightarrow{内错角}$ ∠3.
路径2： ∠1 $\xrightarrow{内错角}$ ∠12 $\xrightarrow{内错角}$ ∠6 $\xrightarrow{同位角}$ ∠10 $\xrightarrow{同旁内角}$ ∠3.
试一试：
（1）从起始角∠1跳到终点角∠8，写出其中一种路径.
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8?
路径1： ∠1 $\xrightarrow{同旁内角}$ ∠9 $\xrightarrow{内错角}$ ∠3.
路径2： ∠1 $\xrightarrow{内错角}$ ∠12 $\xrightarrow{内错角}$ ∠6 $\xrightarrow{同位角}$ ∠10 $\xrightarrow{同旁内角}$ ∠3.
试一试：
（1）从起始角∠1跳到终点角∠8，写出其中一种路径.
（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8?
答案
29. 解:(1)答案不唯一,如: $∠1 \xrightarrow{内错角} ∠12 \xrightarrow{同旁内角} ∠8$.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点角∠8.
其路径为: $∠1 \xrightarrow{同位角} ∠10 \xrightarrow{内错角} ∠5 \xrightarrow{同旁内角} ∠8$.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点角∠8.
其路径为: $∠1 \xrightarrow{同位角} ∠10 \xrightarrow{内错角} ∠5 \xrightarrow{同旁内角} ∠8$.
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特征，明确每一步跳动对应的角的关系。
（1）问只需逐步寻找符合三类角关系的角，搭建从∠1到∠8的路径即可，路径不唯一；
（2）问需要严格按照“同位角→内错角→同旁内角”的顺序依次匹配对应角，验证最终是否能到达∠8。
【解析】
（1）根据三类角的位置特征判断：∠1和∠12在截线两侧，且夹在两条被截线之间，属于内错角；∠12和∠8在截线同侧，且夹在两条被截线之间，属于同旁内角，因此可得到符合要求的路径，也可构造其他符合角关系的路径。
（2）按照指定顺序逐步匹配：
第一步：找∠1的同位角，∠1和∠10在截线同侧，且在两条被截线的同一方，是同位角，第一步跳到∠10；
第二步：找∠10的内错角，∠10和∠5在截线两侧，且夹在两条被截线之间，是内错角，第二步跳到∠5；
第三步：找∠5的同旁内角，∠5和∠8在截线同侧，且夹在两条被截线之间，是同旁内角，第三步刚好到达∠8。
【答案】
(1) 答案不唯一，如：$\boldsymbol{∠1 \xrightarrow{内错角} ∠12 \xrightarrow{同旁内角} ∠8}$。
(2) 能跳到终点角∠8，其路径为：$\boldsymbol{∠1 \xrightarrow{同位角} ∠10 \xrightarrow{内错角} ∠5 \xrightarrow{同旁内角} ∠8}$。
【知识点】
同位角的识别、内错角的识别、同旁内角的识别
【点评】
本题结合跳棋游戏的形式考查三类角的识别，形式新颖有趣，解题的关键是准确把握同位角、内错角、同旁内角的位置特征，灵活运用概念寻找符合要求的路径，侧重对基础概念理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特征，明确每一步跳动对应的角的关系。
（1）问只需逐步寻找符合三类角关系的角，搭建从∠1到∠8的路径即可，路径不唯一；
（2）问需要严格按照“同位角→内错角→同旁内角”的顺序依次匹配对应角，验证最终是否能到达∠8。
【解析】
（1）根据三类角的位置特征判断：∠1和∠12在截线两侧，且夹在两条被截线之间，属于内错角；∠12和∠8在截线同侧，且夹在两条被截线之间，属于同旁内角，因此可得到符合要求的路径，也可构造其他符合角关系的路径。
（2）按照指定顺序逐步匹配：
第一步：找∠1的同位角，∠1和∠10在截线同侧，且在两条被截线的同一方，是同位角，第一步跳到∠10；
第二步：找∠10的内错角，∠10和∠5在截线两侧，且夹在两条被截线之间，是内错角，第二步跳到∠5；
第三步：找∠5的同旁内角，∠5和∠8在截线同侧，且夹在两条被截线之间，是同旁内角，第三步刚好到达∠8。
【答案】
(1) 答案不唯一，如：$\boldsymbol{∠1 \xrightarrow{内错角} ∠12 \xrightarrow{同旁内角} ∠8}$。
(2) 能跳到终点角∠8，其路径为：$\boldsymbol{∠1 \xrightarrow{同位角} ∠10 \xrightarrow{内错角} ∠5 \xrightarrow{同旁内角} ∠8}$。
【知识点】
同位角的识别、内错角的识别、同旁内角的识别
【点评】
本题结合跳棋游戏的形式考查三类角的识别，形式新颖有趣，解题的关键是准确把握同位角、内错角、同旁内角的位置特征，灵活运用概念寻找符合要求的路径，侧重对基础概念理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
