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20. 如图，小李计划把河中的水引到水池A进行蓄水，结果发现沿线段AB挖渠，能使水渠最短，其中蕴含的数学原理是
垂线段最短
。答案
20.垂线段最短
解析
【分析】
解决这道题首先要把实际问题转化为几何模型：我们可以将河岸看作一条直线，水池A是这条直线外的一个点，挖渠的长度就是直线外一点到直线上某点的线段长度。要找最短的水渠，就需要回忆直线外一点与直线上各点连接的所有线段的长度规律，根据所学的几何性质即可找到对应的原理。
【解析】
我们将河岸抽象为一条直线，水池A是该直线外的一点，线段AB是点A到河岸所在直线的垂线段。根据几何性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此沿线段AB挖渠能使水渠最短，对应的数学原理就是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 实际问题几何建模
【点评】
本题是基础几何性质在实际生活中的应用，核心是将生活场景转化为对应的几何模型，再结合所学的基础几何性质求解，侧重考查对基础性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要把实际问题转化为几何模型：我们可以将河岸看作一条直线，水池A是这条直线外的一个点，挖渠的长度就是直线外一点到直线上某点的线段长度。要找最短的水渠，就需要回忆直线外一点与直线上各点连接的所有线段的长度规律，根据所学的几何性质即可找到对应的原理。
【解析】
我们将河岸抽象为一条直线，水池A是该直线外的一点，线段AB是点A到河岸所在直线的垂线段。根据几何性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此沿线段AB挖渠能使水渠最短，对应的数学原理就是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
1. 垂线段的性质
2. 实际问题几何建模
【点评】
本题是基础几何性质在实际生活中的应用，核心是将生活场景转化为对应的几何模型，再结合所学的基础几何性质求解，侧重考查对基础性质的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.9
21. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若∠BOD=35°，则∠AOC的度数是
$125°$
.答案
21.$125°$
解析
【分析】
解题思路可以分三步梳理：第一步，先从已知条件提取关键信息，点O在直线AB上，说明∠AOB是180°的平角；OC⊥OD，说明两条直线的夹角∠COD=90°，已知∠BOD=35°，要求∠AOC的度数。第二步，找角的和差关系，我们要求的∠AOC和∠COB刚好组成平角∠AOB，所以只要先算出∠COB的度数，就能求出∠AOC。第三步，结合垂直的性质，∠COB和∠BOD相加等于直角∠COD，因此用90°减去∠BOD的度数即可得到∠COB，最后代入计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°（平角的定义），
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°（垂直的定义），
又
∵ ∠COD = ∠COB + ∠BOD，且∠BOD=35°，
∴ ∠COB = ∠COD - ∠BOD = 90° - 35° = 55°，
∵ ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 55° = 125°。
【答案】
125°
【知识点】
平角的定义；垂直的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，重点考查对平角、垂直概念的掌握，只要理清图中角的和差关系就能快速求解，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.85
解题思路可以分三步梳理：第一步，先从已知条件提取关键信息，点O在直线AB上，说明∠AOB是180°的平角；OC⊥OD，说明两条直线的夹角∠COD=90°，已知∠BOD=35°，要求∠AOC的度数。第二步，找角的和差关系，我们要求的∠AOC和∠COB刚好组成平角∠AOB，所以只要先算出∠COB的度数，就能求出∠AOC。第三步，结合垂直的性质，∠COB和∠BOD相加等于直角∠COD，因此用90°减去∠BOD的度数即可得到∠COB，最后代入计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB = 180°（平角的定义），
∵ OC⊥OD，
∴ ∠COD = 90°（垂直的定义），
又
∵ ∠COD = ∠COB + ∠BOD，且∠BOD=35°，
∴ ∠COB = ∠COD - ∠BOD = 90° - 35° = 55°，
∵ ∠AOC + ∠COB = ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠COB = 180° - 55° = 125°。
【答案】
125°
【知识点】
平角的定义；垂直的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，重点考查对平角、垂直概念的掌握，只要理清图中角的和差关系就能快速求解，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.85
22. 如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是
第22题图第23题图第24题图
AD和BC
。第22题图第23题图第24题图答案
22.AD和BC
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠1=∠2入手，首先确定两个角的位置：∠1的两条边是AD、AC，∠2的两条边是BC、AC，公共边AC是截线，剩下的两条边AD、BC是被截直线，这两个角在截线两侧且夹在两条被截直线之间，属于内错角。再结合平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，就能推出对应的平行线段。
【解析】
∠1和∠2是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，
∵∠1=∠2，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
AD和BC
【知识点】
内错角的识别，平行线的判定
【点评】
本题是基础类几何题，核心考查平行线的判定规则，解题关键是准确识别两个角对应的截线和被截直线，熟练掌握内错角相等与两直线平行的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件∠1=∠2入手，首先确定两个角的位置：∠1的两条边是AD、AC，∠2的两条边是BC、AC，公共边AC是截线，剩下的两条边AD、BC是被截直线，这两个角在截线两侧且夹在两条被截直线之间，属于内错角。再结合平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，就能推出对应的平行线段。
【解析】
∠1和∠2是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，
∵∠1=∠2，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
AD和BC
【知识点】
内错角的识别，平行线的判定
【点评】
本题是基础类几何题，核心考查平行线的判定规则，解题关键是准确识别两个角对应的截线和被截直线，熟练掌握内错角相等与两直线平行的对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
23. 如图，∠1=60°，∠2=60°，则直线a与b的位置关系是
$a// b$
。答案
23.$a// b$
解析
【分析】
解题时首先观察已知角和图形特征：已知∠1和∠2度数相等，我们需要找到连接两个角、可判定直线a、b位置关系的中间角。首先发现∠2和∠3是对顶角，根据对顶角相等可求出∠3的度数，再判断∠3和∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角，同位角相等即可判定两直线平行，按这个思路就能推导得出a、b的位置关系。
【解析】
解：
∵ ∠2与∠3是对顶角，
∴ ∠3=∠2=60°（对顶角相等），
又
∵ ∠1=60°，
∴ ∠1=∠3，
∵ ∠1和∠3是直线a、b被直线c所截得到的同位角，
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$a// b$
【知识点】
1.对顶角相等
2.平行线的判定
【点评】
本题是几何基础题，重点考查对顶角的性质和平行线的判定定理，解题核心是通过对顶角相等将已知角转化为同位角，从而判断直线的位置关系，整体思路比较直观。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知角和图形特征：已知∠1和∠2度数相等，我们需要找到连接两个角、可判定直线a、b位置关系的中间角。首先发现∠2和∠3是对顶角，根据对顶角相等可求出∠3的度数，再判断∠3和∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角，同位角相等即可判定两直线平行，按这个思路就能推导得出a、b的位置关系。
【解析】
解：
∵ ∠2与∠3是对顶角，
∴ ∠3=∠2=60°（对顶角相等），
又
∵ ∠1=60°，
∴ ∠1=∠3，
∵ ∠1和∠3是直线a、b被直线c所截得到的同位角，
∴ $a// b$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$a// b$
【知识点】
1.对顶角相等
2.平行线的判定
【点评】
本题是几何基础题，重点考查对顶角的性质和平行线的判定定理，解题核心是通过对顶角相等将已知角转化为同位角，从而判断直线的位置关系，整体思路比较直观。
【难度系数】
0.8
24. 如图表示钉在一起的木条a，b，c. 若测得$∠ 1=50°$，$∠ 2=75°$，要使木条$a// b$，木条a至少要旋转________°.
答案
24.25
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行。要使木条a//b，需要让木条c截a、b所得的同位角相等，也就是木条a与c的夹角要等于∠1=50°。现在木条a与c的夹角∠2=75°，只需计算∠2与50°的差值，就是木条a至少需要旋转的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
当木条a//b时，木条a与c的夹角应等于∠1=50°。
已知当前∠2=75°，因此木条a至少要旋转的度数为：
$70° - 50° = 25°$
【答案】
25
【知识点】
平行线的判定；角度的和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查平行线判定定理的应用，解题的关键是明确两直线平行时对应的同位角相等，再通过角度差即可求出旋转角度，侧重对基础定理的理解和简单应用。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先回忆平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行。要使木条a//b，需要让木条c截a、b所得的同位角相等，也就是木条a与c的夹角要等于∠1=50°。现在木条a与c的夹角∠2=75°，只需计算∠2与50°的差值，就是木条a至少需要旋转的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
当木条a//b时，木条a与c的夹角应等于∠1=50°。
已知当前∠2=75°，因此木条a至少要旋转的度数为：
$70° - 50° = 25°$
【答案】
25
【知识点】
平行线的判定；角度的和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查平行线判定定理的应用，解题的关键是明确两直线平行时对应的同位角相等，再通过角度差即可求出旋转角度，侧重对基础定理的理解和简单应用。
【难度系数】
0.75
三、解答题
25. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE=36°。求∠AOC的度数。
25. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠BOE=36°。求∠AOC的度数。
答案
25. 解:
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°，
∴∠AOC=∠BOD=72°。
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°，
∴∠AOC=∠BOD=72°。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据OE平分∠BOD这一条件，结合角平分线的定义，可先计算出∠BOD的度数；再观察图形可知∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=72°。
【答案】
$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合图形找准角之间的数量关系，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，首先根据OE平分∠BOD这一条件，结合角平分线的定义，可先计算出∠BOD的度数；再观察图形可知∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=2×36°=72°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=72°。
【答案】
$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合图形找准角之间的数量关系，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
26. 如图，已知：射线OC，OD在$∠ AOB$的内部，$OC ⊥ OB$，OD平分$∠ AOB$. 当$∠ AOB=130°$时，求$∠ COD$的度数.
让我们增加一些难度. 已知条件不变：射线OC，OD在$∠ AOB$的内部，$OC ⊥ OB$，OD平分$∠ AOB$. 但是现在不知道$∠ AOB$的度数，只知道$∠ BOD=2∠ AOC$. 聪明的你还能求出$∠ COD$的度数吗？
举一反三
让我们增加一些难度. 已知条件不变：射线OC，OD在$∠ AOB$的内部，$OC ⊥ OB$，OD平分$∠ AOB$. 但是现在不知道$∠ AOB$的度数，只知道$∠ BOD=2∠ AOC$. 聪明的你还能求出$∠ COD$的度数吗？
举一反三
答案
26. 解:
∵ OD 平分 $∠AOB$，$∠AOB = 130°$，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=130°×\frac{1}{2}=65°$.
∵$OC⊥OB,∴∠COB=90°$,
∴$∠COD = ∠COB - ∠BOD = 90° - 65°=25°$.
∵ OD 平分 $∠AOB$，$∠AOB = 130°$，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=130°×\frac{1}{2}=65°$.
∵$OC⊥OB,∴∠COB=90°$,
∴$∠COD = ∠COB - ∠BOD = 90° - 65°=25°$.
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先，已知OD平分∠AOB，结合∠AOB的度数，根据角平分线的定义可先求出∠BOD的度数；其次，由OC⊥OB，根据垂直的定义可得∠COB为90°；最后观察角的位置关系，可知∠COD等于∠COB减去∠BOD，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ OD平分$∠AOB$，$∠AOB = 130°$，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=130°×\frac{1}{2}=65°$。
∵$OC⊥OB$，
∴$∠COB=90°$，
∴$∠COD = ∠COB - ∠BOD = 90° - 65°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的定义；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算基础题，解题关键是明确各角之间的数量关系，熟练运用角平分线和垂直的相关性质梳理运算逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知条件逐步推导：首先，已知OD平分∠AOB，结合∠AOB的度数，根据角平分线的定义可先求出∠BOD的度数；其次，由OC⊥OB，根据垂直的定义可得∠COB为90°；最后观察角的位置关系，可知∠COD等于∠COB减去∠BOD，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ OD平分$∠AOB$，$∠AOB = 130°$，
∴$∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB=130°×\frac{1}{2}=65°$。
∵$OC⊥OB$，
∴$∠COB=90°$，
∴$∠COD = ∠COB - ∠BOD = 90° - 65°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
角平分线的定义；垂直的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的计算基础题，解题关键是明确各角之间的数量关系，熟练运用角平分线和垂直的相关性质梳理运算逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
