1 [2025 河北]在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则$x$的取值范围是 （）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

1. B

【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中给出的$y$的范围是$2＜y＜4$，均为正数，说明对应的$x$也是正数，函数图象在第一象限。接下来我们先求出$y=2$和$y=4$时对应的$x$的值，再结合函数的增减性，就能确定$x$的取值范围。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，其中$k=4＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$2＜y＜4$，$y$为正数，
∴对应的$x＞0$，即此时图象在第一象限。
当$y=2$时，代入函数得：$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入函数得：$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
∵在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，自变量取值范围求解
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是先根据函数值的正负确定函数所在的象限，再结合增减性推导自变量的范围，避免忽略象限限制直接代值导致的错误。
【难度系数】
0.8

2 [2024宿豫期末]如图，正比例函数$y=k_1x$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为－3，当$k_1x＜\frac{k_2}{x}$时，x的取值范围是（）

A.$x＜-3$或$x＞3$
B.$-3＜x＜0$或$x＞3$
C.$x＜-3$或$0＜x＜3$
D.$-3＜x＜0$或$0＜x＜3$

2. B

【分析】
解题首先利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称的性质，已知点A横坐标为-3，可推出另一交点B的横坐标为3；求解不等式$k_1x＜\frac{k_2}{x}$的本质是找正比例函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，因反比例函数定义域为$x≠0$，需分x＜0和x＞0两个区间，结合交点横坐标划分范围逐一判断即可。
【解析】
解：
∵正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称，点A的横坐标为-3，
∴点B的横坐标为3。
不等式$k_1x＜\frac{k_2}{x}$的几何意义是：正比例函数$y=k_1x$的图象在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$图象下方时对应的x的取值范围，结合图象分析：
① 当$x＜0$时，在$-3＜x＜0$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式；
② 当$x＞0$时，在$x＞3$区间内，正比例函数图象位于反比例函数图象下方，满足不等式。
综上，x的取值范围是$-3＜x＜0$或$x＞3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正反比例函数交点性质；数形结合解函数不等式；反比例函数图象性质
【点评】
本题考查借助函数图象求解不等式的方法，核心是掌握正反比例函数交点关于原点对称的特点，利用数形结合思想可大幅降低解题难度，解题时注意不要遗漏$x≠0$的限制，需分正负半轴分别判断图象位置。
【难度系数】
0.7

3[2025宿城期末]如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象交于点$A(-3,n)$,$B(2,m)$,则关于$x$的不等式$kx+b＜\dfrac{m}{x}$的解集为.

3. $0＜x＜2$或$x＜-3$

【分析】
要解不等式$kx+b＜\dfrac{m}{x}$，可利用数形结合思想，其几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量$x$的取值范围。解题时先明确两个函数的交点坐标，再分$x＜0$和$x＞0$两个区间（反比例函数自变量不为0），分别观察交点左右两侧两个函数的上下位置关系，即可得到解集。
【解析】
不等式$kx+b＜\dfrac{m}{x}$的几何意义为：一次函数$y=kx+b$的图象位于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象下方时$x$的取值范围。
已知两个函数的交点为$A(-3,n)$、$B(2,m)$，结合图象分析：
1. 当$x＜-3$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足不等式；
2. 当$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足；
3. 当$0＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足不等式；
4. 当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足。
因此不等式的解集为$x＜-3$或$0＜x＜2$。
【答案】
$0＜x＜2$或$x＜-3$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、图象法解不等式
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需计算函数解析式，只需结合交点坐标和图象走势判断函数值大小关系即可，解题时注意反比例函数自变量不能为0，不要遗漏$x＜0$的取值区间。
【难度系数】
0.7

4 [2025 宿豫二模]如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=ax+b(a≠0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于 P,Q 两点,且点 P 的纵坐标为 3,点 Q 的坐标为 $(-6,-2)$.
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式;
(2) 请直接写出关于 x 的不等式 $ax+b＜\frac{k}{x}$ 的解集;
(3) 若点 M 在 x 轴上,且 $△ POM$ 的面积是 $△ POQ$ 的面积的 3 倍,求点 M 的坐标.

4. (1) $\because$ 点 $Q(-6,-2)$ 在反比例函数的图象上, $\therefore k=-6×(-2)=12$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$. $\because$ 点 $P$ 的纵坐标为 3,且点 $P$ 在反比例函数的图象上, $\therefore$ 令 $y=3$, 则 $x=4$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(4,3)$. $\because$ 点 $P(4,3)$,$Q(-6,-2)$ 在一次函数 $y=ax+b$ 的图象上,
$\therefore \begin{cases}4a+b=3,\\-6a+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+1$
(2) 观察图象,可得关于 $x$ 的不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集为 $x＜-6$ 或 $0＜x＜4$
(3) 设直线 $PQ$ 交 $y$ 轴于点 $N$. 在 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 中, 当 $x=0$ 时, $y=1$, $\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(0,1)$, $\therefore ON=1$. $\because S_{△ POQ}=S_{△ PON}+S_{△ QON}$, $\therefore S_{△ POQ}=\dfrac{1}{2}×1×4+\dfrac{1}{2}×1×6=5$. $\because$ 点 $M$ 在 $x$ 轴上, 且 $△ POM$ 的面积是 $△ POQ$ 的面积的 3 倍, $\therefore S_{△ POM}=15$. $\therefore \dfrac{1}{2}OM·3=15$, $\therefore OM=10$, $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(-10,0)$ 或 $(10,0)$

【分析】
(1) 求函数表达式采用待定系数法：先将已知的Q点坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数表达式；再利用P点纵坐标结合反比例函数表达式求出P点横坐标，得到P点完整坐标，最后将P、Q两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可求出一次函数表达式。
(2) 不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两函数交点P、Q的横坐标，分区间观察图象即可得到解集，注意反比例函数自变量x不为0。
(3) 先求$△ POQ$的面积：先找到一次函数与y轴的交点N，将$△ POQ$拆分为$△ PON$和$△ QON$两个三角形，分别计算面积求和得到$△ POQ$的面积；再根据面积倍数关系得到$△ POM$的面积，M在x轴上，$△ POM$以OM为底、P点纵坐标为高，列方程求出OM的长度，注意M可在x轴正半轴或负半轴，得到两个符合条件的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 点$Q(-6,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=-6×(-2)=12$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
$\because$ 点P的纵坐标为3，且点P在反比例函数的图象上，$\therefore$ 令$y=3$，则$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，$\therefore$ 点P的坐标为$(4,3)$。
$\because$ 点$P(4,3)$、$Q(-6,-2)$在一次函数$y=ax+b$的图象上，
$\therefore$ 列方程组$\begin{cases}4a+b=3\\-6a+b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{cases}$，$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+1$。
(2) 观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x取值为$x＜-6$或$0＜x＜4$，即不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为$x＜-6$或$0＜x＜4$。
(3) 设直线PQ交y轴于点N，在$y=\frac{1}{2}x+1$中，当$x=0$时，$y=1$，$\therefore$ 点N的坐标为$(0,1)$，$ON=1$。
$\because S_{△ POQ}=S_{△ PON}+S_{△ QON}$，$\therefore S_{△ POQ}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×1×6=5$。
$\because △ POM$的面积是$△ POQ$的面积的3倍，$\therefore S_{△ POM}=3×5=15$。
设点M的坐标为$(m,0)$，则$OM=|m|$，$△ POM$以OM为底，高为P点纵坐标3，$\therefore \frac{1}{2}×|m|×3=15$，解得$|m|=10$，即$m=10$或$m=-10$，$\therefore$ 点M的坐标为$(10,0)$或$(-10,0)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+1}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{x＜-6或0＜x＜4}$；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(10,0)}$或$\boldsymbol{(-10,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法求函数表达式的常规方法，渗透了数形结合的解题思想，拆分法计算不规则三角形面积是本题的易错点，求解点坐标时要注意坐标轴上的点存在正负两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65