1 [2025 河北]在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则$x$的取值范围是 （）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

1. B

2 [2024宿豫期末]如图，正比例函数$y=k_1x$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为－3，当$k_1x＜\frac{k_2}{x}$时，x的取值范围是（）

A.$x＜-3$或$x＞3$
B.$-3＜x＜0$或$x＞3$
C.$x＜-3$或$0＜x＜3$
D.$-3＜x＜0$或$0＜x＜3$

2. B

3[2025宿城期末]如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象交于点$A(-3,n)$,$B(2,m)$,则关于$x$的不等式$kx+b＜\dfrac{m}{x}$的解集为.

3. $0＜x＜2$或$x＜-3$

4 [2025 宿豫二模]如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=ax+b(a≠0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于 P,Q 两点,且点 P 的纵坐标为 3,点 Q 的坐标为 $(-6,-2)$.
(1) 求反比例函数与一次函数的表达式;
(2) 请直接写出关于 x 的不等式 $ax+b＜\frac{k}{x}$ 的解集;
(3) 若点 M 在 x 轴上,且 $△ POM$ 的面积是 $△ POQ$ 的面积的 3 倍,求点 M 的坐标.

4. (1) $\because$ 点 $Q(-6,-2)$ 在反比例函数的图象上, $\therefore k=-6×(-2)=12$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$. $\because$ 点 $P$ 的纵坐标为 3,且点 $P$ 在反比例函数的图象上, $\therefore$ 令 $y=3$, 则 $x=4$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(4,3)$. $\because$ 点 $P(4,3)$,$Q(-6,-2)$ 在一次函数 $y=ax+b$ 的图象上,
$\therefore \begin{cases}4a+b=3,\\-6a+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+1$
(2) 观察图象,可得关于 $x$ 的不等式 $ax+b＜\dfrac{k}{x}$ 的解集为 $x＜-6$ 或 $0＜x＜4$
(3) 设直线 $PQ$ 交 $y$ 轴于点 $N$. 在 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ 中, 当 $x=0$ 时, $y=1$, $\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(0,1)$, $\therefore ON=1$. $\because S_{△ POQ}=S_{△ PON}+S_{△ QON}$, $\therefore S_{△ POQ}=\dfrac{1}{2}×1×4+\dfrac{1}{2}×1×6=5$. $\because$ 点 $M$ 在 $x$ 轴上, 且 $△ POM$ 的面积是 $△ POQ$ 的面积的 3 倍, $\therefore S_{△ POM}=15$. $\therefore \dfrac{1}{2}OM·3=15$, $\therefore OM=10$, $\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(-10,0)$ 或 $(10,0)$