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5 [2025 山东]如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围是
（
A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
（
A
）A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$
答案
5. A
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，根据正方形面积求出边长，进而得到点B的坐标；第二步，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，确定函数表达式；第三步，结合y≥2的要求列不等式，结合x＞0的隐含条件解不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 求点B坐标：
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴正方形边长为$\sqrt{4}=2$，结合坐标系可得点B的坐标为$(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式：
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}\ (x＞0)$。
3. 求x的取值范围：
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，
∵$x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，
结合$x＞0$，最终得x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正方形的性质，分式不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题，核心考查待定系数法求反比例函数解析式、根据函数值范围求自变量范围的能力，解题逻辑清晰，运算难度低，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步，根据正方形面积求出边长，进而得到点B的坐标；第二步，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，确定函数表达式；第三步，结合y≥2的要求列不等式，结合x＞0的隐含条件解不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 求点B坐标：
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴正方形边长为$\sqrt{4}=2$，结合坐标系可得点B的坐标为$(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式：
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}\ (x＞0)$。
3. 求x的取值范围：
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，
∵$x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，
结合$x＞0$，最终得x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正方形的性质，分式不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础题，核心考查待定系数法求反比例函数解析式、根据函数值范围求自变量范围的能力，解题逻辑清晰，运算难度低，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6 分类讨论思想 [2025宿城期末]已知点A(t，y₁)，B(t－2，y₂)在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.若$y_1＜y_2$，则t的取值范围是
t＜0或t＞2
.答案
6. $t＜0$或$t＞2$
【解析】$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 中的 $k=3$,$\therefore$ 该反比例函数的图象在第一、三象限,并在每一个象限中, $y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(t,y_1)$,$B(t-2,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上, $y_1＜y_2$,$\therefore$ 分三种情况讨论. ① 点 $A$ 和点 $B$ 均在第一象限, 则 $t-2＞0$,$t＞0$,$\therefore t＞2$. ② 点 $A$ 和点 $B$ 均在第三象限, 则 $t-2＜0$,$t＜0$,$\therefore t＜0$. ③ 点 $A$ 在第三象限, 点 $B$ 在第一象限, 则 $\begin{cases}t＜0,\\t-2＞0,\end{cases}$ $\therefore$ 此情况无解. 综上所述, $t$ 的取值范围是 $t＜0$ 或 $t＞2$.
【解析】$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 中的 $k=3$,$\therefore$ 该反比例函数的图象在第一、三象限,并在每一个象限中, $y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(t,y_1)$,$B(t-2,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上, $y_1＜y_2$,$\therefore$ 分三种情况讨论. ① 点 $A$ 和点 $B$ 均在第一象限, 则 $t-2＞0$,$t＞0$,$\therefore t＞2$. ② 点 $A$ 和点 $B$ 均在第三象限, 则 $t-2＜0$,$t＜0$,$\therefore t＜0$. ③ 点 $A$ 在第三象限, 点 $B$ 在第一象限, 则 $\begin{cases}t＜0,\\t-2＞0,\end{cases}$ $\therefore$ 此情况无解. 综上所述, $t$ 的取值范围是 $t＜0$ 或 $t＞2$.
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数$y=\frac{3}{x}$的性质：$k=3＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，注意该增减性仅在同一象限内成立。已知点A的横坐标$t$比点B的横坐标$t-2$大，且$y_1＜y_2$，需分两点在同一象限、不同象限两类情况讨论，分别列不等式求解，排除不符合条件的情况后合并解集即可。
【解析】
$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 中的 $k=3＞0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一个象限中， $y$ 随 $x$ 的增大而减小。
$\because$ 点 $A(t,y_1)$，$B(t-2,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，且$y_1＜y_2$，分三种情况讨论：
① 点A和点B均在第一象限：此时两点横坐标均为正，即$t-2＞0$，解得$t＞2$，符合增减性，满足$y_1＜y_2$；
② 点A和点B均在第三象限：此时两点横坐标均为负，即$t＜0$，解得$t＜0$，符合增减性，满足$y_1＜y_2$；
③ 两点在不同象限：若A在第三象限、B在第一象限，则需满足$\begin{cases}t＜0\\t-2＞0\end{cases}$，该不等式组无解；若A在第一象限、B在第三象限，则$y_1＞0$，$y_2＜0$，得$y_1＞y_2$，不符合条件。
综上所述，$t$的取值范围是$t＜0$或$t＞2$。
【答案】
$t＜0$或$t＞2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时要注意分情况讨论两点的位置，避免漏判异象限的情况导致错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确反比例函数$y=\frac{3}{x}$的性质：$k=3＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，注意该增减性仅在同一象限内成立。已知点A的横坐标$t$比点B的横坐标$t-2$大，且$y_1＜y_2$，需分两点在同一象限、不同象限两类情况讨论，分别列不等式求解，排除不符合条件的情况后合并解集即可。
【解析】
$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 中的 $k=3＞0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每一个象限中， $y$ 随 $x$ 的增大而减小。
$\because$ 点 $A(t,y_1)$，$B(t-2,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，且$y_1＜y_2$，分三种情况讨论：
① 点A和点B均在第一象限：此时两点横坐标均为正，即$t-2＞0$，解得$t＞2$，符合增减性，满足$y_1＜y_2$；
② 点A和点B均在第三象限：此时两点横坐标均为负，即$t＜0$，解得$t＜0$，符合增减性，满足$y_1＜y_2$；
③ 两点在不同象限：若A在第三象限、B在第一象限，则需满足$\begin{cases}t＜0\\t-2＞0\end{cases}$，该不等式组无解；若A在第一象限、B在第三象限，则$y_1＞0$，$y_2＜0$，得$y_1＞y_2$，不符合条件。
综上所述，$t$的取值范围是$t＜0$或$t＞2$。
【答案】
$t＜0$或$t＞2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；分类讨论思想；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时要注意分情况讨论两点的位置，避免漏判异象限的情况导致错解。
【难度系数】
0.6
7[2025陕西]一个反比例函数的图象经过A(m,－4)，B(3,n)两点.若m＜－3，则n的取值范围是
n＞4
.答案
7. $n＞4$
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们可以利用反比例函数的核心性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k（即k=xy），建立起m、n和k的关系。首先根据已知m的取值范围判断k的取值范围，再结合k与n的关系，通过解不等式即可求出n的取值范围。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
∵ 点$A(m,-4)$、$B(3,n)$都在反比例函数图象上，
∴ 根据反比例函数$k=xy$的性质可得：
$k = m×(-4) = 3n$，即$k=-4m=3n$。
已知$m＜-3$，不等式两边同时乘$-4$，不等号方向改变，可得：
$-4m ＞ (-4)×(-3)=12$，即$k＞12$。
又
∵ $k=3n$，
∴ $3n＞12$，不等式两边同时除以3，解得$n＞4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；不等式的基本性质
【点评】
本题是反比例函数性质与不等式的综合基础题，解题的关键是熟练掌握反比例函数中比例系数k与图象上点的横纵坐标的关系，计算时要注意不等式两边同乘负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先我们可以利用反比例函数的核心性质：反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k（即k=xy），建立起m、n和k的关系。首先根据已知m的取值范围判断k的取值范围，再结合k与n的关系，通过解不等式即可求出n的取值范围。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
∵ 点$A(m,-4)$、$B(3,n)$都在反比例函数图象上，
∴ 根据反比例函数$k=xy$的性质可得：
$k = m×(-4) = 3n$，即$k=-4m=3n$。
已知$m＜-3$，不等式两边同时乘$-4$，不等号方向改变，可得：
$-4m ＞ (-4)×(-3)=12$，即$k＞12$。
又
∵ $k=3n$，
∴ $3n＞12$，不等式两边同时除以3，解得$n＞4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；不等式的基本性质
【点评】
本题是反比例函数性质与不等式的综合基础题，解题的关键是熟练掌握反比例函数中比例系数k与图象上点的横纵坐标的关系，计算时要注意不等式两边同乘负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 已知反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，则当自变量$x$的取值不小于$-5$时，函数值$y$的取值范围是
y≥2或y＜0
。答案
8. $y≥2$ 或 $y＜0$
解析
【分析】
解题时首先根据反比例函数解析式判断$k$的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再注意反比例函数自变量$x≠0$，因此需将$x≥-5$的范围拆分为$-5≤ x＜0$和$x＞0$两段，结合不同象限内函数的增减性和函数值的符号特征，分别计算两段对应的$y$的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：已知反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，同时自变量取值满足$x≠0$。
结合$x≥-5$的条件分情况讨论：
① 当$-5≤ x＜0$时，对应图象在第二象限：
将$x=-5$代入解析式得$y=-\dfrac{10}{-5}=2$，
∵此区间内$y$随$x$的增大而增大，
∴此时函数值满足$y≥2$；
② 当$x＞0$时，对应图象在第四象限，该象限内所有函数值均小于0，即$y＜0$。
综上可得函数值$y$的取值范围。
【答案】
$y≥2$ 或 $y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质、函数取值范围求解、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题时要注意反比例函数图象是不连续的两支，不能直接跨象限套用增减性，需分区间讨论求解，避免忽略$x＞0$的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据反比例函数解析式判断$k$的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再注意反比例函数自变量$x≠0$，因此需将$x≥-5$的范围拆分为$-5≤ x＜0$和$x＞0$两段，结合不同象限内函数的增减性和函数值的符号特征，分别计算两段对应的$y$的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：已知反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，其中$k=-10＜0$，
∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，同时自变量取值满足$x≠0$。
结合$x≥-5$的条件分情况讨论：
① 当$-5≤ x＜0$时，对应图象在第二象限：
将$x=-5$代入解析式得$y=-\dfrac{10}{-5}=2$，
∵此区间内$y$随$x$的增大而增大，
∴此时函数值满足$y≥2$；
② 当$x＞0$时，对应图象在第四象限，该象限内所有函数值均小于0，即$y＜0$。
综上可得函数值$y$的取值范围。
【答案】
$y≥2$ 或 $y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质、函数取值范围求解、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题时要注意反比例函数图象是不连续的两支，不能直接跨象限套用增减性，需分区间讨论求解，避免忽略$x＞0$的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9 如图,在平面直角坐标系中,四边形 DOBC 是矩形,且点 D,B 的坐标分别为(0,4),(6,0),反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$ 在第一象限内的图象经过线段 OC 的中点 A,交 DC 于点 E,交 BC 于点 F,连接 OE,OF,EF.设直线 EF 对应的函数表达式为 $y=k_2x+b(k_2≠0)$.
(1) 求反比例函数的表达式和直线 EF 对应的函数表达式;
(2) 求△OEF 的面积;
(3) 当 $x＞0$ 时,关于 x 的不等式 $k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$ 的解集为
(1) 求反比例函数的表达式和直线 EF 对应的函数表达式;
(2) 求△OEF 的面积;
(3) 当 $x＞0$ 时,关于 x 的不等式 $k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$ 的解集为
0＜x＜3/2或x＞6
.答案
9. (1) $\because$ 四边形 $DOBC$ 是矩形, 且点 $D,B$ 的坐标分别为 $(0,4)$,$(6,0)$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(6,4)$. $\because A$ 为线段 $OC$ 的中点, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$. 将 $(3,2)$ 代入 $y=\dfrac{k_1}{x}$, 得 $k_1=3×2=6$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{6}{x}$. 把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$, 得 $y=1$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,1)$.
把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$, 得 $x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$. 把 $F(6,1)$,$E(\dfrac{3}{2},4)$ 代入 $y=k_2x+b$, 得 $\begin{cases}6k_2+b=1,\\\dfrac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3},\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}=4×6-\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4-\dfrac{1}{2}×6×1-\dfrac{1}{2}×(6-\dfrac{3}{2})×(4-1)=\dfrac{45}{4}$
(3) $0＜x＜\dfrac{3}{2}$ 或 $x＞6$
把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$, 得 $x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$. 把 $F(6,1)$,$E(\dfrac{3}{2},4)$ 代入 $y=k_2x+b$, 得 $\begin{cases}6k_2+b=1,\\\dfrac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3},\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}=4×6-\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4-\dfrac{1}{2}×6×1-\dfrac{1}{2}×(6-\dfrac{3}{2})×(4-1)=\dfrac{45}{4}$
(3) $0＜x＜\dfrac{3}{2}$ 或 $x＞6$
解析
【分析】
(1) 求解反比例函数表达式需先确定其经过的点坐标：由矩形DOBC的顶点D、B坐标可推出C点坐标，再结合A是OC中点得到A点坐标，代入反比例函数即可求出$k_1$；求解直线EF解析式，先根据E在DC上、F在BC上的坐标特征，代入反比例函数分别求出E、F的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到$k_2$和$b$的值。
(2) $△ OEF$为不规则三角形，采用割补法计算面积：用矩形DOBC的总面积减去周边三个小三角形$△ ODE$、$△ OBF$、$△ CEF$的面积，即可得到$△ OEF$的面积。
(3) 将不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$变形为$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，即求第一象限内一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值范围，结合两个函数的交点E、F的横坐标即可得到解集。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $DOBC$ 是矩形，点 $D,B$ 的坐标分别为 $(0,4)$、$(6,0)$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(6,4)$。
$\because A$ 为线段 $OC$ 的中点，$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$。
将 $A(3,2)$ 代入 $y=\dfrac{k_1}{x}$，得 $k_1=3×2=6$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{6}{x}$。
把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$，得 $y=1$，$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,1)$；
把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$，得 $x=\dfrac{3}{2}$，$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$。
把 $F(6,1)$、$E(\dfrac{3}{2},4)$ 代入 $y=k_2x+b$，得 $\begin{cases}6k_2+b=1\\\dfrac{3}{2}k_2+b=4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3}\\b=5\end{cases}$。
$\therefore$ 直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}$
$=4×6-\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4-\dfrac{1}{2}×6×1-\dfrac{1}{2}×(6-\dfrac{3}{2})×(4-1)=\dfrac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，结合第一象限内函数图象，可得解集为$0＜x＜\dfrac{3}{2}$或$x＞6$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$，直线EF的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{0＜x＜\dfrac{3}{2}}$或$\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，函数图象解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，既考查了函数解析式求解等基础知识点，也考查了不规则图形面积计算、数形结合解不等式的综合应用能力，解题时注意结合图象分析，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.65
(1) 求解反比例函数表达式需先确定其经过的点坐标：由矩形DOBC的顶点D、B坐标可推出C点坐标，再结合A是OC中点得到A点坐标，代入反比例函数即可求出$k_1$；求解直线EF解析式，先根据E在DC上、F在BC上的坐标特征，代入反比例函数分别求出E、F的坐标，再用待定系数法将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到$k_2$和$b$的值。
(2) $△ OEF$为不规则三角形，采用割补法计算面积：用矩形DOBC的总面积减去周边三个小三角形$△ ODE$、$△ OBF$、$△ CEF$的面积，即可得到$△ OEF$的面积。
(3) 将不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$变形为$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，即求第一象限内一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值范围，结合两个函数的交点E、F的横坐标即可得到解集。
【解析】
(1) $\because$ 四边形 $DOBC$ 是矩形，点 $D,B$ 的坐标分别为 $(0,4)$、$(6,0)$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(6,4)$。
$\because A$ 为线段 $OC$ 的中点，$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$。
将 $A(3,2)$ 代入 $y=\dfrac{k_1}{x}$，得 $k_1=3×2=6$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{6}{x}$。
把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$，得 $y=1$，$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,1)$；
把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$，得 $x=\dfrac{3}{2}$，$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$。
把 $F(6,1)$、$E(\dfrac{3}{2},4)$ 代入 $y=k_2x+b$，得 $\begin{cases}6k_2+b=1\\\dfrac{3}{2}k_2+b=4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3}\\b=5\end{cases}$。
$\therefore$ 直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}$
$=4×6-\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4-\dfrac{1}{2}×6×1-\dfrac{1}{2}×(6-\dfrac{3}{2})×(4-1)=\dfrac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，结合第一象限内函数图象，可得解集为$0＜x＜\dfrac{3}{2}$或$x＞6$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$，直线EF的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{0＜x＜\dfrac{3}{2}}$或$\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，函数图象解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，既考查了函数解析式求解等基础知识点，也考查了不规则图形面积计算、数形结合解不等式的综合应用能力，解题时注意结合图象分析，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.65
10 [2025 遂宁]如图，一次函数$y=mx+n$（$m,n$为常数，$m≠0$）的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象交于$A(-2,-2),B(a,1)$两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合图形，请直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$的解集.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合图形，请直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$的解集.
答案
10. (1) $\because$ 点 $A(-2,-2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上,
$\therefore k=(-2)×(-2)=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$. $\because$ 点 $B(a,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,$\therefore a=4$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$. $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ ($m≠0$) 的图象经过 $A,B$ 两点,
$\therefore \begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$
(2) $-2＜x＜0$ 或 $x＞2$
$\therefore k=(-2)×(-2)=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$. $\because$ 点 $B(a,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,$\therefore a=4$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$. $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ ($m≠0$) 的图象经过 $A,B$ 两点,
$\therefore \begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$
(2) $-2＜x＜0$ 或 $x＞2$
解析
【分析】
（1）求函数表达式优先使用待定系数法：首先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出a的值得到点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出m、n的值，即可得到一次函数表达式。
（2）不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$可转化为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于正比例函数$y=x$图象下方时对应的x的取值范围：先求出两个函数的交点横坐标，再结合函数图象的分布分区间判断，即可得到解集。
【解析】
（1）$\because$ 点 $A(-2,-2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上，
$\therefore$ 代入得 $k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
$\because$ 点 $B(a,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上，
$\therefore$ 代入得 $1=\dfrac{4}{a}$，解得 $a=4$，
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$。
$\because$ 一次函数 $y=mx+n$ ($m≠0$) 的图象经过 $A,B$ 两点，
$\therefore$ 将两点坐标代入得 $\begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$
两式相减得$6m=3$，解得$m=\dfrac{1}{2}$，将$m=\dfrac{1}{2}$代入$-2m+n=-2$，解得$n=-1$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$。
（2）不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$即$\frac{4}{x} ＜ x$，联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=x\end{cases}$，解得交点横坐标为$x=\pm2$。结合图象分析：
当$-2＜x＜0$时，反比例函数图象在$y=x$下方，满足$\frac{4}{x}＜x$；
当$x＞2$时，反比例函数图象在$y=x$下方，满足$\frac{4}{x}＜x$。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$ 或 $x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x-1}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$ 或 $\boldsymbol{x＞2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，函数不等式图象解法
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法的应用以及数形结合思想解不等式，解题时要注意反比例函数自变量的取值范围，避免遗漏x为负数的区间。
【难度系数】
0.7
（1）求函数表达式优先使用待定系数法：首先将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得到反比例函数表达式；再将点B的纵坐标代入反比例函数表达式，求出a的值得到点B的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出m、n的值，即可得到一次函数表达式。
（2）不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$可转化为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于正比例函数$y=x$图象下方时对应的x的取值范围：先求出两个函数的交点横坐标，再结合函数图象的分布分区间判断，即可得到解集。
【解析】
（1）$\because$ 点 $A(-2,-2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上，
$\therefore$ 代入得 $k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
$\because$ 点 $B(a,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上，
$\therefore$ 代入得 $1=\dfrac{4}{a}$，解得 $a=4$，
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$。
$\because$ 一次函数 $y=mx+n$ ($m≠0$) 的图象经过 $A,B$ 两点，
$\therefore$ 将两点坐标代入得 $\begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$
两式相减得$6m=3$，解得$m=\dfrac{1}{2}$，将$m=\dfrac{1}{2}$代入$-2m+n=-2$，解得$n=-1$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$。
（2）不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$即$\frac{4}{x} ＜ x$，联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=x\end{cases}$，解得交点横坐标为$x=\pm2$。结合图象分析：
当$-2＜x＜0$时，反比例函数图象在$y=x$下方，满足$\frac{4}{x}＜x$；
当$x＞2$时，反比例函数图象在$y=x$下方，满足$\frac{4}{x}＜x$。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$ 或 $x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x-1}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$ 或 $\boldsymbol{x＞2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数综合，函数不等式图象解法
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法的应用以及数形结合思想解不等式，解题时要注意反比例函数自变量的取值范围，避免遗漏x为负数的区间。
【难度系数】
0.7
