5 [2025 山东]如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围是
（）

A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$

5. A

6 分类讨论思想 [2025宿城期末]已知点A(t，y₁)，B(t－2，y₂)在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.若$y_1＜y_2$，则t的取值范围是.

6. $t＜0$或$t＞2$
【解析】$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 中的 $k=3$,$\therefore$ 该反比例函数的图象在第一、三象限,并在每一个象限中, $y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(t,y_1)$,$B(t-2,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上, $y_1＜y_2$,$\therefore$ 分三种情况讨论. ① 点 $A$ 和点 $B$ 均在第一象限, 则 $t-2＞0$,$t＞0$,$\therefore t＞2$. ② 点 $A$ 和点 $B$ 均在第三象限, 则 $t-2＜0$,$t＜0$,$\therefore t＜0$. ③ 点 $A$ 在第三象限, 点 $B$ 在第一象限, 则 $\begin{cases}t＜0,\\t-2＞0,\end{cases}$ $\therefore$ 此情况无解. 综上所述, $t$ 的取值范围是 $t＜0$ 或 $t＞2$.

7[2025陕西]一个反比例函数的图象经过A(m,－4)，B(3,n)两点.若m＜－3，则n的取值范围是.

7. $n＞4$

8 教材变式题 已知反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，则当自变量$x$的取值不小于$-5$时，函数值$y$的取值范围是。

8. $y≥2$ 或 $y＜0$

9 如图,在平面直角坐标系中,四边形 DOBC 是矩形,且点 D,B 的坐标分别为(0,4),(6,0),反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$ 在第一象限内的图象经过线段 OC 的中点 A,交 DC 于点 E,交 BC 于点 F,连接 OE,OF,EF.设直线 EF 对应的函数表达式为 $y=k_2x+b(k_2≠0)$.
(1) 求反比例函数的表达式和直线 EF 对应的函数表达式;
(2) 求△OEF 的面积;
(3) 当 $x＞0$ 时,关于 x 的不等式 $k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$ 的解集为.

9. (1) $\because$ 四边形 $DOBC$ 是矩形, 且点 $D,B$ 的坐标分别为 $(0,4)$,$(6,0)$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(6,4)$. $\because A$ 为线段 $OC$ 的中点, $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$. 将 $(3,2)$ 代入 $y=\dfrac{k_1}{x}$, 得 $k_1=3×2=6$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{6}{x}$. 把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$, 得 $y=1$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(6,1)$.
把 $y=4$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}$, 得 $x=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$. 把 $F(6,1)$,$E(\dfrac{3}{2},4)$ 代入 $y=k_2x+b$, 得 $\begin{cases}6k_2+b=1,\\\dfrac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3},\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $EF$ 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{3}x+5$
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}=4×6-\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×4-\dfrac{1}{2}×6×1-\dfrac{1}{2}×(6-\dfrac{3}{2})×(4-1)=\dfrac{45}{4}$
(3) $0＜x＜\dfrac{3}{2}$ 或 $x＞6$

10 [2025 遂宁]如图，一次函数$y=mx+n$（$m,n$为常数，$m≠0$）的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象交于$A(-2,-2),B(a,1)$两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合图形，请直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x} - x ＜ 0$的解集.

10. (1) $\because$ 点 $A(-2,-2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上,
$\therefore k=(-2)×(-2)=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$. $\because$ 点 $B(a,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,$\therefore a=4$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$. $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ ($m≠0$) 的图象经过 $A,B$ 两点,
$\therefore \begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$
(2) $-2＜x＜0$ 或 $x＞2$