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7[2025宿城期末]若点$A(-2,y_1)$，$B(-1,y_2)$，$C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k^2+3}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先要判断反比例函数比例系数的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再根据三个点横坐标的正负判断它们所在的象限，不同象限的点可先通过函数值的正负比较大小，同象限内的点再结合函数的增减性比较函数值大小，最终得出三个y值的大小关系。
【解析】
首先判断反比例函数的比例系数：
∵ $k^2 ≥ 0$，
∴ $k^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+3}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
接下来分析三个点的位置：
点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标为负，两点均在第三象限，第三象限内的函数值均为负数；
点$C(3,y_3)$的横坐标为正，在第一象限，第一象限内的函数值均为正数，因此$y_3$是三个值中最大的。
再比较同属第三象限的$y_1$、$y_2$：
∵ $-2 ＜ -1$，且在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴ $y_2 ＜ y_1$。
综上可得：$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规考查题，解题核心是先确定比例系数的正负，再结合象限特征和增减性比较函数值大小，注意只有同象限内的点才能直接用增减性比较大小。
【难度系数】
0.75
解题时首先要判断反比例函数比例系数的正负，明确函数图象所在象限和增减性；再根据三个点横坐标的正负判断它们所在的象限，不同象限的点可先通过函数值的正负比较大小，同象限内的点再结合函数的增减性比较函数值大小，最终得出三个y值的大小关系。
【解析】
首先判断反比例函数的比例系数：
∵ $k^2 ≥ 0$，
∴ $k^2 + 3 ≥ 3 ＞ 0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+3}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
接下来分析三个点的位置：
点$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标为负，两点均在第三象限，第三象限内的函数值均为负数；
点$C(3,y_3)$的横坐标为正，在第一象限，第一象限内的函数值均为正数，因此$y_3$是三个值中最大的。
再比较同属第三象限的$y_1$、$y_2$：
∵ $-2 ＜ -1$，且在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴ $y_2 ＜ y_1$。
综上可得：$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规考查题，解题核心是先确定比例系数的正负，再结合象限特征和增减性比较函数值大小，注意只有同象限内的点才能直接用增减性比较大小。
【难度系数】
0.75
8 [2025 内蒙古]已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
答案
8. D
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题中$k=-3＜0$，点$A$、$B$的横坐标分别为$m$和$m+1$（$m+1＞m$），需分情况讨论两点所在的象限，再结合增减性判断$y_1$和$y_2$的大小关系，逐一排除错误选项即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
选项A、B：若两点跨象限（如$m=-0.5$时，$A(-0.5,6)$在第二象限，$B(0.5,-6)$在第四象限，此时$y_1＞y_2$；若两点同象限，如$m=-2$时，$A(-2,1.5)$，$B(-1,3)$，此时$y_1＜y_2$），因此$y_1$和$y_2$的大小关系不确定，A、B错误。
选项C：当$m＜0$时，分两种情况：①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，点$A$在第二象限（$y_1＞0$），点$B$在第四象限（$y_2＜0$），此时$y_1＞y_2$；②若$m＜-1$，则$m+1＜0$，两点都在第二象限，由$m＜m+1$得$y_1＜y_2$。因此不是所有$m＜0$都满足$y_1＜y_2$，C错误。
选项D：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，两点都在第二象限，根据函数增减性，$x$越大$y$越大，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论思想
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限时不可直接用增减性比较函数值大小，需结合象限对应的函数值正负判断。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题中$k=-3＜0$，点$A$、$B$的横坐标分别为$m$和$m+1$（$m+1＞m$），需分情况讨论两点所在的象限，再结合增减性判断$y_1$和$y_2$的大小关系，逐一排除错误选项即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
选项A、B：若两点跨象限（如$m=-0.5$时，$A(-0.5,6)$在第二象限，$B(0.5,-6)$在第四象限，此时$y_1＞y_2$；若两点同象限，如$m=-2$时，$A(-2,1.5)$，$B(-1,3)$，此时$y_1＜y_2$），因此$y_1$和$y_2$的大小关系不确定，A、B错误。
选项C：当$m＜0$时，分两种情况：①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，点$A$在第二象限（$y_1＞0$），点$B$在第四象限（$y_2＜0$），此时$y_1＞y_2$；②若$m＜-1$，则$m+1＜0$，两点都在第二象限，由$m＜m+1$得$y_1＜y_2$。因此不是所有$m＜0$都满足$y_1＜y_2$，C错误。
选项D：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，两点都在第二象限，根据函数增减性，$x$越大$y$越大，由$m＜m+1$可得$y_1＜y_2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论思想
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限时不可直接用增减性比较函数值大小，需结合象限对应的函数值正负判断。
【难度系数】
0.7
9 新考向 结论开放题 [2025 甘肃]已知点$A(2,y_1),B(6,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上.如果$y_1＞y_2$,那么$k=$
6(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
9. 6(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先观察点A、B的横坐标，二者均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一分支上；再结合已知条件“2＜6且y₁＞y₂”，可得出在该分支上y随x的增大而减小；最后根据反比例函数的增减性与k的符号的对应关系，即可确定k的取值范围，任取范围内的一个值即可。
【解析】
∵ 点A(2,y₁)、B(6,y₂)的横坐标2＞0、6＞0，
∴ 两点位于反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的同一分支上。
已知$2＜6$，且$y_1＞y_2$，说明在该分支上y随x的增大而减小。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每一象限内y随x的增大而减小，因此可得$k＞0$。
任取一个正数值即可，例如k=6。
【答案】
6（答案不唯一，只要k＞0均可）
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是根据两点的横、纵坐标大小关系判断k的符号，掌握反比例函数的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察点A、B的横坐标，二者均为正数，说明两点在反比例函数图象的同一分支上；再结合已知条件“2＜6且y₁＞y₂”，可得出在该分支上y随x的增大而减小；最后根据反比例函数的增减性与k的符号的对应关系，即可确定k的取值范围，任取范围内的一个值即可。
【解析】
∵ 点A(2,y₁)、B(6,y₂)的横坐标2＞0、6＞0，
∴ 两点位于反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的同一分支上。
已知$2＜6$，且$y_1＞y_2$，说明在该分支上y随x的增大而减小。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每一象限内y随x的增大而减小，因此可得$k＞0$。
任取一个正数值即可，例如k=6。
【答案】
6（答案不唯一，只要k＞0均可）
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是根据两点的横、纵坐标大小关系判断k的符号，掌握反比例函数的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
10 [2024 陕西]已知点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$均在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上.若$0＜m＜1$,则$y_1+y_2$
＜
0(填“＞”“＜”或“=”).答案
10. ＜
解析
【分析】
解题时先结合反比例函数解析式分别求出$y_1$的值和$y_2$的取值范围，再判断二者之和与0的大小关系。第一步：将点A的横坐标代入反比例函数解析式，算出$y_1$的具体值；第二步：根据m的取值范围，结合解析式推出$y_2$的取值范围；第三步：计算$y_1+y_2$的取值范围，最终判断符号。
【解析】
解：
∵点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将$x=-2$代入解析式得：$y_1=-\dfrac{5}{-2}=\dfrac{5}{2}$。
∵点$B(m,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，且$0＜m＜1$，
∴$y_2=-\dfrac{5}{m}$，由$0＜m＜1$可得$\dfrac{5}{m}＞5$，因此$y_2=-\dfrac{5}{m}＜-5$。
∴$y_1+y_2＜\dfrac{5}{2}+(-5)=-\dfrac{5}{2}＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是结合横坐标的范围准确推导对应纵坐标的取值范围，再判断两数和的符号，整体考查方向基础。
【难度系数】
0.8
解题时先结合反比例函数解析式分别求出$y_1$的值和$y_2$的取值范围，再判断二者之和与0的大小关系。第一步：将点A的横坐标代入反比例函数解析式，算出$y_1$的具体值；第二步：根据m的取值范围，结合解析式推出$y_2$的取值范围；第三步：计算$y_1+y_2$的取值范围，最终判断符号。
【解析】
解：
∵点$A(-2,y_1)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，
∴将$x=-2$代入解析式得：$y_1=-\dfrac{5}{-2}=\dfrac{5}{2}$。
∵点$B(m,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{5}{x}$的图象上，且$0＜m＜1$，
∴$y_2=-\dfrac{5}{m}$，由$0＜m＜1$可得$\dfrac{5}{m}＞5$，因此$y_2=-\dfrac{5}{m}＜-5$。
∴$y_1+y_2＜\dfrac{5}{2}+(-5)=-\dfrac{5}{2}＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是结合横坐标的范围准确推导对应纵坐标的取值范围，再判断两数和的符号，整体考查方向基础。
【难度系数】
0.8
11 在平面直角坐标系中,点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,求$m$的值.
答案
11. $\because$ 点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限,点$A(-2,1)$在第二象限,$\therefore$ 点$C(-6,m)$一定在第三象限.$\because$ 点$B(3,2)$在第一象限,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B(3,2),C(-6,m)$,$\therefore 3×2=-6m$,解得$m=-1$
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：①先确定已知点A、B所在的象限，结合“三点分别在三个不同象限”的条件，判断点C的所在象限，得到m的符号范围；②根据反比例函数的图象特征：反比例函数的两个分支只能同时在第一、三象限或第二、四象限，不可能同时经过第一象限和第二象限的点，因此排除反比例函数同时过A、B的情况，只剩“过A和C”“过B和C”两种可能；③分别对两种情况计算m的值，再验证是否符合“三点分属不同象限”的条件，排除不符合的情况即可得到正确的m值。
【解析】
$\because$ 点$A(-2,1)$在第二象限，点$B(3,2)$在第一象限，且三个点分别在三个不同的象限，
$\therefore$ 横坐标为负的点$C(-6,m)$不能在第二象限，只能在第三象限，即$m＜0$。
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象只能同时在第一、三象限或第二、四象限，不可能同时经过第一象限的B和第二象限的A，
$\therefore$ 反比例函数只能经过B、C两点或A、C两点。
若反比例函数经过A、C两点，则$k=(-2)×1=-2$，代入C点得$-6m=-2$，解得$m=\frac{1}{3}$，此时C在第二象限，与A同象限，不符合题意，舍去。
若反比例函数经过B、C两点，则$k=3×2=6$，代入C点得$-6m=6$，解得$m=-1$，此时C在第三象限，三点分属三个不同象限，符合题意。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 反比例函数的图象性质
3. 反比例函数k值的计算
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的基础综合题，解题的核心是抓住反比例函数图象的象限分布规律，同时注意结合题目的限制条件对结果进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：①先确定已知点A、B所在的象限，结合“三点分别在三个不同象限”的条件，判断点C的所在象限，得到m的符号范围；②根据反比例函数的图象特征：反比例函数的两个分支只能同时在第一、三象限或第二、四象限，不可能同时经过第一象限和第二象限的点，因此排除反比例函数同时过A、B的情况，只剩“过A和C”“过B和C”两种可能；③分别对两种情况计算m的值，再验证是否符合“三点分属不同象限”的条件，排除不符合的情况即可得到正确的m值。
【解析】
$\because$ 点$A(-2,1)$在第二象限，点$B(3,2)$在第一象限，且三个点分别在三个不同的象限，
$\therefore$ 横坐标为负的点$C(-6,m)$不能在第二象限，只能在第三象限，即$m＜0$。
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象只能同时在第一、三象限或第二、四象限，不可能同时经过第一象限的B和第二象限的A，
$\therefore$ 反比例函数只能经过B、C两点或A、C两点。
若反比例函数经过A、C两点，则$k=(-2)×1=-2$，代入C点得$-6m=-2$，解得$m=\frac{1}{3}$，此时C在第二象限，与A同象限，不符合题意，舍去。
若反比例函数经过B、C两点，则$k=3×2=6$，代入C点得$-6m=6$，解得$m=-1$，此时C在第三象限，三点分属三个不同象限，符合题意。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 反比例函数的图象性质
3. 反比例函数k值的计算
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的基础综合题，解题的核心是抓住反比例函数图象的象限分布规律，同时注意结合题目的限制条件对结果进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
12 如图所示为反比例函数$y=\frac{m-6}{x}$的图象的一支.根据给出的图象,回答问题:
（1）该函数的图象位于哪几个象限?请确定m的取值范围.
（2）分类讨论思想 在这个函数的图象上取点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$.如果$y_1＜y_2$,那么$x_1$与$x_2$有怎样的大小关系?
（1）该函数的图象位于哪几个象限?请确定m的取值范围.
（2）
答案
12. (1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称,题图中反比例函数的图象的一支位于第四象限,$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限,$\therefore m-6＜0$,解得$m＜6$
(2) 由(1)知,函数的图象位于第二、四象限,$\therefore$ 在每一个象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大. 分情况讨论:
① 当$y_1＜y_2＜0$时,$x_1＜x_2$;② 当$0＜y_1＜y_2$时,$x_1＜x_2$;③ 当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$
(2) 由(1)知,函数的图象位于第二、四象限,$\therefore$ 在每一个象限内,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大. 分情况讨论:
① 当$y_1＜y_2＜0$时,$x_1＜x_2$;② 当$0＜y_1＜y_2$时,$x_1＜x_2$;③ 当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$
解析
【分析】
（1）首先回忆反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，当比例系数$k＜0$时，图象分布在第二、四象限。已知题图给出的是第四象限的一支，可推断另一支在第二象限，进而得到比例系数$m-6＜0$，解不等式即可求出$m$的取值范围。
（2）当反比例函数比例系数$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意该增减性仅在同一象限内成立，不同象限的点函数值正负不同：第二象限的点纵坐标恒为正，第四象限的点纵坐标恒为负。因此需要分三种情况讨论：两点均在第四象限（纵坐标均为负）、两点均在第二象限（纵坐标均为正）、两点分别在不同象限（一正一负），结合性质判断$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称，题图中反比例函数图象的一支位于第四象限，
$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$m-6＜0$，解得$m＜6$。
(2) 由(1)知函数图象位于第二、四象限，因此在每一个象限内，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，分情况讨论：
① 当$y_1＜y_2＜0$时，两点均在第四象限，可得$x_1＜x_2$；
② 当$0＜y_1＜y_2$时，两点均在第二象限，可得$x_1＜x_2$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点A在第四象限、点B在第二象限，可得$x_2＜x_1$。
【答案】
(1) 该函数图象位于第二、四象限，$m＜6$；
(2) ①若$y_1＜y_2＜0$，则$x_1＜x_2$；②若$0＜y_1＜y_2$，则$x_1＜x_2$；③若$y_1＜0＜y_2$，则$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，分类讨论
【点评】
本题重点考查反比例函数的核心性质，需要准确掌握反比例函数系数与图象位置、增减性的对应关系，解答第二问时要注意增减性的适用前提是“同一象限内”，通过分类讨论覆盖所有情况，避免因忽略跨象限的特殊情况出现漏解。
【难度系数】
0.65
（1）首先回忆反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是关于原点中心对称的双曲线，当比例系数$k＜0$时，图象分布在第二、四象限。已知题图给出的是第四象限的一支，可推断另一支在第二象限，进而得到比例系数$m-6＜0$，解不等式即可求出$m$的取值范围。
（2）当反比例函数比例系数$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，注意该增减性仅在同一象限内成立，不同象限的点函数值正负不同：第二象限的点纵坐标恒为正，第四象限的点纵坐标恒为负。因此需要分三种情况讨论：两点均在第四象限（纵坐标均为负）、两点均在第二象限（纵坐标均为正）、两点分别在不同象限（一正一负），结合性质判断$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称，题图中反比例函数图象的一支位于第四象限，
$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$m-6＜0$，解得$m＜6$。
(2) 由(1)知函数图象位于第二、四象限，因此在每一个象限内，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，分情况讨论：
① 当$y_1＜y_2＜0$时，两点均在第四象限，可得$x_1＜x_2$；
② 当$0＜y_1＜y_2$时，两点均在第二象限，可得$x_1＜x_2$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点A在第四象限、点B在第二象限，可得$x_2＜x_1$。
【答案】
(1) 该函数图象位于第二、四象限，$m＜6$；
(2) ①若$y_1＜y_2＜0$，则$x_1＜x_2$；②若$0＜y_1＜y_2$，则$x_1＜x_2$；③若$y_1＜0＜y_2$，则$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，分类讨论
【点评】
本题重点考查反比例函数的核心性质，需要准确掌握反比例函数系数与图象位置、增减性的对应关系，解答第二问时要注意增减性的适用前提是“同一象限内”，通过分类讨论覆盖所有情况，避免因忽略跨象限的特殊情况出现漏解。
【难度系数】
0.65
