登录
15 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为
$\sqrt{14}$
。答案
15. $\sqrt{14}$ 【解析】设菱形的两条对角线的长分别为$a,b$,则$a+b=10$.根据菱形的面积公式，得$\frac{1}{2}ab=11$,即$ab=22.∴$ 菱形的边长为$\sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$.
16 如图所示为一块矩形菜地ABCD，AB=a m，AD=b m，面积为s m²，现将边AB的长增加1 m，边AD的长增加2 m。若有且只有一个a的值，使得到的新矩形菜地的面积为2s m²，则s的值为
$6+4\sqrt{2}$
。答案
16. $6+4\sqrt{2}$ 【解析】根据题意，知$b=\frac{s}{a}.∵$ 边AB的长增加1 m，边AD的长增加2 m，得到的新矩形菜地的面积为$2s \mathrm{\ m^2},∴ (a+1)(b+2)=2s$,即$(a+1)(\frac{s}{a}+2)=2s$.整理，得$2a^2+(2-s)a+s=0.∵$ 有且只有一个$a$的值，使得到的新矩形菜地的面积为$2s \mathrm{\ m^2}$，$∴ Δ=(2-s)^2-8s=0$,解得$s_1=6-4\sqrt{2}$(不合题意，舍去),$s_2=6+4\sqrt{2},∴ s$的值为$6+4\sqrt{2}$.
17 若$x=t$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根，$M=(2at+b)^2$，则$b^2-4ac$
$=$
$M$(填“＞”“＜”或“=”)。答案
17. $=$
18 新情境 生活实际 某汽车销售公司6月销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销售1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多销售1辆，所有销售的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售10辆以上，每辆返利1万元.
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为
(2) 若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)？
(1) 若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为
$26.8$
万元；(2) 若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)？
答案
18. (1) 26.8
(2) 设需要销售$x$辆汽车. ① 当销售10辆以内(含10辆)时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12$,解得$x_1=-20$(不合题意，舍去),$x_2=6.∴$ 当销售6辆汽车时，当月可盈利12万元. ② 当销售10辆以上时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]·x+x=12$,解得$x_1=5,x_2=-24$,均不符合题意，舍去.综上所述，若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售6辆汽车
(2) 设需要销售$x$辆汽车. ① 当销售10辆以内(含10辆)时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]x+0.5x=12$,解得$x_1=-20$(不合题意，舍去),$x_2=6.∴$ 当销售6辆汽车时，当月可盈利12万元. ② 当销售10辆以上时，根据题意，得$[28-27+0.1(x-1)]·x+x=12$,解得$x_1=5,x_2=-24$,均不符合题意，舍去.综上所述，若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售6辆汽车
19 [2025 宿豫段考]如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”. 例如一元二次方程 $ x^2 -8x +12=0 $ 的两个根是 $ x_1=2, x_2=6 $，则方程 $ x^2 -8x +12=0 $是“3倍根方程”.
（1）通过计算，判断 $ x^2 -4x +3=0 $ 是否是“3倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x-2)(x-m)=0 $是“3倍根方程”，求代数式 $ m^2 +2m +2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -(m-1)x +48=0(m $ 是常数)是“3倍根方程”，请写出 $ m $ 的值.
（1）通过计算，判断 $ x^2 -4x +3=0 $ 是否是“3倍根方程”；
（2）若关于 $ x $ 的方程 $ (x-2)(x-m)=0 $是“3倍根方程”，求代数式 $ m^2 +2m +2 $ 的值；
（3）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 -(m-1)x +48=0(m $ 是常数)是“3倍根方程”，请写出 $ m $ 的值.
答案
19. (1) 解$x^2-4x+3=0$,得$x_1=1,x_2=3.∵ 3x_1=x_2,∴ x^2-4x+3=0$是“3倍根方程”
(2) 解$(x-2)(x-m)=0$,得$x_1=2,x_2=m.∵ (x-2)(x-m)=0$是“3倍根方程”，$∴$ 分两种情况讨论：① $m=2×3=6$,此时$m^2+2m+2=50$; ② $m=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,此时$m^2+2m+2=\frac{34}{9}$.综上所述，$m^2+2m+2$的值为50或$\frac{34}{9}$
(3) $∵ x^2-(m-1)x+48=0(m$是常数)是“3倍根方程”，$∴$ 不妨设$x_2$是$x_1$的三倍，$∴ x_1x_2=3x_1^2=48$,解得$x_1=±4$.若$x_1=4,x_2=12$,则$x_1+x_2=16=m-1,∴ m=17$.若$x_1=-4,x_2=-12$,则$x_1+x_2=-16=m-1,∴ m=-15$.综上所述，$m$的值为17或$-15$
(2) 解$(x-2)(x-m)=0$,得$x_1=2,x_2=m.∵ (x-2)(x-m)=0$是“3倍根方程”，$∴$ 分两种情况讨论：① $m=2×3=6$,此时$m^2+2m+2=50$; ② $m=2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,此时$m^2+2m+2=\frac{34}{9}$.综上所述，$m^2+2m+2$的值为50或$\frac{34}{9}$
(3) $∵ x^2-(m-1)x+48=0(m$是常数)是“3倍根方程”，$∴$ 不妨设$x_2$是$x_1$的三倍，$∴ x_1x_2=3x_1^2=48$,解得$x_1=±4$.若$x_1=4,x_2=12$,则$x_1+x_2=16=m-1,∴ m=17$.若$x_1=-4,x_2=-12$,则$x_1+x_2=-16=m-1,∴ m=-15$.综上所述，$m$的值为17或$-15$
