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1 [2025苏州工业园区段考]关于反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，下列说法正确的是（
A.图象经过点$(1,1)$
B.图象的两个分支分布在第二、四象限
C.图象的两个分支关于$x$轴成轴对称
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.图象经过点$(1,1)$
B.图象的两个分支分布在第二、四象限
C.图象的两个分支关于$x$轴成轴对称
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时需逐一分析每个选项，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质判断对错：首先验证点是否在函数图象上，只需将点坐标代入解析式判断是否成立；其次根据$k$的正负判断图象所在象限；再判断图象的对称性；最后分析增减性，注意增减性的适用前提是在同一象限内。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，可得比例系数$k=-1＜0$，逐项分析如下：
A. 将$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{1}=-1≠1$，因此点$(1,1)$不在函数图象上，A错误；
B. 当$k＜0$时，反比例函数的两个图象分支分布在第二、四象限，B正确；
C. 反比例函数图象关于原点成中心对称，关于直线$y=x$、$y=-x$成轴对称，不关于$x$轴对称，例如点$(1,-1)$在图象上，其关于$x$轴的对称点$(1,1)$不在图象上，C错误；
D. 当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，因此$x＜0$时（第二象限内），$y$随$x$的增大而增大，不是减小，D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，熟练掌握比例系数$k$的正负对图象位置、增减性的影响是解题关键，判断增减性时要注意必须在同一个象限内讨论。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的图象与性质，解题时需逐一分析每个选项，结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质判断对错：首先验证点是否在函数图象上，只需将点坐标代入解析式判断是否成立；其次根据$k$的正负判断图象所在象限；再判断图象的对称性；最后分析增减性，注意增减性的适用前提是在同一象限内。
【解析】
对于反比例函数$y=-\frac{1}{x}$，可得比例系数$k=-1＜0$，逐项分析如下：
A. 将$x=1$代入解析式，得$y=-\frac{1}{1}=-1≠1$，因此点$(1,1)$不在函数图象上，A错误；
B. 当$k＜0$时，反比例函数的两个图象分支分布在第二、四象限，B正确；
C. 反比例函数图象关于原点成中心对称，关于直线$y=x$、$y=-x$成轴对称，不关于$x$轴对称，例如点$(1,-1)$在图象上，其关于$x$轴的对称点$(1,1)$不在图象上，C错误；
D. 当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，因此$x＜0$时（第二象限内），$y$随$x$的增大而增大，不是减小，D错误。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象特征；反比例函数的性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，熟练掌握比例系数$k$的正负对图象位置、增减性的影响是解题关键，判断增减性时要注意必须在同一个象限内讨论。
【难度系数】
0.8
2 [2025天津]若点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
2. D
解析
【分析】
要比较反比例函数上三个点的函数值大小，有两种常用思路：①直接将各点的横坐标代入函数解析式，算出对应的y值后比较大小；②利用反比例函数的性质判断：先根据k的符号确定函数图象所在象限，明确不同象限内点的纵坐标的正负，再结合同一象限内函数的增减性比较同象限内点的函数值大小，最后综合得出结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$；
将点$B(1,y_2)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$；
将点$C(3,y_3)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
∵$-9＜-3＜3$，
∴$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$中，$k=-9＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵点A的横坐标为$-3＜0$，
∴点A在第二象限，$y_1＞0$；
∵点B、C的横坐标为$1＞0$、$3＞0$，
∴点B、C在第四象限，$y_2＜0,y_3＜0$。
又
∵在第四象限内y随x增大而增大，且$1＜3$，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题，两种解题方法都可快速得出结果，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，避免出错。
【难度系数】
0.8
要比较反比例函数上三个点的函数值大小，有两种常用思路：①直接将各点的横坐标代入函数解析式，算出对应的y值后比较大小；②利用反比例函数的性质判断：先根据k的符号确定函数图象所在象限，明确不同象限内点的纵坐标的正负，再结合同一象限内函数的增减性比较同象限内点的函数值大小，最后综合得出结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_1=-\dfrac{9}{-3}=3$；
将点$B(1,y_2)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_2=-\dfrac{9}{1}=-9$；
将点$C(3,y_3)$代入$y=-\dfrac{9}{x}$，得$y_3=-\dfrac{9}{3}=-3$。
∵$-9＜-3＜3$，
∴$y_2＜y_3＜y_1$。
方法二：性质判断法
在反比例函数$y=-\dfrac{9}{x}$中，$k=-9＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵点A的横坐标为$-3＜0$，
∴点A在第二象限，$y_1＞0$；
∵点B、C的横坐标为$1＞0$、$3＞0$，
∴点B、C在第四象限，$y_2＜0,y_3＜0$。
又
∵在第四象限内y随x增大而增大，且$1＜3$，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的常见基础题，两种解题方法都可快速得出结果，要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，避免出错。
【难度系数】
0.8
3 [2025苏州工业园区段考]如果反比例函数$y=\frac{2-k}{x}$（k为常数）的图象在第二、四象限，那么k的取值范围是
$k＞2$
。答案
3. $k＞2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数图象所在象限与比例系数的关系：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象位置由$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象分布在第二、四象限。接下来对应本题中的比例系数为$2-k$，根据图象在第二、四象限的条件列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\ne0$）：
当$m＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知本题中反比例函数$y=\frac{2-k}{x}$的图象在第二、四象限，因此比例系数满足：
$2-k＜0$
移项得：$-k＜-2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$k＞2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数的对应关系，解题的关键是牢记反比例函数的性质，正确列出不等式，同时要注意解含负系数的不等式时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆反比例函数图象所在象限与比例系数的关系：反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$）的图象位置由$m$的符号决定，当$m＜0$时，图象分布在第二、四象限。接下来对应本题中的比例系数为$2-k$，根据图象在第二、四象限的条件列出关于$k$的不等式，最后解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m\ne0$）：
当$m＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
已知本题中反比例函数$y=\frac{2-k}{x}$的图象在第二、四象限，因此比例系数满足：
$2-k＜0$
移项得：$-k＜-2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$k＞2$
【答案】
$k＞2$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数的对应关系，解题的关键是牢记反比例函数的性质，正确列出不等式，同时要注意解含负系数的不等式时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.85
4 [2025 陕西]如图，过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于$A(m,n)$，$B(m-6,n-6)$两点，则$k$的值为
$9$
。答案
4. 9
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆正比例函数与反比例函数交点的性质：二者的交点关于原点对称，同时反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于k。我们可以先利用交点的对称性得到A、B两点坐标的等量关系，求解出A点的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k的值；也可以先通过两点均在过原点的直线上，推导得到m与n相等，再结合两点都在反比例函数上，横纵坐标乘积相等联立方程求解。
【解析】
方法一（利用对称性）：
∵ 过原点的直线与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴ 点B的坐标为$(-m, -n)$，
结合题中给出的B点坐标为$(m-6, n-6)$，可得：
$\begin{cases}m-6=-m\\n-6=-n\end{cases}$
分别解两个方程：
由$m-6=-m$得$2m=6$，解得$m=3$；
由$n-6=-n$得$2n=6$，解得$n=3$。
∵ 点$A(m,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $k=mn=3×3=9$。
方法二（利用函数点坐标特征）：
∵ 点$A(m,n)$、$B(m-6,n-6)$都在过原点的直线上，
∴ 两点横纵坐标的比值相等，即$\frac{n}{m}=\frac{n-6}{m-6}$，
交叉相乘得：$n(m-6)=m(n-6)$，
展开化简得：$mn-6n=mn-6m$，即$m=n$。
又
∵ A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $mn=(m-6)(n-6)$，
将$n=m$代入得：$m^2=(m-6)^2$，
展开得：$m^2=m^2-12m+36$，
移项化简得$12m=36$，解得$m=3$，
∴ $n=m=3$，
∴ $k=mn=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础题型，核心考查两类函数交点的对称性以及反比例函数中k与点坐标的关系，解题的关键是找到A、B两点坐标的等量关系，整体计算量小，属于常考的基础填空题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆正比例函数与反比例函数交点的性质：二者的交点关于原点对称，同时反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于k。我们可以先利用交点的对称性得到A、B两点坐标的等量关系，求解出A点的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k的值；也可以先通过两点均在过原点的直线上，推导得到m与n相等，再结合两点都在反比例函数上，横纵坐标乘积相等联立方程求解。
【解析】
方法一（利用对称性）：
∵ 过原点的直线与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴ 点B的坐标为$(-m, -n)$，
结合题中给出的B点坐标为$(m-6, n-6)$，可得：
$\begin{cases}m-6=-m\\n-6=-n\end{cases}$
分别解两个方程：
由$m-6=-m$得$2m=6$，解得$m=3$；
由$n-6=-n$得$2n=6$，解得$n=3$。
∵ 点$A(m,n)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $k=mn=3×3=9$。
方法二（利用函数点坐标特征）：
∵ 点$A(m,n)$、$B(m-6,n-6)$都在过原点的直线上，
∴ 两点横纵坐标的比值相等，即$\frac{n}{m}=\frac{n-6}{m-6}$，
交叉相乘得：$n(m-6)=m(n-6)$，
展开化简得：$mn-6n=mn-6m$，即$m=n$。
又
∵ A、B都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $mn=(m-6)(n-6)$，
将$n=m$代入得：$m^2=(m-6)^2$，
展开得：$m^2=m^2-12m+36$，
移项化简得$12m=36$，解得$m=3$，
∴ $n=m=3$，
∴ $k=mn=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础题型，核心考查两类函数交点的对称性以及反比例函数中k与点坐标的关系，解题的关键是找到A、B两点坐标的等量关系，整体计算量小，属于常考的基础填空题。
【难度系数】
0.7
5 如图，在平面直角坐标系中，点A在坐标原点O的左边2个单位长度处，过点A作y轴的平行线，交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象于点B，$AB=\frac{3}{2}$。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，指出点P，Q分别位于哪个象限，并简要说明理由。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，指出点P，Q分别位于哪个象限，并简要说明理由。
答案
5. (1) 由题意,得点 B 的坐标为$(-2,\frac{3}{2})$. 把$B(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-3$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$
(2) 点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限 理由:$\because k=-3＜0$,$\therefore$ 在每一个象限内,$y$ 随$x$ 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限.
(2) 点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限 理由:$\because k=-3＜0$,$\therefore$ 在每一个象限内,$y$ 随$x$ 的增大而增大.$\because P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点,且当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$,$\therefore$ 点 P,Q 位于不同的象限,且点 P 位于第二象限,点 Q 位于第四象限.
解析
【分析】
（1）求反比例函数表达式需要先得到函数图象上一个点的坐标：首先根据点A的位置确定A坐标为$(-2,0)$，AB平行于y轴说明B的横坐标与A相同，结合AB长度和B所在的第二象限即可得到B点坐标，再将B点坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出k的值，即可得到函数表达式。
（2）判断P、Q所在象限需结合反比例函数的增减性分析：当$k＜0$时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大，若两点在同一象限，$x_1＜x_2$时应有$y_1＜y_2$，和题设条件矛盾，说明两点在不同象限，再结合$x_1＜x_2$和函数图象的分布即可判断两点所在象限。
【解析】
（1）由题意得，点A在原点左侧2个单位长度处，因此A点坐标为$(-2,0)$。
∵AB平行于y轴，$AB=\frac{3}{2}$，且点B在第二象限，
∴B点横坐标为$-2$，纵坐标为$\frac{3}{2}$，即$B(-2,\frac{3}{2})$。
将$B(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$\frac{3}{2}=\frac{k}{-2}$，解得$k=-3$。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。
（2）点P位于第二象限，点Q位于第四象限。理由：
∵$k=-3＜0$，
∴该反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，不符合同一象限内的增减性规律，因此两点不在同一象限。
又
∵$x_1＜x_2$，
∴$x_1＜0$，$x_2＞0$，即点P在第二象限，点Q在第四象限。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{x}$
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，考查了反比例函数解析式的求解和增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，这是这类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
（1）求反比例函数表达式需要先得到函数图象上一个点的坐标：首先根据点A的位置确定A坐标为$(-2,0)$，AB平行于y轴说明B的横坐标与A相同，结合AB长度和B所在的第二象限即可得到B点坐标，再将B点坐标代入$y=\frac{k}{x}$求出k的值，即可得到函数表达式。
（2）判断P、Q所在象限需结合反比例函数的增减性分析：当$k＜0$时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大，若两点在同一象限，$x_1＜x_2$时应有$y_1＜y_2$，和题设条件矛盾，说明两点在不同象限，再结合$x_1＜x_2$和函数图象的分布即可判断两点所在象限。
【解析】
（1）由题意得，点A在原点左侧2个单位长度处，因此A点坐标为$(-2,0)$。
∵AB平行于y轴，$AB=\frac{3}{2}$，且点B在第二象限，
∴B点横坐标为$-2$，纵坐标为$\frac{3}{2}$，即$B(-2,\frac{3}{2})$。
将$B(-2,\frac{3}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$\frac{3}{2}=\frac{k}{-2}$，解得$k=-3$。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。
（2）点P位于第二象限，点Q位于第四象限。理由：
∵$k=-3＜0$，
∴该反比例函数图象分布在第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，且$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，不符合同一象限内的增减性规律，因此两点不在同一象限。
又
∵$x_1＜x_2$，
∴$x_1＜0$，$x_2＞0$，即点P在第二象限，点Q在第四象限。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{x}$
(2) 点P位于第二象限，点Q位于第四象限，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数图象特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，考查了反比例函数解析式的求解和增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，这是这类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
6[2025苏州期末]已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上，且$x_1＜0＜x_2$，则下列结论一定正确的是（
A.$y_1+y_2＜0$
B.$y_1+y_2＞0$
C.$y_1-y_2＜0$
D.$y_1-y_2＞0$
C
）A.$y_1+y_2＜0$
B.$y_1+y_2＞0$
C.$y_1-y_2＜0$
D.$y_1-y_2＞0$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：当k＞0时，函数图象分布在第一、三象限，象限内点的横纵坐标同号。结合题中给出的$x_1＜0＜x_2$，可判断点A在第三象限，点B在第一象限，进而得到$y_1＜0$，$y_2＞0$，再依次分析各选项中代数式的符号即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，因此该函数的图象位于第一、第三象限。
已知$x_1＜0＜x_2$，因此点$A(x_1,y_1)$在第三象限，点$B(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_1＜0$，$y_2＞0$。
对各选项逐一分析：
选项A、B：$y_1+y_2$是负数与正数的和，符号由$y_1$和$y_2$的绝对值大小决定，取值可正、可负、可为0，因此A、B均不一定正确；
选项C、D：$y_1-y_2=y_1+(-y_2)$，因为$y_2＞0$，所以$-y_2＜0$，两个负数相加结果仍为负数，即$y_1-y_2＜0$，因此C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据自变量的取值范围判断点所在象限，进而得到函数值的正负，再结合有理数运算规则判断代数式的符号，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：当k＞0时，函数图象分布在第一、三象限，象限内点的横纵坐标同号。结合题中给出的$x_1＜0＜x_2$，可判断点A在第三象限，点B在第一象限，进而得到$y_1＜0$，$y_2＞0$，再依次分析各选项中代数式的符号即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，因此该函数的图象位于第一、第三象限。
已知$x_1＜0＜x_2$，因此点$A(x_1,y_1)$在第三象限，点$B(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_1＜0$，$y_2＞0$。
对各选项逐一分析：
选项A、B：$y_1+y_2$是负数与正数的和，符号由$y_1$和$y_2$的绝对值大小决定，取值可正、可负、可为0，因此A、B均不一定正确；
选项C、D：$y_1-y_2=y_1+(-y_2)$，因为$y_2＞0$，所以$-y_2＜0$，两个负数相加结果仍为负数，即$y_1-y_2＜0$，因此C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据自变量的取值范围判断点所在象限，进而得到函数值的正负，再结合有理数运算规则判断代数式的符号，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
