登录
8 正比例函数 $y=6x$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象的交点位于 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
答案
D
解析
【分析】
要判断两个函数图象的交点所在象限，有两种解题思路：一是联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断所在象限；二是分别分析两个函数图象经过的象限，它们共同经过的象限就是交点所在的象限。
【解析】
方法一：联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=6x \\y=\dfrac{6}{x}\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得 $6x=\dfrac{6}{x}$（$x≠0$），两边同乘$x$得$6x^2=6$，解得$x=\pm1$。
当$x=1$时，$y=6×1=6$，交点坐标为$(1,6)$，位于第一象限；
当$x=-1$时，$y=6×(-1)=-6$，交点坐标为$(-1,-6)$，位于第三象限。
因此两个函数图象的交点位于第一、三象限。
方法二：根据函数图象性质判断：
正比例函数$y=6x$中，比例系数$6＞0$，因此图象经过第一、三象限；
反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中，比例系数$6＞0$，因此图象也分布在第一、三象限。
两个函数图象都经过第一、三象限，因此交点位于第一、三象限。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数交点的求解
【点评】
本题属于基础题，既可以通过联立方程计算交点坐标判断象限，也可以直接利用两类函数的图象分布规律快速得出结论，是对函数图象基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断两个函数图象的交点所在象限，有两种解题思路：一是联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断所在象限；二是分别分析两个函数图象经过的象限，它们共同经过的象限就是交点所在的象限。
【解析】
方法一：联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=6x \\y=\dfrac{6}{x}\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得 $6x=\dfrac{6}{x}$（$x≠0$），两边同乘$x$得$6x^2=6$，解得$x=\pm1$。
当$x=1$时，$y=6×1=6$，交点坐标为$(1,6)$，位于第一象限；
当$x=-1$时，$y=6×(-1)=-6$，交点坐标为$(-1,-6)$，位于第三象限。
因此两个函数图象的交点位于第一、三象限。
方法二：根据函数图象性质判断：
正比例函数$y=6x$中，比例系数$6＞0$，因此图象经过第一、三象限；
反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中，比例系数$6＞0$，因此图象也分布在第一、三象限。
两个函数图象都经过第一、三象限，因此交点位于第一、三象限。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，函数交点的求解
【点评】
本题属于基础题，既可以通过联立方程计算交点坐标判断象限，也可以直接利用两类函数的图象分布规律快速得出结论，是对函数图象基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
9 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上有一点$P(2,n)$，将点$P$先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点$Q$.若点$Q$也在该函数的图象上，则$k$的值为
6
.答案
6
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k；二是点平移时坐标遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律。首先根据平移规则求出点Q的坐标，再将点P和点Q的坐标分别代入反比例函数解析式，得到两个关于k和n的等式，联立等式求解即可得到k的值。
【解析】
1. 求平移后点Q的坐标：
点P(2,n)向右平移1个单位长度，横坐标变为$2+1=3$；再向下平移1个单位长度，纵坐标变为$n-1$，因此点Q的坐标为$(3, n-1)$。
2. 代入反比例函数解析式列方程：
∵点$P(2,n)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴$n=\dfrac{k}{2}$，整理得$k=2n$ ①；
∵点$Q(3,n-1)$也在该反比例函数图象上，
∴$n-1=\dfrac{k}{3}$，整理得$k=3(n-1)$ ②。
3. 联立方程求解：
联立①②可得$2n=3(n-1)$，
解方程：$2n=3n-3$，解得$n=3$，
将$n=3$代入①得$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 点平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题型，综合考察点的平移规律和反比例函数的基本性质，解题关键是掌握反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式，正确列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆两个核心知识点：一是反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积等于比例系数k；二是点平移时坐标遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律。首先根据平移规则求出点Q的坐标，再将点P和点Q的坐标分别代入反比例函数解析式，得到两个关于k和n的等式，联立等式求解即可得到k的值。
【解析】
1. 求平移后点Q的坐标：
点P(2,n)向右平移1个单位长度，横坐标变为$2+1=3$；再向下平移1个单位长度，纵坐标变为$n-1$，因此点Q的坐标为$(3, n-1)$。
2. 代入反比例函数解析式列方程：
∵点$P(2,n)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴$n=\dfrac{k}{2}$，整理得$k=2n$ ①；
∵点$Q(3,n-1)$也在该反比例函数图象上，
∴$n-1=\dfrac{k}{3}$，整理得$k=3(n-1)$ ②。
3. 联立方程求解：
联立①②可得$2n=3(n-1)$，
解方程：$2n=3n-3$，解得$n=3$，
将$n=3$代入①得$k=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 点平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础题型，综合考察点的平移规律和反比例函数的基本性质，解题关键是掌握反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式，正确列出方程求解即可。
【难度系数】
0.8
10 [2025 虎丘区段考]已知在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的一个交点为$P(a,b)$，则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为
-1
。答案
-1
解析
【分析】
解题时先利用函数图象交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将点$P(a,b)$分别代入两个函数表达式，可得到$ab$与$b-a$的值；再将所求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形为含有$ab$和$b-a$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{1}{x}$，得$b=\frac{1}{a}$，即$ab=1$；
将$P(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对所求代数式通分可得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=1$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{1}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 分式化简求值
【点评】
本题考查函数交点的应用，解题核心是利用交点坐标满足两个函数解析式得到相关代数式的值，再通过对所求式子变形后整体代入计算，体现了整体代入的数学思想，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先利用函数图象交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此将点$P(a,b)$分别代入两个函数表达式，可得到$ab$与$b-a$的值；再将所求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形为含有$ab$和$b-a$的形式，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵点$P(a,b)$是函数$y=\frac{1}{x}$与$y=x-1$的图象的交点，
∴将$P(a,b)$代入$y=\frac{1}{x}$，得$b=\frac{1}{a}$，即$ab=1$；
将$P(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对所求代数式通分可得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=1$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{-1}{1}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 分式化简求值
【点评】
本题考查函数交点的应用，解题核心是利用交点坐标满足两个函数解析式得到相关代数式的值，再通过对所求式子变形后整体代入计算，体现了整体代入的数学思想，难度不大。
【难度系数】
0.7
11 如图，点A，D分别在函数$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0),y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点B，C在x轴上。如果四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，那么点D的坐标为
(2,3)
。答案
(2,3)
【解析】设点A的纵坐标为n，则点D的纵坐标为n.
∴ 点A,D的坐标分别为$(-\dfrac{3}{n},n),(\dfrac{6}{n},n),\therefore BC=\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n},CD=n$.根据正方形的边长相等,得$\dfrac{9}{n}=n$,解得$n=3$(负值舍去).$\therefore$ 点D的坐标为$(2,3)$.
【解析】设点A的纵坐标为n，则点D的纵坐标为n.
∴ 点A,D的坐标分别为$(-\dfrac{3}{n},n),(\dfrac{6}{n},n),\therefore BC=\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n},CD=n$.根据正方形的边长相等,得$\dfrac{9}{n}=n$,解得$n=3$(负值舍去).$\therefore$ 点D的坐标为$(2,3)$.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质，可知边AD与x轴平行，因此点A和点D的纵坐标相等，可先设两点的纵坐标为n；再根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用n表示出点A、D的横坐标；此时AD的长度为两点横坐标的差，而正方形的边长AD等于CD（CD的长度等于纵坐标n），据此建立方程求解n的值，最后代入即可得到点D的坐标。
【解析】
设点A的纵坐标为n，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//x轴，即点D的纵坐标也为n，
将y=n分别代入两个反比例函数解析式：
对于$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$，得$n=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{n}$，即$A(-\dfrac{3}{n},n)$；
对于$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$，得$n=\dfrac{6}{x}$，解得$x=\dfrac{6}{n}$，即$D(\dfrac{6}{n},n)$；
则边$AD$的长度为$\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n}$，
又
∵正方形边长相等，$CD=n$，
∴$\dfrac{9}{n}=n$，解得$n^2=9$，
∵点D在第一象限，纵坐标为正，
∴$n=3$（负值舍去），
将$n=3$代入D点横坐标$\dfrac{6}{n}$，得$x=\dfrac{6}{3}=2$，
∴点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；正方形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的典型题型，解题的核心是利用正方形对边平行的特征找到两点纵坐标相等的关系，结合反比例函数解析式表示出点的坐标，再利用边长相等建立方程求解，较好地考查了数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合正方形的性质，可知边AD与x轴平行，因此点A和点D的纵坐标相等，可先设两点的纵坐标为n；再根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用n表示出点A、D的横坐标；此时AD的长度为两点横坐标的差，而正方形的边长AD等于CD（CD的长度等于纵坐标n），据此建立方程求解n的值，最后代入即可得到点D的坐标。
【解析】
设点A的纵坐标为n，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//x轴，即点D的纵坐标也为n，
将y=n分别代入两个反比例函数解析式：
对于$y=-\dfrac{3}{x}(x＜0)$，得$n=-\dfrac{3}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{n}$，即$A(-\dfrac{3}{n},n)$；
对于$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$，得$n=\dfrac{6}{x}$，解得$x=\dfrac{6}{n}$，即$D(\dfrac{6}{n},n)$；
则边$AD$的长度为$\dfrac{6}{n}-(-\dfrac{3}{n})=\dfrac{9}{n}$，
又
∵正方形边长相等，$CD=n$，
∴$\dfrac{9}{n}=n$，解得$n^2=9$，
∵点D在第一象限，纵坐标为正，
∴$n=3$（负值舍去），
将$n=3$代入D点横坐标$\dfrac{6}{n}$，得$x=\dfrac{6}{3}=2$，
∴点D的坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；正方形的性质；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与正方形结合的典型题型，解题的核心是利用正方形对边平行的特征找到两点纵坐标相等的关系，结合反比例函数解析式表示出点的坐标，再利用边长相等建立方程求解，较好地考查了数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.65
12 [2025 东营]如图，一次函数$y=3x+3$的图象与坐标轴分别交于点$B,C$，函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点$A$，$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，求$k$的值.
答案
在一次函数$y=3x+3$中，令$x=0$，得$y=3$；令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$，$\therefore$ 点B坐标为$(-1,0)$，点C坐标为$(0,3)$，$\therefore OB=1,OC=3$.如图，过点A作$AD⊥ y$轴于点D. $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°.\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BCO+∠ CBO=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$.在$△ ACD$和$△ CBO$中，$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO,\therefore AD=CO=3,CD=BO=1,\therefore OD=OC+CD=4,\therefore$ 点A的坐标为$(-3,4)$.将$A(-3,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=-3×4=-12$
解析
【分析】
解题首先需要先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，已知一次函数解析式，分别令x=0、y=0即可求得B、C坐标。接下来结合△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=BC的条件，采用作辅助线构造全等三角形的方法求点A坐标：过点A作AD垂直y轴于D，通过同角的余角相等得到一组等角，结合已知直角和AC=BC的条件证明△ACD和△CBO全等，利用全等三角形对应边相等得到AD、CD的长度，即可求出点A的坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式就能求出k的值。
【解析】
对于一次函数$y=3x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore$ 点C坐标为$(0,3)$，$OC=3$；
令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$，$\therefore$ 点B坐标为$(-1,0)$，$OB=1$。
过点A作$AD⊥ y$轴于点D，则$∠ ADC=90°=∠ COB$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BCO+∠ CBO=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$。
在$△ ACD$和$△ CBO$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CO=3,CD=BO=1$，
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4$，
∵点A在第二象限，$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=-3×4=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.全等三角形的判定与性质
3.反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是一次函数、全等三角形与反比例函数的综合题，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形求得点A的坐标，较好地考查了数形结合思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题首先需要先求出一次函数与坐标轴的交点B、C的坐标，已知一次函数解析式，分别令x=0、y=0即可求得B、C坐标。接下来结合△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°且AC=BC的条件，采用作辅助线构造全等三角形的方法求点A坐标：过点A作AD垂直y轴于D，通过同角的余角相等得到一组等角，结合已知直角和AC=BC的条件证明△ACD和△CBO全等，利用全等三角形对应边相等得到AD、CD的长度，即可求出点A的坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式就能求出k的值。
【解析】
对于一次函数$y=3x+3$：
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore$ 点C坐标为$(0,3)$，$OC=3$；
令$y=0$，则$0=3x+3$，解得$x=-1$，$\therefore$ 点B坐标为$(-1,0)$，$OB=1$。
过点A作$AD⊥ y$轴于点D，则$∠ ADC=90°=∠ COB$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ BCO=90°$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BCO+∠ CBO=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ CBO$。
在$△ ACD$和$△ CBO$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB=90°,\\∠ ACD=∠ CBO,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CO=3,CD=BO=1$，
$\therefore OD=OC+CD=3+1=4$，
∵点A在第二象限，$\therefore$ 点A的坐标为$(-3,4)$。
将$A(-3,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=-3×4=-12$。
【答案】
$k=-12$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.全等三角形的判定与性质
3.反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是一次函数、全等三角形与反比例函数的综合题，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形求得点A的坐标，较好地考查了数形结合思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13 [2025 常熟市段考改编]如图,在平面直角坐标系中,$A(-3,1)$,$B(a,-3)$是一次函数$y=kx+b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 连接$OA$,$OB$,求$△ OAB$的面积.
答案
(1) $\because A(-3,1),B(a,-3)$是一次函数$y=kx+b$的图象和反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象的两个交点，$\therefore m=-3a=-3×1,\therefore m=-3$，
$a=1,\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$，点B的坐标为$(1,-3)$.将$A(-3,1),B(1,-3)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-3k+b=1,\\k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2,\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x-2$
(2) 设直线AB与$y$轴的交点为C.在$y=-x-2$中，当$x=0$时，$y=-2,\therefore C(0,-2)$，即$OC=2,\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OC·|x_B-x_A|=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
$a=1,\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$，点B的坐标为$(1,-3)$.将$A(-3,1),B(1,-3)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-3k+b=1,\\k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2,\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x-2$
(2) 设直线AB与$y$轴的交点为C.在$y=-x-2$中，当$x=0$时，$y=-2,\therefore C(0,-2)$，即$OC=2,\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OC·|x_B-x_A|=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
解析
【分析】
(1) 求函数表达式可先从仅需单个点确定的反比例函数入手：已知点A在反比例函数图象上，代入A点坐标即可求出m，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例函数，求出a的值得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组求出k、b，即可得到一次函数表达式。
(2) △OAB没有边与坐标轴重合，直接计算面积较复杂，可采用割补法简化运算：先找到一次函数与y轴的交点C，将△OAB拆分为以OC为公共底的△AOC和△BOC，两个三角形的高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,1)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上
∴代入得$m = (-3)×1 = -3$，即反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$
∵点$B(a,-3)$也在反比例函数图象上
∴代入$y=-3$得$-3=-\dfrac{3}{a}$，解得$a=1$，即B点坐标为$(1,-3)$
将$A(-3,1)$、$B(1,-3)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-3k+b=1\\k+b=-3\end{cases}$
两式相减消去b得$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=-3$得$b=-2$
∴一次函数的表达式为$y=-x-2$
(2) 设直线AB与y轴的交点为C，在$y=-x-2$中，令$x=0$得$y=-2$
∴$C(0,-2)$，即$OC=2$
$S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}·OC·|x_A|+\dfrac{1}{2}·OC·|x_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×2×3+\dfrac{1}{2}×2×1=3+1=4$
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-2}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及割补法求解不规则图形面积的思路，方法固定，是函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式可先从仅需单个点确定的反比例函数入手：已知点A在反比例函数图象上，代入A点坐标即可求出m，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例函数，求出a的值得到B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组求出k、b，即可得到一次函数表达式。
(2) △OAB没有边与坐标轴重合，直接计算面积较复杂，可采用割补法简化运算：先找到一次函数与y轴的交点C，将△OAB拆分为以OC为公共底的△AOC和△BOC，两个三角形的高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
(1)
∵点$A(-3,1)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象上
∴代入得$m = (-3)×1 = -3$，即反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{3}{x}$
∵点$B(a,-3)$也在反比例函数图象上
∴代入$y=-3$得$-3=-\dfrac{3}{a}$，解得$a=1$，即B点坐标为$(1,-3)$
将$A(-3,1)$、$B(1,-3)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-3k+b=1\\k+b=-3\end{cases}$
两式相减消去b得$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k+b=-3$得$b=-2$
∴一次函数的表达式为$y=-x-2$
(2) 设直线AB与y轴的交点为C，在$y=-x-2$中，令$x=0$得$y=-2$
∴$C(0,-2)$，即$OC=2$
$S_{△ OAB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}·OC·|x_A|+\dfrac{1}{2}·OC·|x_B|$
代入数值计算得：
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×2×3+\dfrac{1}{2}×2×1=3+1=4$
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-2}$；
(2) $△ OAB$的面积为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及割补法求解不规则图形面积的思路，方法固定，是函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
