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1 [2024重庆B卷]反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$的图象一定经过的点是 （
A.(1,10)
B.(-2,5)
C.(2,5)
D.(2,8)
B
）A.(1,10)
B.(-2,5)
C.(2,5)
D.(2,8)
答案
B
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，需利用反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数$k$。本题中反比例函数的$k=-10$，因此只需逐一计算各选项横、纵坐标的乘积，判断是否等于$-10$即可。
【解析】
由反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$可变形得$xy=-10$，即图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-10$，逐一验证各选项：
选项A：$1×10=10≠-10$，不符合要求，不在函数图象上；
选项B：$-2×5=-10$，符合要求，在函数图象上；
选项C：$2×5=10≠-10$，不符合要求，不在函数图象上；
选项D：$2×8=16≠-10$，不符合要求，不在函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记反比例函数图象上点的坐标满足横、纵坐标乘积等于比例系数$k$，通过代入验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
要判断点是否在反比例函数图象上，需利用反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数$k$。本题中反比例函数的$k=-10$，因此只需逐一计算各选项横、纵坐标的乘积，判断是否等于$-10$即可。
【解析】
由反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$可变形得$xy=-10$，即图象上所有点的横、纵坐标乘积均为$-10$，逐一验证各选项：
选项A：$1×10=10≠-10$，不符合要求，不在函数图象上；
选项B：$-2×5=-10$，符合要求，在函数图象上；
选项C：$2×5=10≠-10$，不符合要求，不在函数图象上；
选项D：$2×8=16≠-10$，不符合要求，不在函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记反比例函数图象上点的坐标满足横、纵坐标乘积等于比例系数$k$，通过代入验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2 如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为$(-3,2)$。若函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0,x＞0$）的图象经过点A，则k的值为（
A.$-6$
B.$-3$
C.$3$
D.$6$
D
）A.$-6$
B.$-3$
C.$3$
D.$6$
答案
D
解析
【分析】
解题首先利用菱形的轴对称性，因为菱形的对角线互相垂直平分，本题中顶点B在y轴上，说明对角线OB在y轴上，因此菱形关于y轴对称，点A与点C关于y轴对称。我们可以先根据点C的坐标求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，顶点B在y轴上，
∴ 菱形OABC关于y轴对称，点A和点C关于y轴对称。
已知点C的坐标为$(-3,2)$，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此点A的坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0,x＞0$），得：
$2=\frac{k}{3}$，
解得$k=3×2=6$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，反比例函数系数k的求法
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是利用菱形的对称性快速得到点A的坐标，再结合反比例函数的性质求解，考查了学生对基础几何性质和函数知识的结合应用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先利用菱形的轴对称性，因为菱形的对角线互相垂直平分，本题中顶点B在y轴上，说明对角线OB在y轴上，因此菱形关于y轴对称，点A与点C关于y轴对称。我们可以先根据点C的坐标求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，顶点B在y轴上，
∴ 菱形OABC关于y轴对称，点A和点C关于y轴对称。
已知点C的坐标为$(-3,2)$，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此点A的坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0,x＞0$），得：
$2=\frac{k}{3}$，
解得$k=3×2=6$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，关于y轴对称的点的坐标特征，反比例函数系数k的求法
【点评】
本题属于基础综合题，解题的突破口是利用菱形的对称性快速得到点A的坐标，再结合反比例函数的性质求解，考查了学生对基础几何性质和函数知识的结合应用能力。
【难度系数】
0.8
3 [2025福建]若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$，则常数$k=$
-2
。答案
-2
解析
【分析】
解题思路：反比例函数图象上的所有点的坐标都满足其函数解析式，因此可将已知点的横、纵坐标分别代入解析式的x、y位置，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$
∴ 将$x=-2$，$y=1$代入解析式，可得：
$1=\frac{k}{-2}$
等式两边同乘$-2$，解得$k=1×(-2)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数点坐标特征、待定系数法
【点评】
本题属于反比例函数基础题，主要考查利用函数图象上点的坐标求解未知参数的方法，运算简单，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：反比例函数图象上的所有点的坐标都满足其函数解析式，因此可将已知点的横、纵坐标分别代入解析式的x、y位置，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$
∴ 将$x=-2$，$y=1$代入解析式，可得：
$1=\frac{k}{-2}$
等式两边同乘$-2$，解得$k=1×(-2)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
反比例函数点坐标特征、待定系数法
【点评】
本题属于反比例函数基础题，主要考查利用函数图象上点的坐标求解未知参数的方法，运算简单，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4 [2025 苏州工业园区段考]若函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A(-1,2),B(a,-1)$,则a的值为
2
.答案
2
解析
【分析】
解题时首先要明确：反比例函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式。所以我们可以分两步求解：第一步，将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出未知系数k，得到完整的函数解析式；第二步，将点B的坐标代入已求出的解析式，解方程即可得到a的值。
【解析】
1. 求反比例函数的系数k：
将点$A(-1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可得：
$2=\frac{k}{-1}$
解得$k=-2$，因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
2. 求a的值：
将点$B(a,-1)$代入$y=-\frac{2}{x}$，可得：
$-1=-\frac{2}{a}$
两边同时乘$a$（$a≠0$）得：$-a=-2$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考察函数图象上的点与解析式的对应关系，以及待定系数法的应用，掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：反比例函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式。所以我们可以分两步求解：第一步，将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，求出未知系数k，得到完整的函数解析式；第二步，将点B的坐标代入已求出的解析式，解方程即可得到a的值。
【解析】
1. 求反比例函数的系数k：
将点$A(-1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可得：
$2=\frac{k}{-1}$
解得$k=-2$，因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
2. 求a的值：
将点$B(a,-1)$代入$y=-\frac{2}{x}$，可得：
$-1=-\frac{2}{a}$
两边同时乘$a$（$a≠0$）得：$-a=-2$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考察函数图象上的点与解析式的对应关系，以及待定系数法的应用，掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8
5 若点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，则代数式$ab-4$的值为
-2
.答案
-2
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质。首先将点A的横、纵坐标代入反比例函数解析式，推导出a与b的乘积的值，再将ab的取值代入待求的代数式计算，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
∵ 反比例函数的自变量$a≠0$，两边同乘$a$得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-4$，得：
$ab-4=2-4=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，只要掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质。首先将点A的横、纵坐标代入反比例函数解析式，推导出a与b的乘积的值，再将ab的取值代入待求的代数式计算，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
∵ 反比例函数的自变量$a≠0$，两边同乘$a$得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-4$，得：
$ab-4=2-4=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，只要掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6 已知函数$y=\frac{m-2}{x}$，当$x=-2$时，$y=-4$。
（1）求$m$的值；
（2）若$x=2$，求$y$的值；
（3）画出这个函数的图象。
（1）求$m$的值；
（2）若$x=2$，求$y$的值；
（3）画出这个函数的图象。
答案
(1) 由题意，得$-4=\dfrac{m-2}{-2}$，解得$m=10$
(2) $\because x=2,\therefore y=\dfrac{10-2}{2}=4$
(3) 如图所示
解析
【分析】
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：（1）函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知的x=-2、y=-4代入给定的函数式，就能得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；（2）先把第（1）问求出的m代回原式，得到完整的反比例函数解析式，再将x=2代入解析式计算，即可得到对应的y值；（3）绘制反比例函数图象时，先根据k的正负判断图象所在象限，再通过列表取点、描点、用平滑曲线连接即可，注意反比例函数图象不与坐标轴相交。
【解析】
（1）将$x=-2$，$y=-4$代入$y=\frac{m-2}{x}$，可得：
$-4=\frac{m-2}{-2}$
等式两边同乘$-2$得：$8=m-2$，解得$m=10$。
（2）由（1）得$m=10$，因此函数解析式为$y=\frac{10-2}{x}=\frac{8}{x}$。
将$x=2$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{2}=4$。
（3）该函数$k=8＞0$，图象位于第一、第三象限：先列表选取正负成对的x值，计算对应y值，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线分别连接两个象限的点，向两端延伸即可，注意图象不与x轴、y轴相交。
【答案】
(1) $m=10$
(2) $y=4$
(3)
【知识点】
反比例函数解析式求解；函数值计算；反比例函数图象绘制
【点评】
本题是反比例函数的基础习题，侧重考察代入求值的运算能力和反比例函数的基础性质，解题时注意代入数值的符号不要出错，画图时要保证曲线平滑、象限正确，不要与坐标轴相交。
【难度系数】
0.85
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：（1）函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知的x=-2、y=-4代入给定的函数式，就能得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；（2）先把第（1）问求出的m代回原式，得到完整的反比例函数解析式，再将x=2代入解析式计算，即可得到对应的y值；（3）绘制反比例函数图象时，先根据k的正负判断图象所在象限，再通过列表取点、描点、用平滑曲线连接即可，注意反比例函数图象不与坐标轴相交。
【解析】
（1）将$x=-2$，$y=-4$代入$y=\frac{m-2}{x}$，可得：
$-4=\frac{m-2}{-2}$
等式两边同乘$-2$得：$8=m-2$，解得$m=10$。
（2）由（1）得$m=10$，因此函数解析式为$y=\frac{10-2}{x}=\frac{8}{x}$。
将$x=2$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{2}=4$。
（3）该函数$k=8＞0$，图象位于第一、第三象限：先列表选取正负成对的x值，计算对应y值，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑曲线分别连接两个象限的点，向两端延伸即可，注意图象不与x轴、y轴相交。
【答案】
(1) $m=10$
(2) $y=4$
(3)
【知识点】
反比例函数解析式求解；函数值计算；反比例函数图象绘制
【点评】
本题是反比例函数的基础习题，侧重考察代入求值的运算能力和反比例函数的基础性质，解题时注意代入数值的符号不要出错，画图时要保证曲线平滑、象限正确，不要与坐标轴相交。
【难度系数】
0.85
7 分类讨论思想 [2025 德州]在平面直角坐标系中，函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，可按以下思路推导：
1. 先判断函数值的符号：由于绝对值非负，且$x≠0$，因此$|x|＞0$，可得$y=-\frac{1}{|x|}$恒为负数，说明图像所有点都在x轴下方，可直接排除存在y＞0分支的选项；
2. 再分类讨论x的正负化简解析式，结合反比例函数的图像性质验证剩余选项：分x＞0和x＜0两种情况去掉绝对值，分别对应不同的反比例函数，判断其所在象限，即可得到正确图像。
【解析】
函数$y=-\frac{1}{|x|}$的自变量取值范围是$x≠0$。
1. 判断函数值符号：
$\because |x|＞0$，$\therefore y=-\frac{1}{|x|}＜0$，即函数图像上所有点的纵坐标均为负数，图像只能在第三、第四象限，因此排除含y＞0分支的选项A、B、D。
2. 分类化简验证：
当$x＞0$时，$|x|=x$，函数解析式化简为$y=-\frac{1}{x}$，这是$k=-1＜0$的反比例函数，$x＞0$的分支位于第四象限；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，函数解析式化简为$y=\frac{1}{x}$，这是$k=1＞0$的反比例函数，$x＜0$的分支位于第三象限。
综上，函数图像为第三、第四象限的两个双曲线分支，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题考查含绝对值的反比例函数图像判断，解题时先通过函数值的符号快速排除错误选项，再分类讨论不同区间的解析式验证，能有效提高解题效率，需要注意绝对值化简时的符号问题。
【难度系数】
0.7
要判断函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象，可按以下思路推导：
1. 先判断函数值的符号：由于绝对值非负，且$x≠0$，因此$|x|＞0$，可得$y=-\frac{1}{|x|}$恒为负数，说明图像所有点都在x轴下方，可直接排除存在y＞0分支的选项；
2. 再分类讨论x的正负化简解析式，结合反比例函数的图像性质验证剩余选项：分x＞0和x＜0两种情况去掉绝对值，分别对应不同的反比例函数，判断其所在象限，即可得到正确图像。
【解析】
函数$y=-\frac{1}{|x|}$的自变量取值范围是$x≠0$。
1. 判断函数值符号：
$\because |x|＞0$，$\therefore y=-\frac{1}{|x|}＜0$，即函数图像上所有点的纵坐标均为负数，图像只能在第三、第四象限，因此排除含y＞0分支的选项A、B、D。
2. 分类化简验证：
当$x＞0$时，$|x|=x$，函数解析式化简为$y=-\frac{1}{x}$，这是$k=-1＜0$的反比例函数，$x＞0$的分支位于第四象限；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，函数解析式化简为$y=\frac{1}{x}$，这是$k=1＞0$的反比例函数，$x＜0$的分支位于第三象限。
综上，函数图像为第三、第四象限的两个双曲线分支，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质，绝对值化简，分类讨论
【点评】
本题考查含绝对值的反比例函数图像判断，解题时先通过函数值的符号快速排除错误选项，再分类讨论不同区间的解析式验证，能有效提高解题效率，需要注意绝对值化简时的符号问题。
【难度系数】
0.7
