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1 已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为
22
。答案
1. 22
解析
【分析】
解决本题需先结合等腰三角形“两腰相等”的性质，分两种情况讨论边长组合，再根据三角形“两边之和大于第三边”的三边关系验证每种情况是否能构成三角形，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为4和9，分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为9，则三角形三边长为4、4、9。
由于$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9，底边长为4，则三角形三边长为9、9、4。
验证三边关系：$9+4＞9$，$9+9＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为$9+9+4=22$。
【答案】
22
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接计算两种边长组合的周长导致错解，遇到等腰三角形边长未明确腰和底的题目时，一定要先分类讨论，再验证所得三角形是否存在。
【难度系数】
0.6
解决本题需先结合等腰三角形“两腰相等”的性质，分两种情况讨论边长组合，再根据三角形“两边之和大于第三边”的三边关系验证每种情况是否能构成三角形，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为4和9，分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为9，则三角形三边长为4、4、9。
由于$4+4=8＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若腰长为9，底边长为4，则三角形三边长为9、9、4。
验证三边关系：$9+4＞9$，$9+9＞4$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为$9+9+4=22$。
【答案】
22
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接计算两种边长组合的周长导致错解，遇到等腰三角形边长未明确腰和底的题目时，一定要先分类讨论，再验证所得三角形是否存在。
【难度系数】
0.6
2 整体思想 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2$，$P$是$BC$上任意一点，$PE⊥ AB$于点$E$，$PF⊥ AC$于点$F$。若$S_{△ ABC}=1$，则$PE+PF$的值为
（第2题）
（第4题）
1
。（第2题）（第4题）答案
2. 1
解析
【分析】
本题直接分别求解PE、PF的长度较为困难，可运用整体思想结合等面积法解答：首先连接AP，将△ABC拆分为△ABP和△ACP两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△ABC的面积；再分别写出两个小三角形的面积表达式，代入已知的AB、AC长度和△ABC的面积，即可整体求出PE+PF的值。
【解析】
连接AP，
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
且 $PE⊥AB$，$PF⊥AC$，$AB=AC=2$，$S_{△ABC}=1$，
∴ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PE$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PF$，
代入面积关系得：
$1=\frac{1}{2}×2×PE+\frac{1}{2}×2×PF$，
化简得：$PE+PF=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积计算，等面积法，整体思想
【点评】
本题是整体思想在几何计算中的典型应用，通过拆分三角形建立面积等量关系，无需单独求解PE、PF的长度，简化了计算过程，核心是掌握等面积法的运用技巧。
【难度系数】
0.7
本题直接分别求解PE、PF的长度较为困难，可运用整体思想结合等面积法解答：首先连接AP，将△ABC拆分为△ABP和△ACP两个小三角形，两个小三角形的面积之和等于△ABC的面积；再分别写出两个小三角形的面积表达式，代入已知的AB、AC长度和△ABC的面积，即可整体求出PE+PF的值。
【解析】
连接AP，
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABP}+S_{△ACP}$，
且 $PE⊥AB$，$PF⊥AC$，$AB=AC=2$，$S_{△ABC}=1$，
∴ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PE$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PF$，
代入面积关系得：
$1=\frac{1}{2}×2×PE+\frac{1}{2}×2×PF$，
化简得：$PE+PF=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积计算，等面积法，整体思想
【点评】
本题是整体思想在几何计算中的典型应用，通过拆分三角形建立面积等量关系，无需单独求解PE、PF的长度，简化了计算过程，核心是掌握等面积法的运用技巧。
【难度系数】
0.7
3 如图，AD为$△ ABC$的中线，BE为$△ ABD$的中线.若$△ ABC$的面积为40，$BD=5$，则$△ BDE$的边BD上的高为
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解题时先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，先求出$△ ABD$的面积，再求出$△ BDE$的面积，最后结合三角形面积公式，已知底$BD$的长度，反向计算出$BD$边上的高即可。
【解析】
解：$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\because S_{△ ABC}=40$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×40=20$，
又$\because BE$是$△ ABD$的中线，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×20=10$，
设$△ BDE$的边$BD$上的高为$h$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}× BD× h = S_{△ BDE}$，
将$BD=5$，$S_{△ BDE}=10$代入得：
$\frac{1}{2}×5× h=10$，
解得$h=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心考查三角形中线的面积等分性质，熟练掌握中线与三角形面积的关系，结合面积公式即可轻松求解，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，先求出$△ ABD$的面积，再求出$△ BDE$的面积，最后结合三角形面积公式，已知底$BD$的长度，反向计算出$BD$边上的高即可。
【解析】
解：$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\because S_{△ ABC}=40$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×40=20$，
又$\because BE$是$△ ABD$的中线，
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×20=10$，
设$△ BDE$的边$BD$上的高为$h$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$\frac{1}{2}× BD× h = S_{△ BDE}$，
将$BD=5$，$S_{△ BDE}=10$代入得：
$\frac{1}{2}×5× h=10$，
解得$h=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础题型，核心考查三角形中线的面积等分性质，熟练掌握中线与三角形面积的关系，结合面积公式即可轻松求解，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
如图，BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数
答案
4. 80°
解析
【分析】
我们可以通过作辅助线连接BC，将已知角放到三角形中，结合三角形内角和定理逐步推导：首先在△BDC中求出∠DBC与∠DCB的和，再在△BGC中求出∠GBC与∠GCB的和，两者作差得到∠GBD与∠GCD的和；再根据角平分线的性质求出∠ABD与∠ACD的和，最后在△ABC中利用内角和定理计算∠A的度数。
【解析】
连接BC，步骤如下：
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 140° = 40°$
2. 在△BGC中，同理可得：
$∠ GBC + ∠ GCB = 180° - ∠ BGC = 180° - 110° = 70°$
3. 计算∠GBD与∠GCD的和：
$∠ GBD + ∠ GCD = (∠ GBC + ∠ GCB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 70° - 40° = 30°$
4. 因为BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，所以$∠ ABD=2∠ GBD$，$∠ ACD=2∠ GCD$，因此：
$∠ ABD + ∠ ACD = 2(∠ GBD + ∠ GCD) = 2×30° = 60°$
5. 计算△ABC中∠ABC与∠ACB的和：
$∠ ABC + ∠ ACB = (∠ ABD + ∠ ACD) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 60° + 40° = 100°$
6. 最后根据三角形内角和求∠A：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 100° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常规综合题，作辅助线连接BC构造三角形是解题的突破口，解题时需要准确梳理各个角之间的数量关系，结合角平分线性质和内角和定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
我们可以通过作辅助线连接BC，将已知角放到三角形中，结合三角形内角和定理逐步推导：首先在△BDC中求出∠DBC与∠DCB的和，再在△BGC中求出∠GBC与∠GCB的和，两者作差得到∠GBD与∠GCD的和；再根据角平分线的性质求出∠ABD与∠ACD的和，最后在△ABC中利用内角和定理计算∠A的度数。
【解析】
连接BC，步骤如下：
1. 在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 140° = 40°$
2. 在△BGC中，同理可得：
$∠ GBC + ∠ GCB = 180° - ∠ BGC = 180° - 110° = 70°$
3. 计算∠GBD与∠GCD的和：
$∠ GBD + ∠ GCD = (∠ GBC + ∠ GCB) - (∠ DBC + ∠ DCB) = 70° - 40° = 30°$
4. 因为BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，所以$∠ ABD=2∠ GBD$，$∠ ACD=2∠ GCD$，因此：
$∠ ABD + ∠ ACD = 2(∠ GBD + ∠ GCD) = 2×30° = 60°$
5. 计算△ABC中∠ABC与∠ACB的和：
$∠ ABC + ∠ ACB = (∠ ABD + ∠ ACD) + (∠ DBC + ∠ DCB) = 60° + 40° = 100°$
6. 最后根据三角形内角和求∠A：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 100° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常规综合题，作辅助线连接BC构造三角形是解题的突破口，解题时需要准确梳理各个角之间的数量关系，结合角平分线性质和内角和定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
5 如图,点$A,D,C,F$在同一条直线上,$BC// EF$,$AD=CF$,添加下列一个条件:① $BC=EF$;② $AB=DE$;③ $∠ A=∠ F$;④ $AB// DE$.其中,能使$△ ABC≌△ DEF$的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. B
解析
【分析】
首先推导已知条件隐含的等量关系：由AD=CF，等式两边同时加DC可得AC=DF；再由BC//EF，根据平行线的同位角相等可得∠ACB=∠F。此时已经得到一组对应边相等、一组对应角相等，接下来只需逐一判断四个添加的条件是否满足全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
第一步：推导隐含条件
∵点A,D,C,F在同一直线上，AD=CF
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF
∵BC//EF
∴∠ACB=∠F（两直线平行，同位角相等）
第二步：逐个判断添加条件
①添加BC=EF：
此时有AC=DF，∠ACB=∠F，BC=EF，满足SAS判定定理，可证明△ABC≌△DEF，符合要求；
②添加AB=DE：
此时条件为AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠F，属于SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
③添加∠A=∠F：
已知∠ACB=∠F，可得∠A=∠ACB，仅能得到△ABC是等腰三角形，无法推出△ABC和△DEF全等，不符合要求；
④添加AB//DE：
由AB//DE可得∠A=∠EDF（两直线平行，同位角相等），此时有∠A=∠EDF，AC=DF，∠ACB=∠F，满足ASA判定定理，可证明△ABC≌△DEF，符合要求。
综上，能使△ABC≌△DEF的条件有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题需要先结合已知条件推出隐含的边、角相等关系，再结合全等三角形的判定定理逐一验证添加的条件，解题时需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7
首先推导已知条件隐含的等量关系：由AD=CF，等式两边同时加DC可得AC=DF；再由BC//EF，根据平行线的同位角相等可得∠ACB=∠F。此时已经得到一组对应边相等、一组对应角相等，接下来只需逐一判断四个添加的条件是否满足全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
第一步：推导隐含条件
∵点A,D,C,F在同一直线上，AD=CF
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF
∵BC//EF
∴∠ACB=∠F（两直线平行，同位角相等）
第二步：逐个判断添加条件
①添加BC=EF：
此时有AC=DF，∠ACB=∠F，BC=EF，满足SAS判定定理，可证明△ABC≌△DEF，符合要求；
②添加AB=DE：
此时条件为AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠F，属于SSA，无法判定三角形全等，不符合要求；
③添加∠A=∠F：
已知∠ACB=∠F，可得∠A=∠ACB，仅能得到△ABC是等腰三角形，无法推出△ABC和△DEF全等，不符合要求；
④添加AB//DE：
由AB//DE可得∠A=∠EDF（两直线平行，同位角相等），此时有∠A=∠EDF，AC=DF，∠ACB=∠F，满足ASA判定定理，可证明△ABC≌△DEF，符合要求。
综上，能使△ABC≌△DEF的条件有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题需要先结合已知条件推出隐含的边、角相等关系，再结合全等三角形的判定定理逐一验证添加的条件，解题时需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7
6 如图,在$Rt△ ACD$和$Rt△ BCE$中,$AD=BE$,$DC=EC$,则下列结论不一定正确的是 （
A.$Rt△ ACD≌ Rt△ BCE$
B.$OA=OB$
C.E是AC的中点
D.$AE=BD$
C
）A.$Rt△ ACD≌ Rt△ BCE$
B.$OA=OB$
C.E是AC的中点
D.$AE=BD$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先从已知的两个直角三角形边相等的条件入手，首先利用直角三角形全等的判定定理判断选项A是否正确；再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，依次推导其余选项的结论是否成立，注意区分“一定成立”和“不一定成立”的结论。
第一步：先判断Rt△ACD和Rt△BCE是否全等，已知两个都是直角三角形，斜边AD=BE，一组直角边DC=EC，符合HL判定条件，可证全等。
第二步：由全等得到对应边AC=BC，对应角∠A=∠B，结合DC=EC，可推出AE=BD，判断D选项；再通过角角边证明△AOE和△BOD全等，判断B选项；最后看C选项，题干没有给出能证明E是AC中点的相关条件，无法推出该结论。
【解析】
解：
1. 判断选项A：
∵△ACD和△BCE都是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ DC=EC\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项D：
由Rt△ACD≌Rt△BCE可得：AC=BC，
又
∵DC=EC，
∴$AC - EC = BC - DC$，即$AE=BD$，故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项B：
在△AOE和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ B（全等三角形对应角相等）\\ ∠ AOE=∠ BOD（对顶角相等）\\ AE=BD（已证）\end{array} $
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴$OA=OB$，故B选项结论正确，不符合题意。
4. 判断选项C：
题干没有给出$AE=EC$的相关条件，无法证明E是AC的中点，该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题时需结合已知条件逐步推导，注意题干要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题不仔细出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两个直角三角形边相等的条件入手，首先利用直角三角形全等的判定定理判断选项A是否正确；再结合全等三角形对应边、对应角相等的性质，依次推导其余选项的结论是否成立，注意区分“一定成立”和“不一定成立”的结论。
第一步：先判断Rt△ACD和Rt△BCE是否全等，已知两个都是直角三角形，斜边AD=BE，一组直角边DC=EC，符合HL判定条件，可证全等。
第二步：由全等得到对应边AC=BC，对应角∠A=∠B，结合DC=EC，可推出AE=BD，判断D选项；再通过角角边证明△AOE和△BOD全等，判断B选项；最后看C选项，题干没有给出能证明E是AC中点的相关条件，无法推出该结论。
【解析】
解：
1. 判断选项A：
∵△ACD和△BCE都是直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ DC=EC\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项D：
由Rt△ACD≌Rt△BCE可得：AC=BC，
又
∵DC=EC，
∴$AC - EC = BC - DC$，即$AE=BD$，故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项B：
在△AOE和△BOD中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ B（全等三角形对应角相等）\\ ∠ AOE=∠ BOD（对顶角相等）\\ AE=BD（已证）\end{array} $
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴$OA=OB$，故B选项结论正确，不符合题意。
4. 判断选项C：
题干没有给出$AE=EC$的相关条件，无法证明E是AC的中点，该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题时需结合已知条件逐步推导，注意题干要求选择“不一定正确”的选项，避免因审题不仔细出错。
【难度系数】
0.7
7 新考向 条件开放题 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,$CE\bot AB$,垂足分别为$D$,$E$,$AD$,$CE$交于点$H$,请你添加一个适当的条件:________,使$△ AEH≌△ CEB$.
答案
7. 答案不唯一,如$AH=CB$
解析
【分析】
要使$△ AEH≌△ CEB$，先从已知条件推导已有的相等角：由$AD\bot BC$、$CE\bot AB$可得两个直角相等，再根据同角的余角相等可推出$∠ EAH=∠ ECB$，此时两个三角形已有两组角对应相等，结合全等三角形的判定定理，只需补充一组对应边相等即可。
【解析】
已知$AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$，
$\because ∠ EAH+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ EAH=∠ ECB$。
此时$△ AEH$和$△ CEB$已有两组对应角相等，添加一组对应边相等即可判定全等：
例如添加条件$AH=CB$，在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEH=∠ CEB\\∠ EAH=∠ ECB\\AH=CB\end{array} $
$\therefore △ AEH≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
也可添加$AE=CE$（ASA判定）、$EH=EB$（AAS判定）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AH=CB$
【知识点】
全等三角形的判定；同角的余角相等；垂直的定义
【点评】
本题属于条件开放型题目，解题时需先从已知条件入手，推导得到隐含的边、角相等关系，再结合全等判定的要求补充缺少的条件，考查对全等判定定理的灵活运用能力，答案合理即可。
【难度系数】
0.7
要使$△ AEH≌△ CEB$，先从已知条件推导已有的相等角：由$AD\bot BC$、$CE\bot AB$可得两个直角相等，再根据同角的余角相等可推出$∠ EAH=∠ ECB$，此时两个三角形已有两组角对应相等，结合全等三角形的判定定理，只需补充一组对应边相等即可。
【解析】
已知$AD\bot BC$，$CE\bot AB$，
$\therefore ∠ AEH=∠ CEB=∠ ADB=90°$，
$\because ∠ EAH+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ EAH=∠ ECB$。
此时$△ AEH$和$△ CEB$已有两组对应角相等，添加一组对应边相等即可判定全等：
例如添加条件$AH=CB$，在$△ AEH$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEH=∠ CEB\\∠ EAH=∠ ECB\\AH=CB\end{array} $
$\therefore △ AEH≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
也可添加$AE=CE$（ASA判定）、$EH=EB$（AAS判定）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AH=CB$
【知识点】
全等三角形的判定；同角的余角相等；垂直的定义
【点评】
本题属于条件开放型题目，解题时需先从已知条件入手，推导得到隐含的边、角相等关系，再结合全等判定的要求补充缺少的条件，考查对全等判定定理的灵活运用能力，答案合理即可。
【难度系数】
0.7
8 [2025姑苏区期中]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$边上，且$BE=CF$，$BD=CE$。
（1）求证：$△ DEF$是等腰三角形；
（2）当$∠ A=40°$时，求$∠ DEF$的度数。
（1）求证：$△ DEF$是等腰三角形；
（2）当$∠ A=40°$时，求$∠ DEF$的度数。
答案
8. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$. 在$△ DBE$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ B=∠ C,\therefore △ DBE ≌ △ ECF\ (\mathrm{SAS}),\therefore DE = EF,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形
（2）如图，$\because △ DBE≌△ ECF$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3.\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ B=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°,\therefore ∠ 1+∠ 2=110°,\therefore ∠ 3+∠ 2=110°$，
$\therefore ∠ DEF=70°$
解析
【分析】
（1）要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它的两条边相等，观察图形可尝试证明DE=EF，需证△DBE≌△ECF。首先由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”可得∠B=∠C，再结合已知的BE=CF、BD=CE，满足SAS全等判定条件，证得全等后即可推出DE=EF，从而得证△DEF是等腰三角形。
（2）求∠DEF的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，可得∠1=∠3。先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°，结合三角形内角和定理算出底角∠B的度数，再在△DBE中利用内角和得到∠1+∠2的度数，将∠1替换为∠3后可得∠2+∠3的度数，最后结合平角为180°，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
（1）证明：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠B=∠C$。
在$△DBE$ 和 $△ECF$ 中：
$\begin{cases} BE=CF（已知）\\ ∠B=∠C（已证）\\ BD=CE（已知） \end{cases}$
$\therefore △DBE ≌ △ECF\ (\mathrm{SAS})$
$\therefore DE = EF$（全等三角形对应边相等）
$\therefore △DEF$ 是等腰三角形。
（2）解：$\because △DBE≌△ECF$，$\therefore ∠1=∠3$（全等三角形对应角相等）。
在$△ABC$中，$∠A+∠B+∠C=180°$，又$\because AB=AC,∠A=40°$，
$\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
在$△DBE$中，$∠1+∠2+∠B=180°$，$\therefore ∠1+∠2=180°-70°=110°$。
将$∠1$替换为$∠3$，得$∠3+∠2=110°$。
$\because ∠2+∠DEF+∠3=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠DEF=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70°$。
【答案】
8. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$. 在$△ DBE$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ B=∠ C,\therefore △ DBE ≌ △ ECF\ (\mathrm{SAS}),\therefore DE = EF,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形
（2）如图，$\because △ DBE≌△ ECF$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3.\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ B=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°,\therefore ∠ 1+∠ 2=110°,\therefore ∠ 3+∠ 2=110°$，
$\therefore ∠ DEF=70°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，将等腰三角形、全等三角形的核心知识点结合考查，解题关键是准确找到全等三角形，利用全等性质完成边角的转化，能有效检验学生对基础定理的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△DEF是等腰三角形，核心是证明它的两条边相等，观察图形可尝试证明DE=EF，需证△DBE≌△ECF。首先由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”可得∠B=∠C，再结合已知的BE=CF、BD=CE，满足SAS全等判定条件，证得全等后即可推出DE=EF，从而得证△DEF是等腰三角形。
（2）求∠DEF的度数时，首先利用全等三角形对应角相等的性质，可得∠1=∠3。先根据等腰△ABC的顶角∠A=40°，结合三角形内角和定理算出底角∠B的度数，再在△DBE中利用内角和得到∠1+∠2的度数，将∠1替换为∠3后可得∠2+∠3的度数，最后结合平角为180°，即可求出∠DEF的度数。
【解析】
（1）证明：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠B=∠C$。
在$△DBE$ 和 $△ECF$ 中：
$\begin{cases} BE=CF（已知）\\ ∠B=∠C（已证）\\ BD=CE（已知） \end{cases}$
$\therefore △DBE ≌ △ECF\ (\mathrm{SAS})$
$\therefore DE = EF$（全等三角形对应边相等）
$\therefore △DEF$ 是等腰三角形。
（2）解：$\because △DBE≌△ECF$，$\therefore ∠1=∠3$（全等三角形对应角相等）。
在$△ABC$中，$∠A+∠B+∠C=180°$，又$\because AB=AC,∠A=40°$，
$\therefore ∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$。
在$△DBE$中，$∠1+∠2+∠B=180°$，$\therefore ∠1+∠2=180°-70°=110°$。
将$∠1$替换为$∠3$，得$∠3+∠2=110°$。
$\because ∠2+∠DEF+∠3=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠DEF=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70°$。
【答案】
8. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$. 在$△ DBE$ 和 $△ ECF$ 中，
$\begin{cases} BE=CF,\\ ∠ B=∠ C,\therefore △ DBE ≌ △ ECF\ (\mathrm{SAS}),\therefore DE = EF,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DEF$ 是等腰三角形
（2）如图，$\because △ DBE≌△ ECF$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3.\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,\therefore ∠ B=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°,\therefore ∠ 1+∠ 2=110°,\therefore ∠ 3+∠ 2=110°$，
$\therefore ∠ DEF=70°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，将等腰三角形、全等三角形的核心知识点结合考查，解题关键是准确找到全等三角形，利用全等性质完成边角的转化，能有效检验学生对基础定理的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
