登录
8 [2025 陕西]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=20°$,$CD$为$AB$边上的中线,$DE ⊥ AC$于点$E$,则图中与$∠ A$互余的角共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（第8题）
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（第8题）答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确互余的定义：两个角的度数和为90°，则这两个角互余。解题思路分为三步：第一步先从已知的直角三角形中，直接找出与∠A相加为90°的角；第二步利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，通过等角转换得到新的与∠A互余的角；第三步根据垂直关系判定平行线，结合平行线的性质找到最后一个与∠A互余的角，最后统计数量即可。
【解析】
根据互余的定义：若两个角的和为$90°$，则这两个角互余，逐一推导：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ B$与$∠ A$互余；
2. 已知$DE ⊥ AC$，即$∠ AED=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$，$∠ ADE$与$∠ A$互余；
3. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，$CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$的中线，因此$CD=BD$，可得$∠ B = ∠ BCD$，代入$∠ A + ∠ B=90°$，得$∠ A + ∠ BCD=90°$，$∠ BCD$与$∠ A$互余；
4. 因为$DE ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，垂直于同一直线的两条直线平行，所以$DE // BC$，根据平行线内错角相等可得$∠ CDE = ∠ BCD$，因此$∠ A + ∠ CDE= ∠ A + ∠ BCD=90°$，$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角共有4个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，直角三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础典型题，解题的关键是结合图形特性，不要遗漏由等角转换得到的互余角，能有效考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确互余的定义：两个角的度数和为90°，则这两个角互余。解题思路分为三步：第一步先从已知的直角三角形中，直接找出与∠A相加为90°的角；第二步利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，通过等角转换得到新的与∠A互余的角；第三步根据垂直关系判定平行线，结合平行线的性质找到最后一个与∠A互余的角，最后统计数量即可。
【解析】
根据互余的定义：若两个角的和为$90°$，则这两个角互余，逐一推导：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ B$与$∠ A$互余；
2. 已知$DE ⊥ AC$，即$∠ AED=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$，$∠ ADE$与$∠ A$互余；
3. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，$CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$的中线，因此$CD=BD$，可得$∠ B = ∠ BCD$，代入$∠ A + ∠ B=90°$，得$∠ A + ∠ BCD=90°$，$∠ BCD$与$∠ A$互余；
4. 因为$DE ⊥ AC$，$BC ⊥ AC$，垂直于同一直线的两条直线平行，所以$DE // BC$，根据平行线内错角相等可得$∠ CDE = ∠ BCD$，因此$∠ A + ∠ CDE= ∠ A + ∠ BCD=90°$，$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角共有4个。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，直角三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础典型题，解题的关键是结合图形特性，不要遗漏由等角转换得到的互余角，能有效考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9 [2025苏州工业园区段考]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=30°$,D是AB的中点,$AB+BC=12\ \mathrm{cm}$,则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
4
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，且有一个内角为30°，可利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到BC和AB的数量关系，再结合AB+BC=12cm求出AB的长度；最后根据D是AB中点，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可求出CD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
又已知$AB+BC=12\ \mathrm{cm}$，将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：
$AB+\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，
即$\frac{3}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=8\ \mathrm{cm}$。
∵D是AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握直角三角形的两个特殊性质，先求出斜边长度，再推导中线长度，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，且有一个内角为30°，可利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到BC和AB的数量关系，再结合AB+BC=12cm求出AB的长度；最后根据D是AB中点，利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”即可求出CD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
又已知$AB+BC=12\ \mathrm{cm}$，将$BC=\frac{1}{2}AB$代入得：
$AB+\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，
即$\frac{3}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，解得$AB=8\ \mathrm{cm}$。
∵D是AB的中点，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角的性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握直角三角形的两个特殊性质，先求出斜边长度，再推导中线长度，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
10 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$D$是$AB$的中点.现将$△ BCD$沿$BA$方向平移1 cm,得到$△ EFG$,$FG$交$AC$于点$H$,则$GH$的长为
3
cm.答案
3
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形斜边中线的性质求出AD、CD的长度；再结合平移的性质得到FG与CD的位置关系和平移的距离，进而求出AG的长度；最后根据平行线的性质和等腰三角形的判定推导出GH与AG相等，即可求出GH的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=8cm，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
∴∠A=∠ACD。
∵△BCD沿BA方向平移1cm得到△EFG，
∴FG//CD，平移距离$GD=1\mathrm{cm}$，
∴AG=AD-GD=4-1=3cm，∠AHG=∠ACD。
又
∵∠A=∠ACD，
∴∠A=∠AHG，
∴GH=AG=3cm。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；平移的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形、平移、等腰三角形的知识点结合考查，解题的核心是熟练掌握各性质定理，准确找到线段间的等量关系，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直角三角形斜边中线的性质求出AD、CD的长度；再结合平移的性质得到FG与CD的位置关系和平移的距离，进而求出AG的长度；最后根据平行线的性质和等腰三角形的判定推导出GH与AG相等，即可求出GH的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=8cm，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
∴∠A=∠ACD。
∵△BCD沿BA方向平移1cm得到△EFG，
∴FG//CD，平移距离$GD=1\mathrm{cm}$，
∴AG=AD-GD=4-1=3cm，∠AHG=∠ACD。
又
∵∠A=∠ACD，
∴∠A=∠AHG，
∴GH=AG=3cm。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；平移的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将直角三角形、平移、等腰三角形的知识点结合考查，解题的核心是熟练掌握各性质定理，准确找到线段间的等量关系，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$△ ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，$BE$是边$AC$上的中线，且$BD=CE$. 求证：
（1）点$D$在$BE$的垂直平分线上；
（2）$∠ BEC=3∠ ABE$.
（1）点$D$在$BE$的垂直平分线上；
（2）$∠ BEC=3∠ ABE$.
答案
(1) 如图,连接 $DE. \because CD$ 是边 $AB$ 上的高,$\therefore ∠ ADC=90°. \because BE$ 是边 $AC$ 上的中线,$\therefore AE=CE, \therefore DE$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 斜边上的中线,$\therefore DE=CE=AE. \because BD=CE, \therefore BD=DE, \therefore$ 点 $D$ 在 $BE$ 的垂直平分线上
(2) $\because DE=AE, \therefore ∠ A=∠ ADE. \because BD=DE, \therefore ∠ DBE=∠ DEB. \because ∠ ADE$ 是 $△ DBE$ 的外角,$\therefore ∠ ADE=∠ DBE+∠ DEB=2∠ DBE, \therefore ∠ A=2∠ ABE. \because ∠ BEC$ 是 $△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE, \therefore ∠ BEC=3∠ ABE$
解析
【分析】
（1）要证明点D在BE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证BD=DE即可。已知BD=CE，因此只需证DE=CE：由CD是AB边上的高可得△ADC是直角三角形，BE是AC中线说明E是AC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出DE=CE，进而得到BD=DE，完成第一问证明。
（2）要证明∠BEC=3∠ABE，可通过等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质进行角度转化：先由DE=AE得∠A=∠ADE，由BD=DE得∠ABE=∠DEB，再结合∠ADE是△BDE的外角，可得∠ADE=2∠ABE，即∠A=2∠ABE，最后根据∠BEC是△ABE的外角，代入即可得证。
【解析】
(1) 连接辅助线DE：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，
∵ BE是AC边上的中线，
∴ E为AC中点，DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴ DE=CE=AE，
又
∵ 已知BD=CE，
∴ BD=DE，根据线段垂直平分线的判定，可知点D在BE的垂直平分线上。
(2) 角度转化推导：
∵ DE=AE，
∴ ∠A=∠ADE，
∵ BD=DE，
∴ ∠DBE=∠DEB，即∠ABE=∠DEB，
∵ ∠ADE是△DBE的外角，
∴ ∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE=2∠ABE，
即∠A=2∠ABE，
又
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC=∠A+∠ABE=2∠ABE+∠ABE=3∠ABE，原式得证。
【答案】
(1) 如图,连接 $DE. \because CD$ 是边 $AB$ 上的高,$\therefore ∠ ADC=90°. \because BE$ 是边 $AC$ 上的中线,$\therefore AE=CE, \therefore DE$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 斜边上的中线,$\therefore DE=CE=AE. \because BD=CE, \therefore BD=DE, \therefore$ 点 $D$ 在 $BE$ 的垂直平分线上
(2) $\because DE=AE, \therefore ∠ A=∠ ADE. \because BD=DE, \therefore ∠ DBE=∠ DEB. \because ∠ ADE$ 是 $△ DBE$ 的外角,$\therefore ∠ ADE=∠ DBE+∠ DEB=2∠ DBE, \therefore ∠ A=2∠ ABE. \because ∠ BEC$ 是 $△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE, \therefore ∠ BEC=3∠ ABE$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，解题的关键是正确添加辅助线DE，通过边角之间的等量转化完成证明，有助于提升几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明点D在BE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证BD=DE即可。已知BD=CE，因此只需证DE=CE：由CD是AB边上的高可得△ADC是直角三角形，BE是AC中线说明E是AC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可推出DE=CE，进而得到BD=DE，完成第一问证明。
（2）要证明∠BEC=3∠ABE，可通过等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质进行角度转化：先由DE=AE得∠A=∠ADE，由BD=DE得∠ABE=∠DEB，再结合∠ADE是△BDE的外角，可得∠ADE=2∠ABE，即∠A=2∠ABE，最后根据∠BEC是△ABE的外角，代入即可得证。
【解析】
(1) 连接辅助线DE：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=90°，△ADC为直角三角形，
∵ BE是AC边上的中线，
∴ E为AC中点，DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴ DE=CE=AE，
又
∵ 已知BD=CE，
∴ BD=DE，根据线段垂直平分线的判定，可知点D在BE的垂直平分线上。
(2) 角度转化推导：
∵ DE=AE，
∴ ∠A=∠ADE，
∵ BD=DE，
∴ ∠DBE=∠DEB，即∠ABE=∠DEB，
∵ ∠ADE是△DBE的外角，
∴ ∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE=2∠ABE，
即∠A=2∠ABE，
又
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC=∠A+∠ABE=2∠ABE+∠ABE=3∠ABE，原式得证。
【答案】
(1) 如图,连接 $DE. \because CD$ 是边 $AB$ 上的高,$\therefore ∠ ADC=90°. \because BE$ 是边 $AC$ 上的中线,$\therefore AE=CE, \therefore DE$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 斜边上的中线,$\therefore DE=CE=AE. \because BD=CE, \therefore BD=DE, \therefore$ 点 $D$ 在 $BE$ 的垂直平分线上
(2) $\because DE=AE, \therefore ∠ A=∠ ADE. \because BD=DE, \therefore ∠ DBE=∠ DEB. \because ∠ ADE$ 是 $△ DBE$ 的外角,$\therefore ∠ ADE=∠ DBE+∠ DEB=2∠ DBE, \therefore ∠ A=2∠ ABE. \because ∠ BEC$ 是 $△ ABE$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE, \therefore ∠ BEC=3∠ ABE$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，解题的关键是正确添加辅助线DE，通过边角之间的等量转化完成证明，有助于提升几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$.
（1）尺规作图：① 作线段$AC$的垂直平分线$l$，交$AC$于点$O$；② 连接$BO$并延长，在$BO$的延长线上截取$DO$，使得$DO=BO$；③ 连接$DA$，$DC$（保留作图痕迹，标明字母）.
（2）试判断$AD$，$CD$的位置关系，并说明理由.
（1）尺规作图：① 作线段$AC$的垂直平分线$l$，交$AC$于点$O$；② 连接$BO$并延长，在$BO$的延长线上截取$DO$，使得$DO=BO$；③ 连接$DA$，$DC$（保留作图痕迹，标明字母）.
（2）试判断$AD$，$CD$的位置关系，并说明理由.
答案
(1) 如图所示
(2) $AD⊥ CD$ 理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段$AC, \therefore AO=CO.$ 又$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°, \therefore BO=\frac{1}{2}AC,$即 $BO=AO=CO. \because DO=BO, \therefore DO=AO=CO, \therefore ∠ OAD=∠ ODA, ∠ OCD=∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°, \therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}×180°=90°,$即 $∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$
解析
【分析】
（1）作图思路：作线段AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线即为AC的垂直平分线$l$，与AC的交点记为O；再延长BO，以O为圆心、BO长为半径画弧，和BO延长线的交点即为D，最后连接DA、DC即可完成作图。
（2）判断位置关系的解题思路：要判断AD与CD的位置关系，可通过证明$∠ ADC=90°$推导垂直结论。首先由垂直平分线的性质得$AO=CO$，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$BO=AO=CO$，结合$DO=BO$的条件，可推出$AO=CO=DO$，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可证明$∠ ADC=90°$，得到垂直结论。
【解析】
（1）尺规作图步骤：
① 分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线$l$，交AC于点O；
② 延长BO，以O为圆心，BO的长为半径画弧，交BO的延长线于点D，满足$DO=BO$；
③ 依次连接DA、DC，作图完成。
（2）$AD⊥ CD$，理由如下：
$\because$ 直线$l$垂直平分线段$AC$，$\therefore AO=CO$。
又$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，O是AC中点，$\therefore BO=\frac{1}{2}AC$，即$BO=AO=CO$。
$\because DO=BO$，$\therefore DO=AO=CO$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$，$∠ OCD=∠ ODC$。
$\because △ ADC$的内角和为$180°$，
$\therefore ∠ OAD+∠ OCD+∠ ODA+∠ ODC=180°$，
代入等量关系得$2(∠ ODA+∠ ODC)=180°$，
$\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ CD$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $AD⊥ CD$，理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段$AC, \therefore AO=CO.$ 又$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°, \therefore BO=\frac{1}{2}AC,$即 $BO=AO=CO. \because DO=BO, \therefore DO=AO=CO, \therefore ∠ OAD=∠ ODA, ∠ OCD=∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°, \therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}×180°=90°,$即 $∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$
【知识点】
1. 垂直平分线尺规作图
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基本作图的动手操作能力，又考查了对直角三角形、等腰三角形性质以及三角形内角和定理的综合运用能力，属于基础几何的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：作线段AC的垂直平分线时，分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线即为AC的垂直平分线$l$，与AC的交点记为O；再延长BO，以O为圆心、BO长为半径画弧，和BO延长线的交点即为D，最后连接DA、DC即可完成作图。
（2）判断位置关系的解题思路：要判断AD与CD的位置关系，可通过证明$∠ ADC=90°$推导垂直结论。首先由垂直平分线的性质得$AO=CO$，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到$BO=AO=CO$，结合$DO=BO$的条件，可推出$AO=CO=DO$，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，即可证明$∠ ADC=90°$，得到垂直结论。
【解析】
（1）尺规作图步骤：
① 分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线$l$，交AC于点O；
② 延长BO，以O为圆心，BO的长为半径画弧，交BO的延长线于点D，满足$DO=BO$；
③ 依次连接DA、DC，作图完成。
（2）$AD⊥ CD$，理由如下：
$\because$ 直线$l$垂直平分线段$AC$，$\therefore AO=CO$。
又$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，O是AC中点，$\therefore BO=\frac{1}{2}AC$，即$BO=AO=CO$。
$\because DO=BO$，$\therefore DO=AO=CO$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$，$∠ OCD=∠ ODC$。
$\because △ ADC$的内角和为$180°$，
$\therefore ∠ OAD+∠ OCD+∠ ODA+∠ ODC=180°$，
代入等量关系得$2(∠ ODA+∠ ODC)=180°$，
$\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD⊥ CD$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $AD⊥ CD$，理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段$AC, \therefore AO=CO.$ 又$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°, \therefore BO=\frac{1}{2}AC,$即 $BO=AO=CO. \because DO=BO, \therefore DO=AO=CO, \therefore ∠ OAD=∠ ODA, ∠ OCD=∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为 $180°, \therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}×180°=90°,$即 $∠ ADC=90°, \therefore AD⊥ CD.$
【知识点】
1. 垂直平分线尺规作图
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何证明相结合，既考查了基本作图的动手操作能力，又考查了对直角三角形、等腰三角形性质以及三角形内角和定理的综合运用能力，属于基础几何的典型题型。
【难度系数】
0.7
