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1 新情境生活实际 如图,一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1 cm,7 cm,则CD的长为 （
A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
B
）A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）答案
B
解析
【分析】
解题时首先从题干已知条件入手：①△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；②D是斜边AB的中点。由此可以联想到直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此要求CD的长，只需要先求出斜边AB的长度即可。我们可以通过刻度尺上A、B对应的刻度差计算得到AB的长度，再代入性质即可求出CD。
【解析】
首先计算斜边AB的长度：
已知点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此AB = 7cm - 1cm = 6cm。
∵ ∠ACB=90°，
∴ △ACB是直角三角形，AB为直角三角形的斜边。
又
∵ D是AB的中点，CD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ CD = ½AB = ½×6cm = 3cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；长度的测量计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，解题关键是熟记直角三角形斜边中线的性质，先通过刻度差求出斜边长度，再代入性质计算即可，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题干已知条件入手：①△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；②D是斜边AB的中点。由此可以联想到直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此要求CD的长，只需要先求出斜边AB的长度即可。我们可以通过刻度尺上A、B对应的刻度差计算得到AB的长度，再代入性质即可求出CD。
【解析】
首先计算斜边AB的长度：
已知点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此AB = 7cm - 1cm = 6cm。
∵ ∠ACB=90°，
∴ △ACB是直角三角形，AB为直角三角形的斜边。
又
∵ D是AB的中点，CD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ CD = ½AB = ½×6cm = 3cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；长度的测量计算
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，解题关键是熟记直角三角形斜边中线的性质，先通过刻度差求出斜边长度，再代入性质计算即可，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2 如图,在$△ ABC$中,$BE ⊥ AC$于点$E$,$CF ⊥ AB$于点$F$,$M$为$BC$的中点,连接$EF$,$EM$,$FM$.若$EF=5$,$BC=8$,则$△ EFM$的周长是（
A.21
B.18
C.15
D.13
D
）A.21
B.18
C.15
D.13
答案
D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 首先根据BE⊥AC、CF⊥AB的垂直条件，可得△BEC和△BFC都是直角三角形，两个三角形的公共斜边为BC；2. 已知M是BC中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可推出FM和EM的长度均等于BC的一半；3. △EFM的周长为三条边长度之和，代入已知的EF、BC的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，△BEC为直角三角形，
又
∵M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$EM=\frac{1}{2}BC$，
同理，CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，△BFC为直角三角形，M是BC中点，
$FM=\frac{1}{2}BC$，
已知BC=8，
∴$EM=FM=\frac{1}{2}×8=4$，
又已知EF=5，
∴△EFM的周长$=EF+EM+FM=5+4+4=13$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用类题目，核心考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是从题目的垂直条件和中点条件中，识别出适用性质的直角三角形，快速求出未知边的长度后即可计算周长，掌握对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 首先根据BE⊥AC、CF⊥AB的垂直条件，可得△BEC和△BFC都是直角三角形，两个三角形的公共斜边为BC；2. 已知M是BC中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可推出FM和EM的长度均等于BC的一半；3. △EFM的周长为三条边长度之和，代入已知的EF、BC的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，△BEC为直角三角形，
又
∵M是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$EM=\frac{1}{2}BC$，
同理，CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，△BFC为直角三角形，M是BC中点，
$FM=\frac{1}{2}BC$，
已知BC=8，
∴$EM=FM=\frac{1}{2}×8=4$，
又已知EF=5，
∴△EFM的周长$=EF+EM+FM=5+4+4=13$。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何应用类题目，核心考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是从题目的垂直条件和中点条件中，识别出适用性质的直角三角形，快速求出未知边的长度后即可计算周长，掌握对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3 [2025相城区段考]若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6 cm，8 cm，则它的面积是
48
cm²。答案
48
解析
【分析】
解题思路：首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用该性质先求出斜边的总长度；再结合三角形面积计算公式，把斜边当作底，已知的斜边上的高当作对应高，代入公式就能算出面积。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长为8 cm，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，
∴该直角三角形的斜边长为 $2×8=16\,\mathrm{cm}$，
又已知斜边上的高为6 cm，
∴三角形的面积 $S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×16×6=48\,\mathrm{cm}^2$。
【答案】
48
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础性质应用题，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，先求出斜边长度再代入面积公式计算，是对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用该性质先求出斜边的总长度；再结合三角形面积计算公式，把斜边当作底，已知的斜边上的高当作对应高，代入公式就能算出面积。
【解析】
解：
∵直角三角形斜边上的中线长为8 cm，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，
∴该直角三角形的斜边长为 $2×8=16\,\mathrm{cm}$，
又已知斜边上的高为6 cm，
∴三角形的面积 $S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}=\frac{1}{2}×16×6=48\,\mathrm{cm}^2$。
【答案】
48
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础性质应用题，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，先求出斜边长度再代入面积公式计算，是对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.9
4 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=60°$,$BD\bot AC$于点$D$,$G$为$BC$的中点,点$E$在$BC$的延长线上,且$CE=CD$,连接$DE$,$DG$.
(1)$∠ E$的度数为________,$∠ BDE$的度数为________;
(2)图中的等边三角形共有________个,分别是________.
(1)$∠ E$的度数为________,$∠ BDE$的度数为________;
(2)图中的等边三角形共有________个,分别是________.
答案
(1) $30°$ $120°$
(2) $2$ $△ ABC,△ DGC$
(2) $2$ $△ ABC,△ DGC$
解析
【分析】
先根据AB=AC且∠A=60°，判定△ABC为等边三角形，得到∠ACB=60°；利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形外角的性质，即可求出∠E的度数；再结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，相加即可得到∠BDE的度数。第二问先确定已证的等边△ABC，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到DG=GC，结合∠ACB=60°，即可判定△DGC为等边三角形，统计个数即可。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°。
(2) ①由(1)已证△ABC是等边三角形；
②
∵BD⊥AC，G为BC的中点，
∴在Rt△BDC中，DG是斜边BC的中线，
∴DG=GC=$\frac{1}{2}$BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
又
∵∠ACB=60°，
∴△DGC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
其余三角形均不满足等边三角形的判定条件，故共有2个等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$，$\boldsymbol{120°}$
(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{△ ABC、△ DGC}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等边三角形、直角三角形、等腰三角形的性质和判定结合考查，解题的突破口是先判定△ABC为等边三角形，再结合已知条件逐步推导其余结论。
【难度系数】
0.75
先根据AB=AC且∠A=60°，判定△ABC为等边三角形，得到∠ACB=60°；利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形外角的性质，即可求出∠E的度数；再结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，相加即可得到∠BDE的度数。第二问先确定已证的等边△ABC，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到DG=GC，结合∠ACB=60°，即可判定△DGC为等边三角形，统计个数即可。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°。
(2) ①由(1)已证△ABC是等边三角形；
②
∵BD⊥AC，G为BC的中点，
∴在Rt△BDC中，DG是斜边BC的中线，
∴DG=GC=$\frac{1}{2}$BC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
又
∵∠ACB=60°，
∴△DGC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
其余三角形均不满足等边三角形的判定条件，故共有2个等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$，$\boldsymbol{120°}$
(2) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{△ ABC、△ DGC}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等边三角形、直角三角形、等腰三角形的性质和判定结合考查，解题的突破口是先判定△ABC为等边三角形，再结合已知条件逐步推导其余结论。
【难度系数】
0.75
5 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是边AB的中点,连接CD,将$△ ACD$沿CD折叠,点A落在点E处,此时恰好有$CE⊥ AB$,则$∠ E$的度数为
30°
.答案
$30°$
【解析】$\because ∠ ACB=90°,D$是边$AB$的中点,$\therefore ∠ A+∠ B=90°, CD = AD, \therefore ∠ A = ∠ ACD. \because CD$ 是折痕,$\therefore ∠ ACD = ∠ DCE, ∠ A = ∠ E. \because CE ⊥ AB, \therefore ∠ BCE + ∠ B=90°, \therefore ∠ BCE = ∠ A, \therefore ∠ BCE = ∠ ACD = ∠ DCE = \frac{1}{3}∠ ACB=30°, \therefore ∠ E = ∠ A=30°.$
【解析】$\because ∠ ACB=90°,D$是边$AB$的中点,$\therefore ∠ A+∠ B=90°, CD = AD, \therefore ∠ A = ∠ ACD. \because CD$ 是折痕,$\therefore ∠ ACD = ∠ DCE, ∠ A = ∠ E. \because CE ⊥ AB, \therefore ∠ BCE + ∠ B=90°, \therefore ∠ BCE = ∠ A, \therefore ∠ BCE = ∠ ACD = ∠ DCE = \frac{1}{3}∠ ACB=30°, \therefore ∠ E = ∠ A=30°.$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，看到直角三角形+斜边中点的条件，先回忆直角三角形斜边中线的性质，得到CD=AD，进而推出∠A=∠ACD；其次，结合折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠ACD=∠DCE、∠A=∠E；最后，根据CE⊥AB的条件，结合∠ACB=90°，可发现∠A和∠BCE都与∠B互余，由同角的余角相等可得∠BCE=∠A，此时∠ACB被分为三个相等的角，总和为90°，即可求出单角大小，进而得到∠E的度数。
【解析】
$\because ∠ACB=90°$，D是边AB的中点，
$\therefore ∠A+∠B=90°，CD=AD$，
$\therefore ∠A=∠ACD$。
$\because$ CD是折痕，
$\therefore ∠ACD=∠DCE，∠A=∠E$。
$\because CE⊥AB$，
$\therefore ∠BCE+∠B=90°$，
$\therefore ∠BCE=∠A$，
$\therefore ∠BCE=∠ACD=∠DCE=\frac{1}{3}∠ACB=30°$，
$\therefore ∠E=∠A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、折叠的性质、同角的余角相等
【点评】
本题结合折叠变换考查直角三角形的相关性质，解题的核心是通过角的互余关系和折叠的等角性质，推导出∠ACB被三等分，进而求出目标角度，熟练掌握基础几何性质能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，看到直角三角形+斜边中点的条件，先回忆直角三角形斜边中线的性质，得到CD=AD，进而推出∠A=∠ACD；其次，结合折叠的性质，可知折叠前后对应角相等，即∠ACD=∠DCE、∠A=∠E；最后，根据CE⊥AB的条件，结合∠ACB=90°，可发现∠A和∠BCE都与∠B互余，由同角的余角相等可得∠BCE=∠A，此时∠ACB被分为三个相等的角，总和为90°，即可求出单角大小，进而得到∠E的度数。
【解析】
$\because ∠ACB=90°$，D是边AB的中点，
$\therefore ∠A+∠B=90°，CD=AD$，
$\therefore ∠A=∠ACD$。
$\because$ CD是折痕，
$\therefore ∠ACD=∠DCE，∠A=∠E$。
$\because CE⊥AB$，
$\therefore ∠BCE+∠B=90°$，
$\therefore ∠BCE=∠A$，
$\therefore ∠BCE=∠ACD=∠DCE=\frac{1}{3}∠ACB=30°$，
$\therefore ∠E=∠A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、折叠的性质、同角的余角相等
【点评】
本题结合折叠变换考查直角三角形的相关性质，解题的核心是通过角的互余关系和折叠的等角性质，推导出∠ACB被三等分，进而求出目标角度，熟练掌握基础几何性质能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
6 [2025 苏州工业园区段考]如图，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，E，F分别为AC，BD的中点，则EF，BD有怎样的位置关系？请说明理由。
答案
$EF⊥ BD$ 理由:连接$EB,ED. \because ∠ ABC=90°,E$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}AC.$ 同理,可得 $DE=\frac{1}{2}AC, \therefore BE=DE.$ 又$\because F$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore EF⊥ BD.$
解析
【分析】
要判断EF与BD的位置关系，可从已知条件推导：首先图中有两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此先连接BE、DE，证明BE=DE得到等腰△BED；再结合F是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可推出二者的位置关系。
【解析】
$EF⊥ BD$，理由如下：
连接$EB$、$ED$。
$\because ∠ ABC=90°$，E是AC的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AC$。
同理，$∠ ADC=90°$，E是AC的中点，可得$DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BE=DE$，$△ BED$为等腰三角形。
又$\because F$为$BD$的中点，
$\therefore EF⊥ BD$。
【答案】
$EF⊥ BD$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，将直角、中点的条件转化为边的相等关系，再结合等腰三角形的性质推导垂直结论，熟练掌握相关几何性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要判断EF与BD的位置关系，可从已知条件推导：首先图中有两个共斜边AC的直角三角形，且E是AC中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此先连接BE、DE，证明BE=DE得到等腰△BED；再结合F是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可推出二者的位置关系。
【解析】
$EF⊥ BD$，理由如下：
连接$EB$、$ED$。
$\because ∠ ABC=90°$，E是AC的中点，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AC$。
同理，$∠ ADC=90°$，E是AC的中点，可得$DE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore BE=DE$，$△ BED$为等腰三角形。
又$\because F$为$BD$的中点，
$\therefore EF⊥ BD$。
【答案】
$EF⊥ BD$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，将直角、中点的条件转化为边的相等关系，再结合等腰三角形的性质推导垂直结论，熟练掌握相关几何性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7 [2025哈尔滨]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$F$为$AB$的中点,按图中尺规作图的痕迹作射线$AD$交$BC$于点$E$,连接$EF$,则$EF$的长是 (
A.5
B.7
C.8
D.8.5
A
)A.5
B.7
C.8
D.8.5
答案
A
解析
【分析】
首先识别尺规作图的类型：图中作图痕迹是作∠BAC的角平分线，可得AD平分∠BAC。再结合已知AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出E是BC的中点。已知F是AB的中点，可得EF是△ABC的中位线，最后根据三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可知，射线AD是∠BAC的角平分线。
2.
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，即点E是BC的中点。
3. 又
∵F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AC$。
5. 已知AC=10，代入得$EF=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形三线合一；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先正确识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形的性质得到中点条件，最后运用中位线定理计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先识别尺规作图的类型：图中作图痕迹是作∠BAC的角平分线，可得AD平分∠BAC。再结合已知AB=AC，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出E是BC的中点。已知F是AB的中点，可得EF是△ABC的中位线，最后根据三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 由尺规作图痕迹可知，射线AD是∠BAC的角平分线。
2.
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，即点E是BC的中点。
3. 又
∵F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线。
4. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}AC$。
5. 已知AC=10，代入得$EF=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线；等腰三角形三线合一；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先正确识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形的性质得到中点条件，最后运用中位线定理计算线段长度，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
