8 教材 P48 练习 T3 变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高,$∠ A=30°$.若$BC=2$,则$AD$的长为.
（第8题） （第9题） （第10题）

8. 3

9 [2025 苏州工业园区期中]如图，$∠ AOB=60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=8$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM=PN$.若$MN=2$，则$OM$的长是.

9. 3

10 [2025潍坊]如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地(AB为A地到B地的直线距离).甲:$A→C→B$,路程为$l_甲$.乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_乙$.丙:$A→G→H→B$,路程为$l_丙$.将$l_甲,l_乙,l_丙$按从大到小的顺序排列为.

10. $l_甲=l_乙＞l_丙$ 【解析】设 $AB=a$, 可以求得 $l_甲=2a$,$l_乙=2a$,$l_丙＜2a$,$\therefore l_甲=l_乙＞l_丙$.

11 [2025 苏州段考]如图,在$△ ABC$中,BD 是高,D 是 AC 边的中点,点 E 在 BC 边的延长线上,ED 的延长线交 AB 于点 F,且 $EF ⊥ AB$,已知$∠ E=30°$.
(1) 求证:$△ ABC$是等边三角形;
(2) 请判断线段 AD 与 CE 的大小关系,并说明理由.

11. (1) $\because BD⊥ AC$,$D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AB=BC. \because EF⊥ AB$,$∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=90°-∠ E=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) $AD=CE$ 理由: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = 60°. \because ∠ ACB = ∠ E + ∠ CDE, ∠ E = 30°, \therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE. \because D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$.

12 [2025福建]如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AB$的中点，$CE⊥ BC$，垂足为$C$，$EF$是由$CD$沿$CE$方向平移得到的.已知$EF$过点$A$，$BE$交$CD$于点$G$.
（1）求$∠ DCE$的度数；
（2）求证：$△ CEG$是等边三角形.

12. (1) $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AC=BC$,$∠ ACB=60°$.
$\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°. \because CE⊥ BC, \therefore ∠ BCE=90°, \therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°$
(2) 由平移可知, $CD// EF, \therefore ∠ EAC=∠ DCA=30°. \because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°, \therefore ∠ EAC=∠ ECA, \therefore AE=CE$,$∠ AEC=120°. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = CB, \therefore BE$ 垂直平分 $AC, \therefore$ 易得 $∠ GEC = \frac{1}{2}∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$. 由 (1) 知, $∠ GCE = 60°, \therefore ∠ EGC=60°, \therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC, \therefore △ CEG$ 是等边三角形