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8 教材 P48 练习 T3 变式 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高,$∠ A=30°$.若$BC=2$,则$AD$的长为
（第8题） （第9题） （第10题）
3
.（第8题） （第9题） （第10题）答案
8. 3
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，先求出斜边AB的长度；再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，接着在Rt△BCD中再次运用30°角的性质求出BD的长度，最后通过AD=AB-BD计算得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴ AB=2BC=2×2=4，
∠B=90°-∠A=60°，
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴ AD=AB-BD=4-1=3。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对直角三角形30°角性质的灵活运用，解题时要注意结合图形找准对应边和对应角，避免混淆30°角所对的直角边。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，先求出斜边AB的长度；再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，接着在Rt△BCD中再次运用30°角的性质求出BD的长度，最后通过AD=AB-BD计算得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴ AB=2BC=2×2=4，
∠B=90°-∠A=60°，
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴ AD=AB-BD=4-1=3。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对直角三角形30°角性质的灵活运用，解题时要注意结合图形找准对应边和对应角，避免混淆30°角所对的直角边。
【难度系数】
0.7
9 [2025 苏州工业园区期中]如图，$∠ AOB=60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=8$，点$M$，$N$在边$OB$上，$PM=PN$.若$MN=2$，则$OM$的长是
3
.答案
9. 3
解析
【分析】
已知PM=PN，可知△PMN是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线：过点P作PC⊥OB于点C，即可得到MC=CN，先求出MC的长度；再结合∠AOB=60°，在Rt△POC中利用含30°角的直角三角形的性质求出OC的长度，最后用OC减去MC即可得到OM的长度。
【解析】
过点P作PC⊥OB，垂足为C。
∵ PM=PN，PC⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ MC=NC=$\frac{1}{2}$MN，
∵ MN=2，
∴ MC=1。
在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPC=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
OC=$\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=8，
∴ OC=4，
∴ OM=OC - MC=4 - 1=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一的性质转化线段关系，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
已知PM=PN，可知△PMN是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线：过点P作PC⊥OB于点C，即可得到MC=CN，先求出MC的长度；再结合∠AOB=60°，在Rt△POC中利用含30°角的直角三角形的性质求出OC的长度，最后用OC减去MC即可得到OM的长度。
【解析】
过点P作PC⊥OB，垂足为C。
∵ PM=PN，PC⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴ MC=NC=$\frac{1}{2}$MN，
∵ MN=2，
∴ MC=1。
在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPC=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
OC=$\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=8，
∴ OC=4，
∴ OM=OC - MC=4 - 1=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一的性质转化线段关系，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
10 [2025潍坊]如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地(AB为A地到B地的直线距离).甲:$A→C→B$,路程为$l_甲$.乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_乙$.丙:$A→G→H→B$,路程为$l_丙$.将$l_甲,l_乙,l_丙$按从大到小的顺序排列为
$l_甲=l_乙＞l_丙$
.答案
10. $l_甲=l_乙＞l_丙$ 【解析】设 $AB=a$, 可以求得 $l_甲=2a$,$l_乙=2a$,$l_丙＜2a$,$\therefore l_甲=l_乙＞l_丙$.
解析
【分析】
解题时先观察图形的角度特征：三个图中A、B处的角都是60°，首先想到利用等边三角形的性质计算甲、乙的路程：①对于甲的路线，△ABC两个底角为60°，可判定为等边三角形，三边相等，即可求出甲的路程；②对于乙的路线，两个小三角形的底角都是60°，均为等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质可把乙的路程转化为AB长的2倍，得到甲和乙路程相等；③比较丙的路程时，可通过延长AG、BH构造等边三角形，结合三角形三边关系即可判断丙的路程小于2倍AB长，最终得出三者的大小关系。
【解析】
设AB的长度为$a$。
1. 计算$l_甲$：
在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，可得$AC=BC=AB=a$，
所以$l_甲=AC+BC=a+a=2a$。
2. 计算$l_乙$：
在$△ ADE$中，$∠ A=∠ AED=60°$，因此$△ ADE$是等边三角形，可得$AD=DE=AE$；
在$△ EFB$中，$∠ B=∠ FEB=60°$，因此$△ EFB$是等边三角形，可得$EF=FB=EB$；
所以$l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB=2a$，因此$l_甲=l_乙$。
3. 比较$l_丙$与$2a$的大小：
延长$AG$、$BH$交于点$P$，因为$∠ A=∠ B=60°$，所以$△ PAB$是等边三角形，可得$PA=PB=AB=a$，$PA+PB=2a$。
根据三角形三边关系，在$△ PGH$中$PG+PH＞GH$，
因此$l_丙=AG+GH+HB=(PA-PG)+GH+(PB-PH)=2a-(PG+PH-GH)＜2a$，即$l_丙＜2a$。
综上可得$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】
$l_甲=l_乙＞l_丙$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形三边关系；线段大小比较
【点评】
本题通过不同路线的长度比较，结合等边三角形的性质和三角形三边关系考查几何说理能力，解题的关键是抓住图中60°角的特征，合理利用等边三角形三边相等的性质转化路程，再通过构造三角形利用三边关系判断未知路程的范围。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形的角度特征：三个图中A、B处的角都是60°，首先想到利用等边三角形的性质计算甲、乙的路程：①对于甲的路线，△ABC两个底角为60°，可判定为等边三角形，三边相等，即可求出甲的路程；②对于乙的路线，两个小三角形的底角都是60°，均为等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质可把乙的路程转化为AB长的2倍，得到甲和乙路程相等；③比较丙的路程时，可通过延长AG、BH构造等边三角形，结合三角形三边关系即可判断丙的路程小于2倍AB长，最终得出三者的大小关系。
【解析】
设AB的长度为$a$。
1. 计算$l_甲$：
在$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，可得$AC=BC=AB=a$，
所以$l_甲=AC+BC=a+a=2a$。
2. 计算$l_乙$：
在$△ ADE$中，$∠ A=∠ AED=60°$，因此$△ ADE$是等边三角形，可得$AD=DE=AE$；
在$△ EFB$中，$∠ B=∠ FEB=60°$，因此$△ EFB$是等边三角形，可得$EF=FB=EB$；
所以$l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB=2a$，因此$l_甲=l_乙$。
3. 比较$l_丙$与$2a$的大小：
延长$AG$、$BH$交于点$P$，因为$∠ A=∠ B=60°$，所以$△ PAB$是等边三角形，可得$PA=PB=AB=a$，$PA+PB=2a$。
根据三角形三边关系，在$△ PGH$中$PG+PH＞GH$，
因此$l_丙=AG+GH+HB=(PA-PG)+GH+(PB-PH)=2a-(PG+PH-GH)＜2a$，即$l_丙＜2a$。
综上可得$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】
$l_甲=l_乙＞l_丙$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形三边关系；线段大小比较
【点评】
本题通过不同路线的长度比较，结合等边三角形的性质和三角形三边关系考查几何说理能力，解题的关键是抓住图中60°角的特征，合理利用等边三角形三边相等的性质转化路程，再通过构造三角形利用三边关系判断未知路程的范围。
【难度系数】
0.7
11 [2025 苏州段考]如图,在$△ ABC$中,BD 是高,D 是 AC 边的中点,点 E 在 BC 边的延长线上,ED 的延长线交 AB 于点 F,且 $EF ⊥ AB$,已知$∠ E=30°$.
(1) 求证:$△ ABC$是等边三角形;
(2) 请判断线段 AD 与 CE 的大小关系,并说明理由.
(1) 求证:$△ ABC$是等边三角形;
(2) 请判断线段 AD 与 CE 的大小关系,并说明理由.
答案
11. (1) $\because BD⊥ AC$,$D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AB=BC. \because EF⊥ AB$,$∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=90°-∠ E=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) $AD=CE$ 理由: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = 60°. \because ∠ ACB = ∠ E + ∠ CDE, ∠ E = 30°, \therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE. \because D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$.
(2) $AD=CE$ 理由: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = 60°. \because ∠ ACB = ∠ E + ∠ CDE, ∠ E = 30°, \therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE. \because D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC是等边三角形，可优先利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理推导。首先由BD是AC边上的高且D为AC中点，可知BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形；再结合EF⊥AB、∠E=30°，在Rt△BEF中可推出∠ABC=60°，即可判定△ABC为等边三角形。
(2) 判断AD与CE的大小关系时，可通过等量代换证明：已知D是AC中点，因此AD=CD，只需证明CD=CE即可。结合等边三角形的内角为60°，利用三角形外角的性质可求出∠CDE=∠E=30°，根据等角对等边可得CD=CE，进而推出AD=CE。
【解析】
(1) 证明：
∵BD⊥AC，D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB=BC，△ABC为等腰三角形。
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
在Rt△BEF中，∠E=30°，
∴∠ABC=90°-∠E=60°，
∴△ABC是等边三角形。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
将∠ACB=60°，∠E=30°代入得：
∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
又
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴AD=CE。
【答案】
(1) $\because BD⊥ AC$,$D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AB=BC. \because EF⊥ AB$,$∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=90°-∠ E=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) $AD=CE$，理由: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = 60°. \because ∠ ACB = ∠ E + ∠ CDE, ∠ E = 30°, \therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE. \because D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查了等边三角形、垂直平分线、等腰三角形的相关性质定理，解题的关键是结合图形梳理边角的数量关系，按判定定理的要求逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC是等边三角形，可优先利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理推导。首先由BD是AC边上的高且D为AC中点，可知BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形；再结合EF⊥AB、∠E=30°，在Rt△BEF中可推出∠ABC=60°，即可判定△ABC为等边三角形。
(2) 判断AD与CE的大小关系时，可通过等量代换证明：已知D是AC中点，因此AD=CD，只需证明CD=CE即可。结合等边三角形的内角为60°，利用三角形外角的性质可求出∠CDE=∠E=30°，根据等角对等边可得CD=CE，进而推出AD=CE。
【解析】
(1) 证明：
∵BD⊥AC，D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB=BC，△ABC为等腰三角形。
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
在Rt△BEF中，∠E=30°，
∴∠ABC=90°-∠E=60°，
∴△ABC是等边三角形。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
将∠ACB=60°，∠E=30°代入得：
∠CDE=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE，
又
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴AD=CE。
【答案】
(1) $\because BD⊥ AC$,$D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AB=BC. \because EF⊥ AB$,$∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=90°-∠ E=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形
(2) $AD=CE$，理由: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB = 60°. \because ∠ ACB = ∠ E + ∠ CDE, ∠ E = 30°, \therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE. \because D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查了等边三角形、垂直平分线、等腰三角形的相关性质定理，解题的关键是结合图形梳理边角的数量关系，按判定定理的要求逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
12 [2025福建]如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$是$AB$的中点，$CE⊥ BC$，垂足为$C$，$EF$是由$CD$沿$CE$方向平移得到的.已知$EF$过点$A$，$BE$交$CD$于点$G$.
（1）求$∠ DCE$的度数；
（2）求证：$△ CEG$是等边三角形.
（1）求$∠ DCE$的度数；
（2）求证：$△ CEG$是等边三角形.
答案
12. (1) $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AC=BC$,$∠ ACB=60°$.
$\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°. \because CE⊥ BC, \therefore ∠ BCE=90°, \therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°$
(2) 由平移可知, $CD// EF, \therefore ∠ EAC=∠ DCA=30°. \because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°, \therefore ∠ EAC=∠ ECA, \therefore AE=CE$,$∠ AEC=120°. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = CB, \therefore BE$ 垂直平分 $AC, \therefore$ 易得 $∠ GEC = \frac{1}{2}∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$. 由 (1) 知, $∠ GCE = 60°, \therefore ∠ EGC=60°, \therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC, \therefore △ CEG$ 是等边三角形
$\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB=∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×60°=30°. \because CE⊥ BC, \therefore ∠ BCE=90°, \therefore ∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°$
(2) 由平移可知, $CD// EF, \therefore ∠ EAC=∠ DCA=30°. \because ∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°, \therefore ∠ EAC=∠ ECA, \therefore AE=CE$,$∠ AEC=120°. \because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = CB, \therefore BE$ 垂直平分 $AC, \therefore$ 易得 $∠ GEC = \frac{1}{2}∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$. 由 (1) 知, $∠ GCE = 60°, \therefore ∠ EGC=60°, \therefore ∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC, \therefore △ CEG$ 是等边三角形
解析
【分析】
（1）求∠DCE的度数，首先利用等边三角形三线合一的性质求出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，用∠BCE减去∠DCB即可求得结果。
（2）要证明△CEG是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为60°推导：首先根据平移的性质得到CD//EF，推出AE=CE，再结合AB=BC得出BE垂直平分AC，得到∠GEC=60°，结合第（1）问得到的∠GCE=60°，可推出第三个角∠EGC也为60°，即可判定△CEG是等边三角形。
【解析】
（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵D是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE - ∠DCB=90°-30°=60°。
（2）证明：由平移的性质可知，CD//EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
∵∠ECA=∠BCE - ∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=180°-30°-30°=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，
又
∵AE=CE，
∴点B和点E都在AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴BE平分∠AEC，
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
由（1）知∠GCE=60°，
∴在△CEG中，∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
（1）$\boxed{60°}$；（2）△CEG是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合了等边三角形、平移、垂直平分线的相关知识进行考查，解题的关键是熟练掌握各类几何性质，准确推导角的数量关系和线段的等量关系，侧重考查学生的逻辑推理能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求∠DCE的度数，首先利用等边三角形三线合一的性质求出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，用∠BCE减去∠DCB即可求得结果。
（2）要证明△CEG是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为60°推导：首先根据平移的性质得到CD//EF，推出AE=CE，再结合AB=BC得出BE垂直平分AC，得到∠GEC=60°，结合第（1）问得到的∠GCE=60°，可推出第三个角∠EGC也为60°，即可判定△CEG是等边三角形。
【解析】
（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵D是AB的中点，根据等边三角形三线合一的性质，CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DCE=∠BCE - ∠DCB=90°-30°=60°。
（2）证明：由平移的性质可知，CD//EF，
∴∠EAC=∠DCA=30°，
∵∠ECA=∠BCE - ∠ACB=90°-60°=30°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，∠AEC=180°-30°-30°=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，
又
∵AE=CE，
∴点B和点E都在AC的垂直平分线上，即BE垂直平分AC，
∴BE平分∠AEC，
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
由（1）知∠GCE=60°，
∴在△CEG中，∠EGC=180°-60°-60°=60°，
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC，
∴△CEG是等边三角形。
【答案】
（1）$\boxed{60°}$；（2）△CEG是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合了等边三角形、平移、垂直平分线的相关知识进行考查，解题的关键是熟练掌握各类几何性质，准确推导角的数量关系和线段的等量关系，侧重考查学生的逻辑推理能力和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
