1 正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的图象是一条经过原点的 （）

A.射线
B.曲线
C.线段
D.直线

1. D

【分析】
拿到这道题首先回忆正比例函数的基础性质：首先正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的自变量$x$的取值范围是全体实数，图象上的点会随$x$的正负取值向两个方向无限延伸。接下来可以结合选项逐一排除：首先射线仅向一端延伸，不符合$x$取全体实数的特征；曲线和一次函数的图象特征不符；线段有两个端点，仅当$x$的取值有范围限制时才会出现，因此也不符合，最终可对应到正确选项。也可以直接调用课本中明确给出的正比例函数图象结论直接判断。
【解析】
根据正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的自变量$x$可取全体实数，所有满足函数关系的点$(x,kx)$组成的图象是一条经过原点$(0,0)$、向两端无限延伸的直线。
对各选项分析如下：
A. 射线仅有一个端点，仅向一个方向延伸，不符合$x$可取全体实数的特征，排除；
B. 正比例函数属于特殊的一次函数，一次函数的图象均为直线，不是曲线，排除；
C. 线段有两个端点，仅当$x$的取值有明确范围限制时函数图象才可能是线段，本题无取值限制，排除；
D. 直线符合正比例函数图象的特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象特征
一次函数的图象性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对正比例函数图象的识记与理解，只要熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案，解题时也可结合各几何图形的特征辅助排除错误选项。
【难度系数】
0.9

2 [2024 德阳]正比例函数$y=kx(k≠0)$的图象如图所示,则k的值可能是 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{3}$

2. A

【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象与系数k的关系：k的正负决定了函数图象经过的象限。首先观察题中图象经过的象限，判断出k的正负性，再对比选项筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
根据正比例函数$y=kx(k≠0)$的性质：
当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；
当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
观察题图可知，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
选项中只有A选项$\frac{1}{2}$是正数，B、C、D选项的数值均为负数，不符合$k＞0$的要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象与系数的关系
【点评】
本题是基础题，核心考查正比例函数系数k和图象象限的对应关系，熟练掌握该性质就能快速排除错误选项，准确得到答案。
【难度系数】
0.9

点A(-2,-9)在关于x的正比例函数$y=(k-1)x$的图象上，则k的值为。

3. $\frac{11}{2}$

【分析】
要计算k的值，首先明确正比例函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式。已知点A在给定的正比例函数图象上，因此只需将点A的横、纵坐标代入函数表达式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的取值。
【解析】
∵ 点$A(-2,-9)$在正比例函数$y=(k-1)x$的图象上
∴ 将$x=-2$，$y=-9$代入解析式可得：
$-9=(k-1)×(-2)$
展开右侧得：$-9=-2k+2$
移项合并同类项得：$2k=11$
系数化为1得：$k=\frac{11}{2}$
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
正比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题考查正比例函数的基础应用，核心是理解函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，直接代入计算即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.9

4 已知函数$y=(m-3)x^{10 - m^2}$是关于$x$的正比例函数，求$m$的值并在平面直角坐标系内画出这个函数的图象.

4.
∵ 函数$y=(m-3)x^{10-m^2}$是关于x的正比例函数,
∴ $10-m^2=1$且$m-3≠0$,解得$m=-3$,
∴ $y=-6x$,函数图象如图所示

【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义特征：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$），需同时满足两个条件：①$x$的次数为1；②$x$的系数$k$不等于0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，求解得到$m$的取值，再代入得到函数解析式，最后利用正比例函数图象是过原点的直线的特点，用两点法画出图象即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(m-3)x^{10 - m^2}$是关于$x$的正比例函数，
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. $x$的次数为1：$10 - m^2 =1$，
解方程得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$；
2. 一次项系数不为0：$m-3\ne0$，即$m\ne3$。
结合两个条件的结果，可得$m=-3$。
将$m=-3$代入原函数，得函数解析式为$y=(-3-3)x=-6x$。
画函数图象：正比例函数的图象是过原点的直线，取$x=\frac{1}{2}$时，$y=-6×\frac{1}{2}=-3$，连接点$(0,0)$和$(\frac{1}{2},-3)$并延长，即可得到$y=-6x$的图象。
【答案】
$m=-3$，函数为$y=-6x$，图象如图所示
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象
【点评】
本题重点考查正比例函数的相关概念和图象画法，解题时要注意不要遗漏正比例函数中系数不为0的限制条件，避免误将$m=3$当作解，画正比例函数图象时选择原点和另一个易计算的点用两点法作图即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

5 已知函数 $y=x,y=-2x,y=\frac{1}{2}x,y=3x$.
（1）在同一平面直角坐标系中画出这些函数的图象.
（2）观察这些函数的图象可以发现，随着$|k|$的增大，函数图象与$y$轴的位置关系有何变化？
（3）已知正比例函数$y=k_1x,y=k_2x$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则$k_1$与$k_2$的大小关系为（用“＞”连接）.

5. （1）如图所示 （2）观察这些函数的图象可以发现,随着$|k|$的增大,直线与y轴所夹锐角减小 （3）$k_1＞k_2$

【分析】
本题围绕正比例函数的图象与性质展开：
(1) 画正比例函数图象时，利用正比例函数图象是过原点的直线的特点，只需确定原点外一个点的坐标，描点连线即可完成作图；
(2) 观察不同k值对应图象的倾斜程度，对比|k|的大小和图象与y轴夹角的关系，总结规律；
(3) 首先根据图象所在象限判断k₁、k₂的正负，再根据图象倾斜程度判断|k₁|、|k₂|的大小，最后结合负数比较大小的规则得出k₁、k₂的大小关系。
【解析】
(1) 正比例函数$y=kx$的图象是经过原点$(0,0)$的直线：
对$y=x$，取$x=1$得$y=1$，过点$(0,0)$和$(1,1)$画直线；
对$y=-2x$，取$x=1$得$y=-2$，过点$(0,0)$和$(1,-2)$画直线；
对$y=\frac{1}{2}x$，取$x=1$得$y=\frac{1}{2}$，过点$(0,0)$和$(1,\frac{1}{2})$画直线；
对$y=3x$，取$x=1$得$y=3$，过点$(0,0)$和$(1,3)$画直线，最终图象如参考图所示。
(2) 观察图象可知：四个函数的$|k|$分别为$1、2、\frac{1}{2}、3$，$|k|$越大，直线倾斜程度越大，越靠近$y$轴，因此直线与$y$轴所夹的锐角越小。
(3) 由图可知$y=k_1x$和$y=k_2x$的图象都经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；又$y=k_2x$的倾斜程度更大，说明$|k_2|＞|k_1|$，负数比较大小，绝对值越大的数越小，因此$k_1＞k_2$。
【答案】
（1）如图所示 （2）随着$|k|$的增大，直线与y轴所夹锐角减小 （3）$k_1＞k_2$
【知识点】
1. 正比例函数图象画法
2. 正比例函数的性质
3. 负数大小比较
【点评】
本题考查正比例函数的图象与性质相关基础内容，需要熟练掌握正比例函数图象的倾斜程度和$|k|$的对应规律，能结合图象特征判断$k$的符号和大小，为后续一次函数的学习打好基础。
【难度系数】
0.7