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6 已知一次函数$y=kx+b$，当$x$的值减少1时，$y$的值减少2，则当$x$的值增加2时，$y$的值（
A.增加4
B.减少4
C.增加2
D.减少2
A
）A.增加4
B.减少4
C.增加2
D.减少2
答案
6. A
解析
【分析】
本题考查一次函数中自变量与函数值的变化关系，解题可分两步推导：第一步，根据“x减少1时y减少2”的已知条件，代入一次函数表达式求出一次项系数k的值；第二步，计算x增加2时对应的函数值变化量，即可得出最终结果。
【解析】
已知一次函数为$y=kx+b$，
当x的值减少1时，新的自变量为$x-1$，对应的函数值为$y-2$，代入函数式得：
$y-2 = k(x-1) + b$
将$y=kx+b$代入上式左侧，可得：
$kx + b - 2 = kx - k + b$
等式两边同时消去$kx$和$b$，解得$k=2$。
当x的值增加2时，新的自变量为$x+2$，对应的函数值为：
$y' = k(x+2) + b = kx + 2k + b$
则函数值的变化量为：$y' - y = (kx + 2k + b) - (kx + b) = 2k$
将$k=2$代入得$y' - y = 2×2 = 4$，即y的值增加4。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数值变化规律
【点评】
本题重点考查一次函数自变量和函数值的对应变化关系，解题的核心是先求出一次项系数k的值，再推导后续的函数值变化，整体考查对一次函数基本概念的理解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数中自变量与函数值的变化关系，解题可分两步推导：第一步，根据“x减少1时y减少2”的已知条件，代入一次函数表达式求出一次项系数k的值；第二步，计算x增加2时对应的函数值变化量，即可得出最终结果。
【解析】
已知一次函数为$y=kx+b$，
当x的值减少1时，新的自变量为$x-1$，对应的函数值为$y-2$，代入函数式得：
$y-2 = k(x-1) + b$
将$y=kx+b$代入上式左侧，可得：
$kx + b - 2 = kx - k + b$
等式两边同时消去$kx$和$b$，解得$k=2$。
当x的值增加2时，新的自变量为$x+2$，对应的函数值为：
$y' = k(x+2) + b = kx + 2k + b$
则函数值的变化量为：$y' - y = (kx + 2k + b) - (kx + b) = 2k$
将$k=2$代入得$y' - y = 2×2 = 4$，即y的值增加4。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数值变化规律
【点评】
本题重点考查一次函数自变量和函数值的对应变化关系，解题的核心是先求出一次项系数k的值，再推导后续的函数值变化，整体考查对一次函数基本概念的理解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
7 [2024相城区段考改编]已知$y-2$与$3x-4$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=3$.
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为________；
(2) 当$x=-1$时，$y$的值为________；
(3) 若$y$的取值范围是$-1≤ y≤ \dfrac{1}{2}$，则$x$的取值范围是________.
(1) $y$与$x$之间的函数表达式为________；
(2) 当$x=-1$时，$y$的值为________；
(3) 若$y$的取值范围是$-1≤ y≤ \dfrac{1}{2}$，则$x$的取值范围是________.
答案
7. (1) $y=\dfrac{3}{2}x$
【解析】设$y-2=k(3x-4).\because$ 当$x=2$时，$y=3,\therefore 3-2=k×(3×2-4),$解得$k=\dfrac{1}{2},\therefore y-2=\dfrac{1}{2}(3x-4),$即$y=\dfrac{3}{2}x,\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x$.
(2) $-\dfrac{3}{2}$
【解析】当$x=-1$时，$y=\dfrac{3}{2}×(-1)=-\dfrac{3}{2}$.
(3) $-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$
【解析】由题意，得$-1≤\dfrac{3}{2}x≤\dfrac{1}{2},$解得$-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$.
【解析】设$y-2=k(3x-4).\because$ 当$x=2$时，$y=3,\therefore 3-2=k×(3×2-4),$解得$k=\dfrac{1}{2},\therefore y-2=\dfrac{1}{2}(3x-4),$即$y=\dfrac{3}{2}x,\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x$.
(2) $-\dfrac{3}{2}$
【解析】当$x=-1$时，$y=\dfrac{3}{2}×(-1)=-\dfrac{3}{2}$.
(3) $-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$
【解析】由题意，得$-1≤\dfrac{3}{2}x≤\dfrac{1}{2},$解得$-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 按照正比例关系的定义，若两个量成正比例，可设形如$a=kb(k≠0)$的表达式，本题中$y-2$与$3x-4$成正比例，因此先设$y-2=k(3x-4)$，再将已知的$x=2、y=3$代入表达式求出$k$的值，最后整理即可得到$y$与$x$的函数解析式。
(2) 第二问直接将$x=-1$代入第(1)问求出的函数解析式，计算即可得到对应的$y$值。
(3) 第三问将$y$的取值范围代入函数解析式，得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=3$代入得：$3-2=k×(3×2-4)$，
化简得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入所设表达式得：$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，
整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$，得：
$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
(3) 已知$-1≤ y≤\frac{1}{2}$，将$y=\frac{3}{2}x$代入得：
$-1≤\frac{3}{2}x≤\frac{1}{2}$，
不等式三边同时乘$\frac{2}{3}$，得：$-\frac{2}{3}≤ x≤\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3}{2}x$；(2) $-\dfrac{3}{2}$；(3) $-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$
【知识点】
正比例关系定义；待定系数法求解析式；一元一次不等式解法
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查对正比例关系的理解、待定系数法的运用能力，以及结合函数解析式解不等式的计算能力，掌握核心方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 按照正比例关系的定义，若两个量成正比例，可设形如$a=kb(k≠0)$的表达式，本题中$y-2$与$3x-4$成正比例，因此先设$y-2=k(3x-4)$，再将已知的$x=2、y=3$代入表达式求出$k$的值，最后整理即可得到$y$与$x$的函数解析式。
(2) 第二问直接将$x=-1$代入第(1)问求出的函数解析式，计算即可得到对应的$y$值。
(3) 第三问将$y$的取值范围代入函数解析式，得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=3$代入得：$3-2=k×(3×2-4)$，
化简得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入所设表达式得：$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，
整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 把$x=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$，得：
$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
(3) 已知$-1≤ y≤\frac{1}{2}$，将$y=\frac{3}{2}x$代入得：
$-1≤\frac{3}{2}x≤\frac{1}{2}$，
不等式三边同时乘$\frac{2}{3}$，得：$-\frac{2}{3}≤ x≤\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{3}{2}x$；(2) $-\dfrac{3}{2}$；(3) $-\dfrac{2}{3}≤ x≤\dfrac{1}{3}$
【知识点】
正比例关系定义；待定系数法求解析式；一元一次不等式解法
【点评】
本题属于一次函数基础题型，重点考查对正比例关系的理解、待定系数法的运用能力，以及结合函数解析式解不等式的计算能力，掌握核心方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8 如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中 y 是 x 的函数。通过该“函数求值机”得到的几组 x 与 y 的对应值如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的 x 值为 1 时，输出的 y 值为
（2）求 k，b 的值；
（3）当输出的 y 值为 0 时，求输入的 x 值。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的 x 值为 1 时，输出的 y 值为
8
；（2）求 k，b 的值；
（3）当输出的 y 值为 0 时，求输入的 x 值。
答案
8. (1) 8
(2) 将$(-2,2),(0,6)$代入$y=kx+b(k≠0),$得$\begin{cases}2=-2k+b,\\6=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=6\end{cases}$
(3) 当$x≥1$时，在$y=8x$中，令$y=0,$得$0=8x,\therefore x=0$(不合题意,舍去). 当$x＜1$时，在$y=2x+6$中，令$y=0,$得$0=2x+6,\therefore x=-3,\therefore$ 当输出的$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$
(2) 将$(-2,2),(0,6)$代入$y=kx+b(k≠0),$得$\begin{cases}2=-2k+b,\\6=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=6\end{cases}$
(3) 当$x≥1$时，在$y=8x$中，令$y=0,$得$0=8x,\therefore x=0$(不合题意,舍去). 当$x＜1$时，在$y=2x+6$中，令$y=0,$得$0=2x+6,\therefore x=-3,\therefore$ 当输出的$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$
解析
【分析】
这是一道分段函数的应用类题目，解题思路如下：①先明确“函数求值机”的分段规则：当x≥1时，函数解析式为$y=8x$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=kx+b$。（1）判断$x=1$所属的分段区间，代入对应解析式计算即可。（2）表格中给出的$(-2,2)$、$(0,6)$均满足$x＜1$，将两组值代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，求解即可得到$k$、$b$的值。（3）输出$y=0$时，需要分别代入两个分段解析式求解$x$，再检验所得$x$是否符合对应分段的自变量取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
（1）$\because x=1$属于$x≥1$的取值范围，对应解析式为$y=8x$，
$\therefore$代入得$y=8×1=8$。
（2）由题意可知，$x＜1$时函数解析式为$y=kx+b$，
将$(-2,2)$、$(0,6)$代入解析式得：
$\begin{cases}2=-2k+b\\6=b\end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$，
$\therefore \begin{cases}k=2\\b=6\end{cases}$。
（3）分两种情况讨论：
①当$x≥1$时，令$y=8x=0$，解得$x=0$，
$\because 0＜1$，不符合$x≥1$的取值要求，故舍去；
②当$x＜1$时，令$y=2x+6=0$，解得$x=-3$，
$\because -3＜1$，符合取值要求。
综上，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8}$；（2）$\boldsymbol{k=2,b=6}$；（3）$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数求值
【点评】
本题重点考查分段函数的计算与应用，解题的核心是准确判断自变量所属的分段区间，代入对应解析式计算，求解后要注意验证解是否符合自变量的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
这是一道分段函数的应用类题目，解题思路如下：①先明确“函数求值机”的分段规则：当x≥1时，函数解析式为$y=8x$；当$x＜1$时，函数解析式为$y=kx+b$。（1）判断$x=1$所属的分段区间，代入对应解析式计算即可。（2）表格中给出的$(-2,2)$、$(0,6)$均满足$x＜1$，将两组值代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，求解即可得到$k$、$b$的值。（3）输出$y=0$时，需要分别代入两个分段解析式求解$x$，再检验所得$x$是否符合对应分段的自变量取值范围，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
（1）$\because x=1$属于$x≥1$的取值范围，对应解析式为$y=8x$，
$\therefore$代入得$y=8×1=8$。
（2）由题意可知，$x＜1$时函数解析式为$y=kx+b$，
将$(-2,2)$、$(0,6)$代入解析式得：
$\begin{cases}2=-2k+b\\6=b\end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$，
$\therefore \begin{cases}k=2\\b=6\end{cases}$。
（3）分两种情况讨论：
①当$x≥1$时，令$y=8x=0$，解得$x=0$，
$\because 0＜1$，不符合$x≥1$的取值要求，故舍去；
②当$x＜1$时，令$y=2x+6=0$，解得$x=-3$，
$\because -3＜1$，符合取值要求。
综上，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{8}$；（2）$\boldsymbol{k=2,b=6}$；（3）$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数求值
【点评】
本题重点考查分段函数的计算与应用，解题的核心是准确判断自变量所属的分段区间，代入对应解析式计算，求解后要注意验证解是否符合自变量的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
9 新情境 生活实际 [2024 包头改编]如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中所给的数据信息，解答下面的问题：
（1）求整齐叠放在桌面上的碗的高度$y$(厘米)与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8厘米，则碗的数量最多为多少个？
（1）求整齐叠放在桌面上的碗的高度$y$(厘米)与碗的数量$x$(个)之间的一次函数表达式；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8厘米，则碗的数量最多为多少个？
答案
9. (1) 由题意，设$y=kx+b\ (k≠0),$则$\begin{cases}4k+b=10.5,\\7k+b=15,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1.5,\\b=4.5.\end{cases}$ $\therefore y=1.5x+4.5$
(2) 根据题意，得$1.5x+4.5≤28.8,$解得$x≤16.2,\therefore x$的最大整数解为16,$\therefore$ 碗的数量最多为16个
(2) 根据题意，得$1.5x+4.5≤28.8,$解得$x≤16.2,\therefore x$的最大整数解为16,$\therefore$ 碗的数量最多为16个
解析
【分析】
（1）要确定一次函数表达式，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b\ (k≠0)$，只需找到两组$x$（碗的数量）和$y$（叠放高度）的对应值，代入后列二元一次方程组求解$k$、$b$即可。从图中可提取信息：4个碗叠放高度为10.5厘米，7个碗叠放高度为15厘米，刚好满足求解需求。
（2）第二问求总高度不超过28.8厘米时的最大碗数，只需将第一问得到的函数表达式代入$y≤28.8$，解一元一次不等式，再结合碗的数量为正整数的实际要求，取最大整数解即可。
【解析】
(1) 设碗的高度$y$（厘米）与碗的数量$x$（个）之间的一次函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
根据图中数据，当$x=4$时，$y=10.5$；当$x=7$时，$y=15$，代入表达式得：
$\begin{cases}4k+b=10.5 \\7k+b=15\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3k=4.5$，解得$k=1.5$。
将$k=1.5$代入$4k+b=10.5$，得$6+b=10.5$，解得$b=4.5$。
因此一次函数表达式为$y=1.5x+4.5$。
(2) 由题意得总高度不超过28.8厘米，即$y≤28.8$，代入函数表达式得：
$1.5x+4.5≤28.8$
移项计算得$1.5x≤24.3$，解得$x≤16.2$。
因为碗的数量$x$为正整数，所以$x$的最大整数解为16。
【答案】
(1) $y=1.5x+4.5$
(2) 16个
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元一次不等式应用，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了不等式在实际问题中的应用，解题核心是准确提取图中的数据信息，同时注意实际问题中变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
（1）要确定一次函数表达式，首先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b\ (k≠0)$，只需找到两组$x$（碗的数量）和$y$（叠放高度）的对应值，代入后列二元一次方程组求解$k$、$b$即可。从图中可提取信息：4个碗叠放高度为10.5厘米，7个碗叠放高度为15厘米，刚好满足求解需求。
（2）第二问求总高度不超过28.8厘米时的最大碗数，只需将第一问得到的函数表达式代入$y≤28.8$，解一元一次不等式，再结合碗的数量为正整数的实际要求，取最大整数解即可。
【解析】
(1) 设碗的高度$y$（厘米）与碗的数量$x$（个）之间的一次函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
根据图中数据，当$x=4$时，$y=10.5$；当$x=7$时，$y=15$，代入表达式得：
$\begin{cases}4k+b=10.5 \\7k+b=15\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3k=4.5$，解得$k=1.5$。
将$k=1.5$代入$4k+b=10.5$，得$6+b=10.5$，解得$b=4.5$。
因此一次函数表达式为$y=1.5x+4.5$。
(2) 由题意得总高度不超过28.8厘米，即$y≤28.8$，代入函数表达式得：
$1.5x+4.5≤28.8$
移项计算得$1.5x≤24.3$，解得$x≤16.2$。
因为碗的数量$x$为正整数，所以$x$的最大整数解为16。
【答案】
(1) $y=1.5x+4.5$
(2) 16个
【知识点】
待定系数法求一次函数，一元一次不等式应用，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了不等式在实际问题中的应用，解题核心是准确提取图中的数据信息，同时注意实际问题中变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
