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7.(2024·常州模拟)匀速地向如图所示的一个空瓶里注水,最后把空瓶注满.在注水过程中,水面高度h与注水时间t之间的函数关系大致是 （
A
）答案
7.A
解析
【分析】
首先明确匀速注水的特点：单位时间内注入水的体积是固定的。水面高度h的上升速度和注水位置的容器横截面积直接相关：相同注水量下，容器横截面积越大，水面上升越慢，对应h-t图像的斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，对应斜率越大。接下来观察容器形状：该容器从底部到顶部横截面积逐渐减小，因此随着水面升高，上升速度会越来越快，图像斜率逐渐变大，据此对比选项即可选出答案。
【解析】
已知为匀速注水，因此单位时间内注入水的体积是固定值。设注水速度为v（体积/单位时间），某时刻水面处的容器横截面积为S，可知相同时间Δt内注入的水的体积满足$v\Delta t = S·\Delta h$，整理得$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{v}{S}$，即h随t变化的图像斜率等于$\frac{v}{S}$。
观察容器可知，从底部到顶部，容器横截面积S逐渐减小，因此$\frac{v}{S}$的值逐渐增大，也就是图像的斜率越来越大，曲线越来越陡。
对比选项：
A选项图像斜率逐渐增大，符合变化规律；
B选项斜率逐渐减小，对应横截面积越来越大的容器，不符合；
C选项上升段为直线（斜率不变），对应横截面积固定的柱形容器，且后续水平段代表水已注满，但上升段规律不符合本题容器特点，排除；
D选项为两段斜率不同的直线，对应横截面积突变的分层容器，不符合本题容器横截面积连续变化的特点，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
函数的图像；实际问题的函数关系；变量变化趋势
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图像的判断，解题核心是建立容器横截面积和图像斜率的对应关系，无需复杂计算，只要分析清楚高度的变化快慢趋势即可解题，是函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先明确匀速注水的特点：单位时间内注入水的体积是固定的。水面高度h的上升速度和注水位置的容器横截面积直接相关：相同注水量下，容器横截面积越大，水面上升越慢，对应h-t图像的斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，对应斜率越大。接下来观察容器形状：该容器从底部到顶部横截面积逐渐减小，因此随着水面升高，上升速度会越来越快，图像斜率逐渐变大，据此对比选项即可选出答案。
【解析】
已知为匀速注水，因此单位时间内注入水的体积是固定值。设注水速度为v（体积/单位时间），某时刻水面处的容器横截面积为S，可知相同时间Δt内注入的水的体积满足$v\Delta t = S·\Delta h$，整理得$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{v}{S}$，即h随t变化的图像斜率等于$\frac{v}{S}$。
观察容器可知，从底部到顶部，容器横截面积S逐渐减小，因此$\frac{v}{S}$的值逐渐增大，也就是图像的斜率越来越大，曲线越来越陡。
对比选项：
A选项图像斜率逐渐增大，符合变化规律；
B选项斜率逐渐减小，对应横截面积越来越大的容器，不符合；
C选项上升段为直线（斜率不变），对应横截面积固定的柱形容器，且后续水平段代表水已注满，但上升段规律不符合本题容器特点，排除；
D选项为两段斜率不同的直线，对应横截面积突变的分层容器，不符合本题容器横截面积连续变化的特点，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
函数的图像；实际问题的函数关系；变量变化趋势
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图像的判断，解题核心是建立容器横截面积和图像斜率的对应关系，无需复杂计算，只要分析清楚高度的变化快慢趋势即可解题，是函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8.(工业园区一模)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”如图是两匹马行走路程s(里)关于行走时间t(日)的函数图象，则两个函数图象交点P的坐标是
$(20,4800)$
。答案
8.$(20,4800)$
解析
【分析】
要确定交点P的坐标，首先需明确P点的实际意义：它表示良马追上驽马时，对应的行走时间t和路程s。我们可以先分别写出良马和驽马的路程s关于良马行走时间t的函数解析式，再令两个解析式相等（此时路程相同，即追上），解方程求出t的值，再代入解析式求出s的值，即可得到P点坐标。
【解析】
设良马行走t日时的路程为$s_1$，根据题意良马日行240里，可得：
$s_1=240t\ (t≥0)$
驽马先行12日，因此当良马行走t日时，驽马已行走$(t+12)$日，驽马日行150里，可得驽马的路程：
$s_2=150(t+12)\ (t≥0)$
当良马追上驽马时，两者路程相等，即$s_1=s_2$，列方程：
$240t=150(t+12)$
展开得：$240t=150t+1800$
移项合并得：$90t=1800$
解得：$t=20$
将$t=20$代入$s_1=240t$，得$s=240×20=4800$
因此交点P的坐标为$(20,4800)$。
【答案】
$(20,4800)$
【知识点】
一次函数的应用；追及问题；函数交点的意义
【点评】
本题结合传统数学问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图象交点的实际含义，理清两匹马的行走时间差，正确列出两个路程的函数关系式即可求解，注重了数学文化和知识应用的结合。
【难度系数】
0.7
要确定交点P的坐标，首先需明确P点的实际意义：它表示良马追上驽马时，对应的行走时间t和路程s。我们可以先分别写出良马和驽马的路程s关于良马行走时间t的函数解析式，再令两个解析式相等（此时路程相同，即追上），解方程求出t的值，再代入解析式求出s的值，即可得到P点坐标。
【解析】
设良马行走t日时的路程为$s_1$，根据题意良马日行240里，可得：
$s_1=240t\ (t≥0)$
驽马先行12日，因此当良马行走t日时，驽马已行走$(t+12)$日，驽马日行150里，可得驽马的路程：
$s_2=150(t+12)\ (t≥0)$
当良马追上驽马时，两者路程相等，即$s_1=s_2$，列方程：
$240t=150(t+12)$
展开得：$240t=150t+1800$
移项合并得：$90t=1800$
解得：$t=20$
将$t=20$代入$s_1=240t$，得$s=240×20=4800$
因此交点P的坐标为$(20,4800)$。
【答案】
$(20,4800)$
【知识点】
一次函数的应用；追及问题；函数交点的意义
【点评】
本题结合传统数学问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图象交点的实际含义，理清两匹马的行走时间差，正确列出两个路程的函数关系式即可求解，注重了数学文化和知识应用的结合。
【难度系数】
0.7
9.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=5 cm,BD=8 cm,AC,BD互相垂直且平分,则AC=
(2)在宽为8 cm的长方形纸带上,用图①中的四边形设计如图②所示的图案.
①如果用7个图①中的四边形设计图案,那么至少需要
②设图①中的四边形有x个,所需的纸带长为y cm,求y与x之间的函数表达式;
③在长为40 cm的纸带上,按照这种方法,最多能设计多少个图①中的四边形?
-12 O
6
cm.(2)在宽为8 cm的长方形纸带上,用图①中的四边形设计如图②所示的图案.
①如果用7个图①中的四边形设计图案,那么至少需要
24
cm长的纸带;②设图①中的四边形有x个,所需的纸带长为y cm,求y与x之间的函数表达式;
③在长为40 cm的纸带上,按照这种方法,最多能设计多少个图①中的四边形?
-12 O
答案
9.(1)6 (2)①24
②解:由题意,得 $y=6+3(x-1)=3x+3$.
③解:当 $y=40$ 时,$40=3x+3$,解得 $x=\frac{37}{3}\approx 12.3$.
故在长为 40 cm 的纸带上,按照这种方法,最多能设计12 个题图①中的四边形.
②解:由题意,得 $y=6+3(x-1)=3x+3$.
③解:当 $y=40$ 时,$40=3x+3$,解得 $x=\frac{37}{3}\approx 12.3$.
故在长为 40 cm 的纸带上,按照这种方法,最多能设计12 个题图①中的四边形.
解析
【分析】
(1) 先由四边相等判定四边形ABCD是菱形，菱形对角线互相垂直平分，已知BD长度可求出其一半的长度，再结合边长用勾股定理求出AC一半的长度，乘2即可得AC的长。
(2) ①观察图案可知，1个四边形需要纸带长6cm，每增加1个四边形，纸带长度增加3cm，7个四边形的长度就是第一个的长度加上后6个增加的长度。
②根据①的规律，x个四边形时，总长度等于第一个的6cm加上(x-1)个增量3cm，整理即可得到y与x的函数表达式。
③将纸带长40cm代入函数表达式，解出x的取值，结合x为正整数取最大值即可。
【解析】
(1)
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC、BD互相垂直平分，BD=8cm，
∴BD的一半为4cm，设AC、BD交于点O，在Rt△AOD中，AD=5cm，OD=4cm，
∴$AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$，
∴$AC=2AO=6\mathrm{cm}$。
(2) ①观察图②可知，1个四边形需要纸带长6cm，每增加1个四边形，纸带长度增加3cm，
则7个四边形所需纸带长度为：$6 + 3×(7-1) = 24\mathrm{cm}$。
②解：由上述规律，x个四边形时，总长度$y = 6 + 3(x-1)$，整理得$y=3x+3$。
③解：当纸带长为40cm时，令$y≤40$，即$3x+3≤40$，
解得$x≤\frac{37}{3}\approx12.3$，
∵x为正整数，
∴x的最大值为12。
【答案】
(1)6；(2)①24；②$y=3x+3$；③12个
【知识点】
菱形的性质，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题将几何性质与实际规律探究结合，既考查了菱形对角线的相关计算，又考查了从图形变化中提炼数量关系、建立函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到每新增一个四边形时纸带长度的增量。
【难度系数】
0.7
(1) 先由四边相等判定四边形ABCD是菱形，菱形对角线互相垂直平分，已知BD长度可求出其一半的长度，再结合边长用勾股定理求出AC一半的长度，乘2即可得AC的长。
(2) ①观察图案可知，1个四边形需要纸带长6cm，每增加1个四边形，纸带长度增加3cm，7个四边形的长度就是第一个的长度加上后6个增加的长度。
②根据①的规律，x个四边形时，总长度等于第一个的6cm加上(x-1)个增量3cm，整理即可得到y与x的函数表达式。
③将纸带长40cm代入函数表达式，解出x的取值，结合x为正整数取最大值即可。
【解析】
(1)
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC、BD互相垂直平分，BD=8cm，
∴BD的一半为4cm，设AC、BD交于点O，在Rt△AOD中，AD=5cm，OD=4cm，
∴$AO=\sqrt{AD^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$，
∴$AC=2AO=6\mathrm{cm}$。
(2) ①观察图②可知，1个四边形需要纸带长6cm，每增加1个四边形，纸带长度增加3cm，
则7个四边形所需纸带长度为：$6 + 3×(7-1) = 24\mathrm{cm}$。
②解：由上述规律，x个四边形时，总长度$y = 6 + 3(x-1)$，整理得$y=3x+3$。
③解：当纸带长为40cm时，令$y≤40$，即$3x+3≤40$，
解得$x≤\frac{37}{3}\approx12.3$，
∵x为正整数，
∴x的最大值为12。
【答案】
(1)6；(2)①24；②$y=3x+3$；③12个
【知识点】
菱形的性质，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题将几何性质与实际规律探究结合，既考查了菱形对角线的相关计算，又考查了从图形变化中提炼数量关系、建立函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到每新增一个四边形时纸带长度的增量。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是BC边上的一个动点,连接AE.设△ADE的面积是变量y(当A,D,E三点共线时,y=0),BE的长是变量x,小明对变量x和y之间的关系进行了探究,得到了以下数据.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| y | 6 | a | 3 | 1.5 | 0 | 1.5 | 3 | b | 6 |
(1)自变量是什么?
(2)a与b的数量关系是
(3)请写出两个变量之间的函数关系式.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 6 | 7 | 8 || y | 6 | a | 3 | 1.5 | 0 | 1.5 | 3 | b | 6 |
(1)自变量是什么?
(2)a与b的数量关系是
相等
;(填“相等”或“不相等”)(3)请写出两个变量之间的函数关系式.
答案
10.(1)解:自变量是 BE 的长 x.
(2)相等
(3)解:当 $0≤x≤4$ 时,$y=3(4-x)×\frac{1}{2}=6-\frac{3}{2}x$;
当 $4＜x≤8$ 时,$y=3(x-4)×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x-6$.
(2)相等
(3)解:当 $0≤x≤4$ 时,$y=3(4-x)×\frac{1}{2}=6-\frac{3}{2}x$;
当 $4＜x≤8$ 时,$y=3(x-4)×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x-6$.
解析
【分析】
(1)判断自变量可根据变量的变化关系：主动变化的量为自变量，因变量随自变量变化而变化，本题中BE的长x主动变化，△ADE的面积y随x变化，即可确定自变量。
(2)首先从表格中y=0对应x=4，可知此时E与D重合，即BE=BD=4，结合D是BC中点得BC=8；△ADE的高为点A到BC的距离，是定值，面积只与DE的长度有关，分别计算x=1和x=7时DE的长度，即可判断a和b的关系。
(3)先利用x=0时的面积求出A到BC的高，再分E在BD段（0≤x≤4）和E在DC段（4＜x≤8）两种情况，用x表示出DE的长度，结合三角形面积公式写出函数关系式即可。
【解析】
(1) 由变量的定义可知，BE的长x是主动变化的量，△ADE的面积y随x的变化而变化，因此自变量是BE的长x。
(2) 由表格可知当x=4时y=0，即此时A、D、E共线，E与点D重合，因此BD=4。
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=8。
△ADE的高为点A到BC的垂线段长度，为定值，因此面积仅与DE的长度有关。
当x=1时，DE=BD - BE=4-1=3；当x=7时，DE=BE - BD=7-4=3，两段DE长度相等，高相等，因此面积相等，即a=b。
(3) 先求点A到BC的高h：当x=0时，E与B重合，此时DE=BD=4，面积y=6，由三角形面积公式：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × DE × h$，代入得$\frac{1}{2} × 4 × h =6$，解得h=3。
分两种情况讨论：
① 当$0 ≤ x ≤ 4$时，E在线段BD上，$DE=4 - x$，因此$y=\frac{1}{2} × (4-x) × 3 = 6 - \frac{3}{2}x$；
② 当$4 ＜ x ≤ 8$时，E在线段DC上，$DE=x - 4$，因此$y=\frac{1}{2} × (x-4) × 3 = \frac{3}{2}x - 6$。
【答案】
(1) 自变量是 BE 的长 x.
(2) 相等
(3) 当 $0≤x≤4$ 时，$y=6-\frac{3}{2}x$；当 $4＜x≤8$ 时，$y=\frac{3}{2}x-6$.
【知识点】
自变量的定义，三角形面积计算，分段函数
【点评】
本题结合三角形的性质考查函数的相关知识，解题的关键是从表格数据中找到E与D重合的关键点，结合三角形面积公式分情况推导函数关系，需要具备一定的数据分析和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断自变量可根据变量的变化关系：主动变化的量为自变量，因变量随自变量变化而变化，本题中BE的长x主动变化，△ADE的面积y随x变化，即可确定自变量。
(2)首先从表格中y=0对应x=4，可知此时E与D重合，即BE=BD=4，结合D是BC中点得BC=8；△ADE的高为点A到BC的距离，是定值，面积只与DE的长度有关，分别计算x=1和x=7时DE的长度，即可判断a和b的关系。
(3)先利用x=0时的面积求出A到BC的高，再分E在BD段（0≤x≤4）和E在DC段（4＜x≤8）两种情况，用x表示出DE的长度，结合三角形面积公式写出函数关系式即可。
【解析】
(1) 由变量的定义可知，BE的长x是主动变化的量，△ADE的面积y随x的变化而变化，因此自变量是BE的长x。
(2) 由表格可知当x=4时y=0，即此时A、D、E共线，E与点D重合，因此BD=4。
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=8。
△ADE的高为点A到BC的垂线段长度，为定值，因此面积仅与DE的长度有关。
当x=1时，DE=BD - BE=4-1=3；当x=7时，DE=BE - BD=7-4=3，两段DE长度相等，高相等，因此面积相等，即a=b。
(3) 先求点A到BC的高h：当x=0时，E与B重合，此时DE=BD=4，面积y=6，由三角形面积公式：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × DE × h$，代入得$\frac{1}{2} × 4 × h =6$，解得h=3。
分两种情况讨论：
① 当$0 ≤ x ≤ 4$时，E在线段BD上，$DE=4 - x$，因此$y=\frac{1}{2} × (4-x) × 3 = 6 - \frac{3}{2}x$；
② 当$4 ＜ x ≤ 8$时，E在线段DC上，$DE=x - 4$，因此$y=\frac{1}{2} × (x-4) × 3 = \frac{3}{2}x - 6$。
【答案】
(1) 自变量是 BE 的长 x.
(2) 相等
(3) 当 $0≤x≤4$ 时，$y=6-\frac{3}{2}x$；当 $4＜x≤8$ 时，$y=\frac{3}{2}x-6$.
【知识点】
自变量的定义，三角形面积计算，分段函数
【点评】
本题结合三角形的性质考查函数的相关知识，解题的关键是从表格数据中找到E与D重合的关键点，结合三角形面积公式分情况推导函数关系，需要具备一定的数据分析和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
