登录
1. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是 （
A.$ a(a+1)(a-1)=a^3 -a $
B.$ a^2 -2a +1=(a-1)^2 $
C.$ 6x^2y^3=2x^2 · 3y^3 $
D.$ x^2 +1 =x(x+\frac{1}{x}) $
B
）A.$ a(a+1)(a-1)=a^3 -a $
B.$ a^2 -2a +1=(a-1)^2 $
C.$ 6x^2y^3=2x^2 · 3y^3 $
D.$ x^2 +1 =x(x+\frac{1}{x}) $
答案
1.B
解析
【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，判断时要抓住三个关键要点：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的积的形式；③变形前后是恒等变形，左右两边相等。接下来对照这三个要点逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解。
选项A：左边是整式的乘积形式，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：左边是多项式$a^2-2a+1$，右边是$(a-1)^2$，也就是两个整式$(a-1)$的乘积形式，完全符合因式分解的定义，属于因式分解；
选项C：左边的$6x^2y^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
选项D：右边的$x+\frac{1}{x}$中$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法，同时要牢记因式分解的结果中的每一个因式都必须是整式。
【难度系数】
0.85
要判断等式变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，判断时要抓住三个关键要点：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的积的形式；③变形前后是恒等变形，左右两边相等。接下来对照这三个要点逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解。
选项A：左边是整式的乘积形式，右边是多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：左边是多项式$a^2-2a+1$，右边是$(a-1)^2$，也就是两个整式$(a-1)$的乘积形式，完全符合因式分解的定义，属于因式分解；
选项C：左边的$6x^2y^3$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，不属于因式分解；
选项D：右边的$x+\frac{1}{x}$中$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法，同时要牢记因式分解的结果中的每一个因式都必须是整式。
【难度系数】
0.85
2. 运用公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$将整式$9x^2 -12x +4$因式分解，则公式中的a可以是（
A.$3x$
B.$9x$
C.$9x^2$
D.$3x^2$
A
）A.$3x$
B.$9x$
C.$9x^2$
D.$3x^2$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确完全平方差公式的结构特征：公式左边是“两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍”，即$a^2 - 2ab + b^2$，右边是这两个数差的平方$(a-b)^2$。解题时只需要把给出的整式$9x^2-12x+4$和公式左边的结构一一对应，找到对应$a^2$的项，就能确定$a$的取值。我们先看整式首项$9x^2$，它是某个整式的平方，计算可知$(3x)^2=9x^2$，再验证中间项和末项是否符合公式结构：末项$4=2^2$，中间项$-12x$正好等于$-2×3x×2$，完全符合公式结构，因此对应$a$的就是$3x$。
【解析】
首先回顾完全平方差公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
将整式$9x^2 -12x +4$和公式左边对比：
1. 首项：$9x^2 = (3x)^2$，对应公式中的$a^2$；
2. 末项：$4 = 2^2$，对应公式中的$b^2$；
3. 中间项：$-12x = -2 × 3x × 2$，对应公式中的$-2ab$，此处$a=3x$，$b=2$。
因此$9x^2 -12x +4=(3x-2)^2$，公式中的$a$是$3x$。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】
完全平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是准确识别完全平方公式中各部分对应的整式，熟记完全平方公式的结构特征是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确完全平方差公式的结构特征：公式左边是“两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍”，即$a^2 - 2ab + b^2$，右边是这两个数差的平方$(a-b)^2$。解题时只需要把给出的整式$9x^2-12x+4$和公式左边的结构一一对应，找到对应$a^2$的项，就能确定$a$的取值。我们先看整式首项$9x^2$，它是某个整式的平方，计算可知$(3x)^2=9x^2$，再验证中间项和末项是否符合公式结构：末项$4=2^2$，中间项$-12x$正好等于$-2×3x×2$，完全符合公式结构，因此对应$a$的就是$3x$。
【解析】
首先回顾完全平方差公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
将整式$9x^2 -12x +4$和公式左边对比：
1. 首项：$9x^2 = (3x)^2$，对应公式中的$a^2$；
2. 末项：$4 = 2^2$，对应公式中的$b^2$；
3. 中间项：$-12x = -2 × 3x × 2$，对应公式中的$-2ab$，此处$a=3x$，$b=2$。
因此$9x^2 -12x +4=(3x-2)^2$，公式中的$a$是$3x$。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】
完全平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是准确识别完全平方公式中各部分对应的整式，熟记完全平方公式的结构特征是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 把多项式$6a^3b^2 - 3a^2b^2 - 12a^2b^3$因式分解时，应提取的公因式是（
A.$3a^2b$
B.$3ab^2$
C.$3a^3b^3$
D.$3a^2b^2$
D
）A.$3a^2b$
B.$3ab^2$
C.$3a^3b^3$
D.$3a^2b^2$
答案
3.D
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先找各项系数的最大公约数，其次找所有项都包含的相同字母，最后相同字母取次数最低的幂，将三部分组合即可得到公因式。
【解析】
确定公因式分三步进行：
1. 确定系数部分：多项式各项的系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 确定公共字母：观察多项式的三项，都含有的相同字母是a和b；
3. 确定字母的指数：字母a在三项中的次数分别为3、2、2，最低次数为2，取$a^2$；字母b在三项中的次数分别为2、2、3，最低次数为2，取$b^2$；
将三部分组合，得到公因式为$3a^2b^2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定规则，掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判断方法即可快速解题，是学习复杂因式分解的必备基础。
【难度系数】
0.85
要确定多项式提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先找各项系数的最大公约数，其次找所有项都包含的相同字母，最后相同字母取次数最低的幂，将三部分组合即可得到公因式。
【解析】
确定公因式分三步进行：
1. 确定系数部分：多项式各项的系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 确定公共字母：观察多项式的三项，都含有的相同字母是a和b；
3. 确定字母的指数：字母a在三项中的次数分别为3、2、2，最低次数为2，取$a^2$；字母b在三项中的次数分别为2、2、3，最低次数为2，取$b^2$；
将三部分组合，得到公因式为$3a^2b^2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定规则，掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判断方法即可快速解题，是学习复杂因式分解的必备基础。
【难度系数】
0.85
4. 若多项式$x^2+ax+b$分解因式的结果为$(x-2)(x+3)$，则$a,b$的值分别是（
A.$a=1,b=-6$
B.$a=5,b=6$
C.$a=1,b=6$
D.$a=5,b=-6$
A
）A.$a=1,b=-6$
B.$a=5,b=6$
C.$a=1,b=6$
D.$a=5,b=-6$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的运算关系，多项式分解因式的结果乘开后和原多项式完全相等。我们只需将分解后的因式$(x-2)(x+3)$按照多项式乘多项式法则展开，再和原多项式$x^2+ax+b$对比，相同次数项的系数对应相等，就能求出$a$、$b$的值，再对应选选项即可。
【解析】
1. 展开因式：根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项再相加：
$\begin{aligned}(x-2)(x+3)&=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3\\&=x^2+3x-2x-6\\&=x^2+x-6\end{aligned}$
2. 对比系数：因为$x^2+ax+b=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$，等式两边多项式对应项系数相等，可得一次项系数$a=1$，常数项$b=-6$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题考查因式分解相关的基础运算，解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开因式、对比系数求解参数，熟练掌握多项式乘法法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确因式分解和整式乘法是互逆的运算关系，多项式分解因式的结果乘开后和原多项式完全相等。我们只需将分解后的因式$(x-2)(x+3)$按照多项式乘多项式法则展开，再和原多项式$x^2+ax+b$对比，相同次数项的系数对应相等，就能求出$a$、$b$的值，再对应选选项即可。
【解析】
1. 展开因式：根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项再相加：
$\begin{aligned}(x-2)(x+3)&=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3\\&=x^2+3x-2x-6\\&=x^2+x-6\end{aligned}$
2. 对比系数：因为$x^2+ax+b=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$，等式两边多项式对应项系数相等，可得一次项系数$a=1$，常数项$b=-6$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题考查因式分解相关的基础运算，解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，通过展开因式、对比系数求解参数，熟练掌握多项式乘法法则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰。给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（
A.甲:$M-N$
B.乙:$M+N$
C.丙:$N+P$
D.丁:$N-P$
D
）A.甲:$M-N$
B.乙:$M+N$
C.丙:$N+P$
D.丁:$N-P$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先明确三张卡片对应的多项式，再分别计算四个选项中的加减运算结果，随后利用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）判断结果是否能因式分解，无法因式分解的选项即为被淘汰的对象。
【解析】
由题意得：$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$。
A. 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(x^2+5x+12)-(5x+13)\\&=x^2+5x+12-5x-13\\&=x^2-1\\&=(x+1)(x-1)\end{aligned}$
可因式分解，甲不淘汰；
B. 计算$M+N$：
$\begin{aligned}M+N&=(x^2+5x+12)+(5x+13)\\&=x^2+10x+25\\&=(x+5)^2\end{aligned}$
可因式分解，乙不淘汰；
C. 计算$N+P$：
$\begin{aligned}N+P&=(5x+13)+(x^2-13)\\&=x^2+5x\\&=x(x+5)\end{aligned}$
可因式分解，丙不淘汰；
D. 计算$N-P$：
$\begin{aligned}N-P&=(5x+13)-(x^2-13)\\&=5x+13-x^2+13\\&=-x^2+5x+26\end{aligned}$
该式无公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构特征，在有理数范围内无法因式分解，因此丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
1. 整式加减运算
2. 因式分解
3. 乘法公式
【点评】
本题综合考查整式的加减运算和因式分解的判断，解题的关键是准确进行去括号、合并同类项，同时熟练掌握因式分解的常用方法，注意运算过程中符号的处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确三张卡片对应的多项式，再分别计算四个选项中的加减运算结果，随后利用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）判断结果是否能因式分解，无法因式分解的选项即为被淘汰的对象。
【解析】
由题意得：$M=x^2+5x+12$，$N=5x+13$，$P=x^2-13$。
A. 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(x^2+5x+12)-(5x+13)\\&=x^2+5x+12-5x-13\\&=x^2-1\\&=(x+1)(x-1)\end{aligned}$
可因式分解，甲不淘汰；
B. 计算$M+N$：
$\begin{aligned}M+N&=(x^2+5x+12)+(5x+13)\\&=x^2+10x+25\\&=(x+5)^2\end{aligned}$
可因式分解，乙不淘汰；
C. 计算$N+P$：
$\begin{aligned}N+P&=(5x+13)+(x^2-13)\\&=x^2+5x\\&=x(x+5)\end{aligned}$
可因式分解，丙不淘汰；
D. 计算$N-P$：
$\begin{aligned}N-P&=(5x+13)-(x^2-13)\\&=5x+13-x^2+13\\&=-x^2+5x+26\end{aligned}$
该式无公因式，也不符合平方差、完全平方公式的结构特征，在有理数范围内无法因式分解，因此丁被淘汰。
【答案】
D
【知识点】
1. 整式加减运算
2. 因式分解
3. 乘法公式
【点评】
本题综合考查整式的加减运算和因式分解的判断，解题的关键是准确进行去括号、合并同类项，同时熟练掌握因式分解的常用方法，注意运算过程中符号的处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如果$a+b=3,ab=1$,那么$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为（
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）A.0
B.1
C.4
D.9
答案
6.D
解析
【分析】
本题属于代数式求值类题目，解题思路是先对所求代数式进行因式分解，转化为含已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值。第一步先观察代数式各项的公因式，提取公因式后再看剩余部分是否符合公式特征，进一步分解。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1×3^2=1×9=9$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求代数式转化为已知整体的表达形式，简化计算，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式求值类题目，解题思路是先对所求代数式进行因式分解，转化为含已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入计算即可，无需单独求出$a$、$b$的具体值。第一步先观察代数式各项的公因式，提取公因式后再看剩余部分是否符合公式特征，进一步分解。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1×3^2=1×9=9$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求代数式转化为已知整体的表达形式，简化计算，熟练掌握因式分解的常用方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
7. 已知$m$为实数,则整式$m^2(m^2 -1)-m^2 +1$的值（
A.不是负数
B.恒为负数
C.恒为正数
D.不等于0
A
）A.不是负数
B.恒为负数
C.恒为正数
D.不等于0
答案
7.A
解析
【分析】
要判断整式的值的正负性，可先对整式进行因式分解，将其转化为易判断取值范围的形式。首先观察整式结构，发现后两项变形后可与前一部分产生公因式，提取公因式后可得到完全平方的形式，再结合平方的非负性即可判断整式的取值。
【解析】
先对原式变形、因式分解：
$\begin{aligned}m^2(m^2 -1)-m^2 +1&=m^2(m^2 -1)-(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$(m^2 -1)^2≥0$，即该整式的值不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、平方的非负性
【点评】
本题考查因式分解的应用与非负数的性质，解题核心是通过对式子变形提取公因式，将原式转化为完全平方的形式，再利用平方的非负性判断取值，熟练掌握提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断整式的值的正负性，可先对整式进行因式分解，将其转化为易判断取值范围的形式。首先观察整式结构，发现后两项变形后可与前一部分产生公因式，提取公因式后可得到完全平方的形式，再结合平方的非负性即可判断整式的取值。
【解析】
先对原式变形、因式分解：
$\begin{aligned}m^2(m^2 -1)-m^2 +1&=m^2(m^2 -1)-(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)(m^2 -1)\\&=(m^2 -1)^2\end{aligned}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$(m^2 -1)^2≥0$，即该整式的值不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、平方的非负性
【点评】
本题考查因式分解的应用与非负数的性质，解题核心是通过对式子变形提取公因式，将原式转化为完全平方的形式，再利用平方的非负性判断取值，熟练掌握提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.若多项式$a^2+1+△$能直接用完全平方公式进行因式分解，则“$△$”所代表的单项式可以是
2a(答案不唯一)
.(写一个即可)答案
8.2a(答案不唯一)
解析
【分析】
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，包含两个平方项和一个两底数乘积的2倍项（符号可正可负）。本题中多项式已给出$a^2$和$1=1^2$两个平方项，因此只需补充两底数$a$和$1$乘积的2倍项即可，注意符号可正可负，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，将待分解的多项式$a^2+1+△$与公式结构对照：
已知两个平方项为$a^2$和$1^2$，因此缺失的交叉项为$\pm 2× a×1=\pm2a$，
因此$△$可以填2a（或-2a，任选其一即可）。
【答案】
2a（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构的理解与应用，解题时需准确识别公式中的平方项和交叉项，注意交叉项存在正负两种情况，熟练掌握公式是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(m±n)^2=m^2±2mn+n^2$，包含两个平方项和一个两底数乘积的2倍项（符号可正可负）。本题中多项式已给出$a^2$和$1=1^2$两个平方项，因此只需补充两底数$a$和$1$乘积的2倍项即可，注意符号可正可负，任选其一填写即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，将待分解的多项式$a^2+1+△$与公式结构对照：
已知两个平方项为$a^2$和$1^2$，因此缺失的交叉项为$\pm 2× a×1=\pm2a$，
因此$△$可以填2a（或-2a，任选其一即可）。
【答案】
2a（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题主要考查对完全平方公式结构的理解与应用，解题时需准确识别公式中的平方项和交叉项，注意交叉项存在正负两种情况，熟练掌握公式是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
. 答案
9.$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
解析
【分析】
解题时可利用拼图前后面积相等的原理思考：第一步先分别计算左侧四个独立图形的面积，求和得到多项式；第二步计算右侧拼接后大长方形的面积，得到两个整式乘积的形式；第三步根据前后面积相等，即可得到对应的因式分解表达式。
【解析】
首先计算左侧四个图形的总面积：
1. 边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x · x = x^2$
2. 长为$x$、宽为$2$的长方形面积：$S_2 = 2 · x = 2x$
3. 长为$x$、宽为$4$的长方形面积：$S_3 = 4 · x = 4x$
4. 长为$4$、宽为$2$的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
总面积$S = S_1+S_2+S_3+S_4 = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$。
再计算右侧拼接后大长方形的面积：
大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积$S = (x+2)(x+4)$。
由于拼图前后总面积不变，因此可得：$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$，即为所求的因式分解。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解；整式乘法；数形结合
【点评】
本题借助几何拼图的面积恒等关系，直观展现了因式分解和整式乘法的互逆关系，考查对因式分解概念的理解和数形结合思想的应用，形式新颖，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时可利用拼图前后面积相等的原理思考：第一步先分别计算左侧四个独立图形的面积，求和得到多项式；第二步计算右侧拼接后大长方形的面积，得到两个整式乘积的形式；第三步根据前后面积相等，即可得到对应的因式分解表达式。
【解析】
首先计算左侧四个图形的总面积：
1. 边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x · x = x^2$
2. 长为$x$、宽为$2$的长方形面积：$S_2 = 2 · x = 2x$
3. 长为$x$、宽为$4$的长方形面积：$S_3 = 4 · x = 4x$
4. 长为$4$、宽为$2$的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
总面积$S = S_1+S_2+S_3+S_4 = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$。
再计算右侧拼接后大长方形的面积：
大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，因此面积$S = (x+2)(x+4)$。
由于拼图前后总面积不变，因此可得：$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$，即为所求的因式分解。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解；整式乘法；数形结合
【点评】
本题借助几何拼图的面积恒等关系，直观展现了因式分解和整式乘法的互逆关系，考查对因式分解概念的理解和数形结合思想的应用，形式新颖，难度不大。
【难度系数】
0.8
10.已知$m+n=2$，则$m^2 - n^2 + 4n$的值是
4
。答案
10.4
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现含有$m^2-n^2$，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式对该部分因式分解，再将已知条件$m+n=2$整体代入化简，最后对化简后的整式整理，再次整体代入$m+n=2$即可求出结果，无需单独求解m、n的值。
【解析】
解：利用平方差公式对所求式子变形：
$m^2 - n^2 + 4n=(m+n)(m-n)+4n$
将$m+n=2$代入上式，得：
原式$=2(m-n)+4n$
展开并合并同类项：
$=2m-2n+4n$
$=2m+2n$
提取公因式2，得：
$=2(m+n)$
再次代入$m+n=2$，得：
$=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整式化简
【点评】
本题考查因式分解的应用与整体代入的数学思想，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，对代数式合理变形后整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现含有$m^2-n^2$，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式对该部分因式分解，再将已知条件$m+n=2$整体代入化简，最后对化简后的整式整理，再次整体代入$m+n=2$即可求出结果，无需单独求解m、n的值。
【解析】
解：利用平方差公式对所求式子变形：
$m^2 - n^2 + 4n=(m+n)(m-n)+4n$
将$m+n=2$代入上式，得：
原式$=2(m-n)+4n$
展开并合并同类项：
$=2m-2n+4n$
$=2m+2n$
提取公因式2，得：
$=2(m+n)$
再次代入$m+n=2$，得：
$=2×2=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整式化简
【点评】
本题考查因式分解的应用与整体代入的数学思想，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特点，对代数式合理变形后整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8
11. 已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足:$b+c=8,bc=a^2-12a+52$,则
(1)$a=$
(2)$△ ABC$的周长为
(1)$a=$
6
;(2)$△ ABC$的周长为
14
.答案
11.(1)6 (2)14
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，给出了b+c的和与bc关于a的表达式，可利用完全平方公式的变形：$(b - c)^2 = (b + c)^2 - 4bc$，结合平方数的非负性（$(b - c)^2≥0$），将已知条件代入得到关于a的不等式，再通过配方法把关于a的代数式转化为完全平方的形式，根据完全平方的非负性确定a的取值，最后代入计算三角形周长即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：$(b - c)^2 = (b + c)^2 - 4bc$
∵ 平方数是非负数，
∴ $(b - c)^2 ≥ 0$，即 $(b + c)^2 - 4bc ≥ 0$
将$b + c = 8$，$bc = a^2 - 12a + 52$代入上式：
$8^2 - 4(a^2 - 12a + 52) ≥ 0$
计算整理：
$64 - 4a^2 + 48a - 208 ≥ 0$
$-4a^2 + 48a - 144 ≥ 0$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变：
$a^2 - 12a + 36 ≤ 0$
配方得：$(a - 6)^2 ≤ 0$
又
∵ 平方数具有非负性，$(a - 6)^2 ≥ 0$
∴ 只有$(a - 6)^2 = 0$，解得$a = 6$
(2) △ABC的周长为$a + b + c$，已知$b + c = 8$，$a = 6$
∴ 周长$= 6 + 8 = 14$
【答案】
(1)6 (2)14
【知识点】
完全平方公式，配方法，非负数的性质
【点评】
本题是代数综合类题目，核心考查完全平方公式的变形应用与非负数的性质，解题的突破口是结合平方的非负性构造关于a的不等式，再通过配方求解a，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知条件，给出了b+c的和与bc关于a的表达式，可利用完全平方公式的变形：$(b - c)^2 = (b + c)^2 - 4bc$，结合平方数的非负性（$(b - c)^2≥0$），将已知条件代入得到关于a的不等式，再通过配方法把关于a的代数式转化为完全平方的形式，根据完全平方的非负性确定a的取值，最后代入计算三角形周长即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式的变形可得：$(b - c)^2 = (b + c)^2 - 4bc$
∵ 平方数是非负数，
∴ $(b - c)^2 ≥ 0$，即 $(b + c)^2 - 4bc ≥ 0$
将$b + c = 8$，$bc = a^2 - 12a + 52$代入上式：
$8^2 - 4(a^2 - 12a + 52) ≥ 0$
计算整理：
$64 - 4a^2 + 48a - 208 ≥ 0$
$-4a^2 + 48a - 144 ≥ 0$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变：
$a^2 - 12a + 36 ≤ 0$
配方得：$(a - 6)^2 ≤ 0$
又
∵ 平方数具有非负性，$(a - 6)^2 ≥ 0$
∴ 只有$(a - 6)^2 = 0$，解得$a = 6$
(2) △ABC的周长为$a + b + c$，已知$b + c = 8$，$a = 6$
∴ 周长$= 6 + 8 = 14$
【答案】
(1)6 (2)14
【知识点】
完全平方公式，配方法，非负数的性质
【点评】
本题是代数综合类题目，核心考查完全平方公式的变形应用与非负数的性质，解题的突破口是结合平方的非负性构造关于a的不等式，再通过配方求解a，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
