13. 如图,将$△ AEC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得$△ BDC$,连接$AD$,点$A,D,B$在同一条直线上.
(1)求证:$∠ ADE=∠ ACE$;
(2)当$BD=2,AD=6$时,求$DE$的长.

13.解:(1)证明:设$AC,DE$交于点$F$,由旋转的性质,得$CE=CD$,$AC=BC$,$∠ CAE=∠ B$,$∠ DCE=∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ CED=∠ CDE=∠ CAB=∠ B=45°.\because ∠ AFD=∠ EFC,\therefore ∠ ADE=∠ ACE$.
(2)由(1)知,$∠ CAE=∠ B=∠ CAB=45°$,$\therefore ∠ EAD=90°$.由旋转的性质,得$AE=BD=2$,$\because AD=6$,$\therefore DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$.

【分析】
(1) 要证明∠ADE=∠ACE，首先结合旋转的性质，可得旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等，进而推出△DCE和△ACB都是等腰直角三角形，底角均为45°。观察两个角所在的三角形，可借助对顶角相等和三角形内角和定理，推导得到两角相等。
(2) 求DE的长度，先根据(1)的结论推导∠EAD为直角，确定△EAD是直角三角形，再结合旋转的性质得到AE的长度，最后用勾股定理计算DE即可。
【解析】
(1) 证明：设AC、DE交于点F，由旋转的性质，得$CE=CD$，$AC=BC$，$∠CAE=∠B$，$∠DCE=∠ACB=90°$，
∴ △DCE和△ACB均为等腰直角三角形，
∴ $∠CED=∠CDE=∠CAB=∠B=45°$，
∵ $∠AFD=∠EFC$（对顶角相等），
在△AFD中，$∠ADE + ∠CAB + ∠AFD = 180°$，
在△EFC中，$∠ACE + ∠CED + ∠EFC = 180°$，
∴ $∠ADE=∠ACE$。
(2) 解：由(1)知，$∠CAE=∠B=∠CAB=45°$，
∴ $∠EAD = ∠CAE + ∠CAB = 45° + 45° = 90°$，即△EAD为直角三角形，
由旋转的性质，得$AE=BD=2$，
又
∵ $AD=6$，
∴ 在Rt△EAD中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $DE$的长为$2\sqrt{10}$。
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转相关的典型题型，解题核心是抓住旋转前后图形的对应关系，快速得到相等的边和角，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解，能有效考查学生的几何推理能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图,在等边三角形ABC的内部有一点D,连接BD,CD,以点B为中心,把BD逆时针旋转60°得到BD',连接AD',DD'.以点C为中心,把CD顺时针旋转60°得到CD'',连接AD'',DD''.
(1)判断∠D'BA和∠DBC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:D'A=DC;
(3)求证:四边形AD'DD''是平行四边形.

14.解:(1)$∠ D'BA=∠ DBC$. 理由:由旋转的性质,得$∠ DBD'=60°$,$BD=BD'$,$\therefore △ BDD'$为等边三角形. $\therefore DD'=BD$.
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ ABC=60°$,$BA=BC$.$\because ∠ D'BA+∠ ABD=60°$,$∠ ABD+∠ DBC=60°$,$\therefore ∠ D'BA=∠ DBC$.
(2)证明:在$△ ABD'$和$△ CBD$中,$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABD'=∠ CBD, \\ BD'=BD, \end{cases}$$\therefore △ ABD'≌ △ CBD(\mathrm{SAS}).\therefore D'A=DC$.
(3)证明:由旋转的性质,得$∠ DCD''=60°$,$CD=CD''$,$\therefore △ DCD''$为等边三角形. $\therefore DD''=DC$.$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°$,$CA=CB$.$\because ∠ D''CA+∠ ACD=60°$,$∠ ACD+∠ DCB=60°$,$\therefore ∠ D''CA=∠ DCB$. 在$△ ACD''$和$△ BCD$中,
$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ ACD''=∠ BCD, \\ CD''=CD, \end{cases}$$\therefore △ ACD''≌ △ BCD(\mathrm{SAS}).\therefore AD''=BD$.
$\therefore DD'=AD''$.$\because DD''=DC=AD'$,$\therefore$ 四边形$AD'DD''$是平行四边形.

【分析】
(1) 要判断∠D'BA和∠DBC的大小，首先根据旋转的性质可得∠DBD'=60°，再结合等边△ABC的∠ABC=60°，两个角都包含∠ABD，利用角的和差关系即可推导两个角相等。
(2) 要证D'A=DC，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。结合(1)得到的角相等，再利用等边三角形AB=BC、旋转得到BD'=BD的条件，用SAS判定△ABD'≌△CBD，即可得到对应边相等。
(3) 要证四边形AD'DD''是平行四边形，可通过证明两组对边分别相等推导。类比前两问的思路，先证△ACD''≌△BCD得到AD''=BD，结合旋转得到的等边△BDD'可得DD'=BD，即DD'=AD''；再由旋转得到等边△DCD''得DD''=DC，结合(2)的结论D'A=DC，即DD''=AD'，两组对边分别相等即可判定平行四边形。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠D'BA=∠DBC}$，理由如下：
由旋转的性质，得$∠DBD'=60°$，$BD=BD'$，$\therefore △ BDD'$为等边三角形。
$\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore ∠ABC=60°$，$BA=BC$。
$\because ∠D'BA+∠ABD=60°$，$∠ABD+∠DBC=60°$，
$\therefore ∠D'BA=∠DBC$。
(2) 证明：在$△ ABD'$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD'=∠CBD, \\ BD'=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD'≌△ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore D'A=DC$。
(3) 证明：由旋转的性质，得$∠DCD''=60°$，$CD=CD''$，$\therefore △ DCD''$为等边三角形，$\therefore DD''=DC$。
$\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore ∠ACB=60°$，$CA=CB$。
$\because ∠D''CA+∠ACD=60°$，$∠ACD+∠DCB=60°$，
$\therefore ∠D''CA=∠DCB$。
在$△ ACD''$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD''=∠BCD, \\ CD''=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD''≌△ BCD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD''=BD$。
结合(1)中$△ BDD'$为等边三角形得$DD'=BD$，$\therefore DD'=AD''$。
结合(2)的结论$D'A=DC$，得$DD''=AD'$，
$\therefore$ 四边形$AD'DD''$两组对边分别相等，是平行四边形。
【答案】
(1) $∠D'BA=∠DBC$；
(2) $D'A=DC$；
(3) 四边形$AD'DD''$是平行四边形。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合类基础题，融合了旋转、等边三角形、全等三角形、平行四边形判定多个知识点，解题关键是利用旋转的性质得到相等的边和角，构造全等三角形推导边的等量关系，熟练掌握相关性质定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7