12. 分解因式：
(1) $a^3b - 2a^2b^2 + ab^3$；
(2) $a^2(x - y) + b^2(y - x)$。

12.解:(1)原式=$ab(a-b)^2$. (2)原式=$(x-y)(a-b)(a+b)$.

【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的原则：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步提取公因式后观察剩余部分是否符合乘法公式的结构，若符合就套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每一个因式都不能再分解为止。
第(1)题先找各项的公因式，提取后剩余部分是完全平方式，套用完全平方公式即可；第(2)题先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，构造出公因式$(x-y)$，提取后剩余部分符合平方差公式结构，再套用平方差公式分解。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$ab$：
原式$=ab(a^2 - 2ab + b^2)$
第二步套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
$=ab(a-b)^2$
(2) 第一步变形构造公因式：将$y-x=-(x-y)$代入原式，得
原式$=a^2(x-y) - b^2(x-y)$
第二步提取公因式$(x-y)$：
$=(x-y)(a^2 - b^2)$
第三步套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
$=(x-y)(a-b)(a+b)$
【答案】
(1) $ab(a-b)^2$；(2) $(x-y)(a-b)(a+b)$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要注意公因式要提全，变形时符号不要出错，最后要确认所有因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75

13. 用简便方法计算：
(1) $1.99^2 + 1.99 × 0.01$；
(2) $84^2 - 28 × 84 + 14^2$。

13.解:(1)原式=3.98. (2)原式=4 900.

【分析】
本题可通过因式分解简化计算，避免直接计算高次幂：
(1)观察式子发现两项都含有公因式1.99，优先考虑提取公因式，将剩余部分合并凑整后再计算；
(2)观察式子结构，存在两个平方项$84^2$、$14^2$，中间项$28×84$可变形为$2×84×14$，符合完全平方差公式的结构特征，套用公式简化计算即可。
【解析】
(1) 提取公因式$1.99$：
原式$=1.99×(1.99 + 0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$
(2) 先将中间项变形，套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
原式$=84^2 - 2×84×14 + 14^2$
$=(84 - 14)^2$
$=70^2$
$=4900$
【答案】
(1) $\boxed{3.98}$；(2) $\boxed{4900}$
【知识点】
提取公因式，完全平方公式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解用于简便运算的典型题型，解题关键是观察式子的结构特征，匹配对应的因式分解方法，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

14. 下面是某同学对多项式$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x + 2) + 1$进行因式分解的过程：
解:设$x^2 - 2x = y$.
原式$=y(y + 2) + 1$ ……………………………………………………第一步
$=y^2 + 2y + 1$ ……………………………………………………第二步
$=(y + 1)^2$ ……………………………………………………第三步
$=(x^2 - 2x + 1)^2$. ……………………………………………………第四步
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了 ()
A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,则该因式分解的最终结果为 ;
(3)请你模仿上述方法,对多项式$(x^2 - 2)(x^2 - 6) + 4$进行因式分解.

14.解:(1)C (2)不彻底 $(x-1)^4$
(3)设$x^2-2=y$,则原式$=y(y-4)+4=y^2-4y+4=(y-2)^2=(x^2-2-2)^2=(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2$,即$(x^2-2)(x^2-6)+4=(x-2)^2(x+2)^2$.

【分析】
(1) 观察第二步到第三步的变形：$y^2+2y+1$转化为$(y+1)^2$，结合因式分解常用公式判断，该变形符合完全平方公式的结构特征，即可选出正确选项；
(2) 因式分解要求最终结果中每个多项式因式都不能再分解，第四步结果$(x^2-2x+1)^2$中，括号内的$x^2-2x+1$仍可利用完全平方公式继续分解，因此原结果不彻底，进一步分解即可得到最终结果；
(3) 模仿题干的换元法，观察多项式$(x^2 - 2)(x^2 - 6) + 4$的结构，两个括号均含$x^2$项，可设$x^2-2=y$，将原式转化为关于$y$的多项式，展开后利用公式分解，最后换回关于$x$的式子，继续分解到不能再分解为止即可。
【解析】
(1) 第二步得到$y^2+2y+1$，第三步变形为$(y+1)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，因此运用了完全平方公式，故选C。
(2) 第四步的结果为$(x^2 - 2x + 1)^2$，其中$x^2-2x+1=(x-1)^2$，还能继续分解，因此该同学因式分解的结果不彻底；继续分解得：$(x^2 - 2x + 1)^2=[(x-1)^2]^2=(x-1)^4$。
(3) 设$x^2-2=y$，则$x^2-6=y-4$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=y(y-4)+4\\&=y^2-4y+4\\&=(y-2)^2\end{aligned}$
将$y=x^2-2$代回，继续分解：
$\begin{aligned}原式&=(x^2-2-2)^2\\&=(x^2-4)^2\\&=[(x-2)(x+2)]^2\\&=(x-2)^2(x+2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)C；(2)不彻底，$(x-1)^4$；(3)$(x-2)^2(x+2)^2$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题重点考察因式分解中换元法的应用，需注意因式分解的最终要求是每个多项式因式都不能再分解，熟练掌握完全平方公式、平方差公式等常用因式分解公式是解题核心。
【难度系数】
0.7