15.【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子来表示数,由此发现了一系列的形数. 如图1,当小石子的数是1,3,6,…时,小石子能摆成三角形,这些数叫三角形数. 如图2,当小石子的数是1,4,9,…时,小石子能摆成正方形,这些数叫正方形数.

【规律发现】
(1)图1中,第n个三角形数是;图2中,第n个正方形数是;(请用含n的式子表示)
【猜想验证】
(2)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系:1+3=4,6+10=16,请证明:任意两个相邻的三角形数之和是正方形数.

15.解:(1)$\frac{n(n+1)}{2}$ $n^2$
(2)证明:设任意两个三角形数为第$k$个数和第$(k+1)$个数,
则$\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)}{2}[k+(k+2)]=\frac{(k+1)}{2}(2k+2)=(k+1)^2$.
∴任意第$k$个数和第$(k+1)$个三角形数之和恰等于第$(k+1)$个正方形数,即任意两个相邻三角形数之和是正方形数.

【分析】
(1) 规律探究类问题可先从已知的前几个特殊值入手，归纳共同特征推导一般规律：
观察图1的三角形数：第1个为$1=\frac{1×2}{2}$，第2个为$3=\frac{2×3}{2}$，第3个为$6=\frac{3×4}{2}$，第4个为$10=\frac{4×5}{2}$，可归纳出第n个三角形数的表达式；
观察图2的正方形数：第1个为$1=1^2$，第2个为$4=2^2$，第3个为$9=3^2$，第4个为$16=4^2$，可归纳出第n个正方形数的表达式。
(2) 要证明相邻两个三角形数之和为正方形数，先设相邻两个三角形数为第k个和第(k+1)个，代入(1)中得到的表达式求和，再通过提取公因式等方法化简，验证化简结果为某个整数的平方即可。
【解析】
(1) 分析图1的三角形数规律：第n个三角形数是从1到n的正整数之和，即$\frac{n(n+1)}{2}$；
分析图2的正方形数规律：第n个正方形数是n的平方，即$n^2$。
(2) 证明：设相邻两个三角形数分别为第$k$个和第$(k+1)$个（k为正整数），
两数相加得：
$\begin{aligned}\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}&=\frac{(k+1)}{2}[k+(k+2)]\\&=\frac{(k+1)}{2}(2k+2)\\&=(k+1)^2\end{aligned}$
$(k+1)^2$就是第$(k+1)$个正方形数，故结论成立。
【答案】
(1)$\frac{n(n+1)}{2}$；$n^2$
(2)设任意两个三角形数为第$k$个数和第$(k+1)$个数,则$\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)}{2}[k+(k+2)]=\frac{(k+1)}{2}(2k+2)=(k+1)^2$。
∴任意第$k$个数和第$(k+1)$个三角形数之和恰等于第$(k+1)$个正方形数,即任意两个相邻三角形数之和是正方形数。
【知识点】
数字规律探究，因式分解的应用，整式化简
【点评】
本题以经典的形数问题为载体，既考查了学生从特殊到一般的规律归纳能力，又考查了整式运算、因式分解的实际应用，渗透了数形结合的思想，能很好地锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7