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1. 二次函数$y=ax^2$的图象如图所示. 该函数的关系式为
$y=\frac{3}{4}x^2$
. 如果另一个函数的图象与该图象关于$x$轴对称,那么这个函数的关系式为$y=-\frac{3}{4}x^2$
. 答案
1. $y=\frac{3}{4}x^2$，$y=-\frac{3}{4}x^2$
解析
【分析】
要确定二次函数$y=ax^2$的关系式，只需找到图象上一个已知点的坐标，代入解析式求出参数$a$即可；求与该图象关于$x$轴对称的函数关系式时，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，将原函数中的$y$替换为$-y$，整理后即可得到对称后的函数解析式。
【解析】
1. 求原二次函数的关系式：
由图象可得，二次函数$y=ax^2$过点$(2,3)$，将$x=2$，$y=3$代入解析式得：
$\begin{aligned}3 &= a×2^2 \\4a &= 3 \\a&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
因此原函数关系式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
2. 求关于$x$轴对称的函数的关系式：
若两个函数图象关于$x$轴对称，则对称后函数上任意一点$(x,y)$的对应对称点$(x,-y)$在原函数图象上，将$(x,-y)$代入原函数解析式得：
$\begin{aligned}-y&=\frac{3}{4}x^2 \\y&=-\frac{3}{4}x^2\end{aligned}$
【答案】
$y=\frac{3}{4}x^2$；$y=-\frac{3}{4}x^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；函数轴对称变换
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2$类解析式的求解方法，以及函数关于坐标轴对称的变换规律，掌握基础性质、细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数$y=ax^2$的关系式，只需找到图象上一个已知点的坐标，代入解析式求出参数$a$即可；求与该图象关于$x$轴对称的函数关系式时，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，将原函数中的$y$替换为$-y$，整理后即可得到对称后的函数解析式。
【解析】
1. 求原二次函数的关系式：
由图象可得，二次函数$y=ax^2$过点$(2,3)$，将$x=2$，$y=3$代入解析式得：
$\begin{aligned}3 &= a×2^2 \\4a &= 3 \\a&=\frac{3}{4}\end{aligned}$
因此原函数关系式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
2. 求关于$x$轴对称的函数的关系式：
若两个函数图象关于$x$轴对称，则对称后函数上任意一点$(x,y)$的对应对称点$(x,-y)$在原函数图象上，将$(x,-y)$代入原函数解析式得：
$\begin{aligned}-y&=\frac{3}{4}x^2 \\y&=-\frac{3}{4}x^2\end{aligned}$
【答案】
$y=\frac{3}{4}x^2$；$y=-\frac{3}{4}x^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；函数轴对称变换
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2$类解析式的求解方法，以及函数关于坐标轴对称的变换规律，掌握基础性质、细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
2. 直线$y=kx+b$与抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，当$OA⊥ OB$时，直线AB恒过一个定点，该定点的坐标为
$(0,4)$
。答案
2. $(0,4)$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，联立直线与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理（根与系数的关系）写出两根$x_1、x_2$的乘积和直线参数b的关系；第二步，根据OA⊥OB的性质，结合点在抛物线上的坐标特征，推导得到$x_1x_2$的定值；第三步，将$x_1x_2$的定值代入韦达定理的乘积式，求出b的定值，再分析直线方程找到与参数k无关的定点。
思考逻辑：两函数的交点坐标就是联立方程的解，垂直关系可转化为坐标的乘积关系，最终通过消去参数k找到恒成立的点。
【解析】
1. 联立方程求根与系数的关系
将$y=kx+b$代入抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$，整理得：
$x^2-4kx-4b=0$
由韦达定理可得：$x_1+x_2=4k$，$x_1x_2=-4b$。
2. 利用垂直条件建立坐标关系
因为OA⊥OB，且A、B不与原点重合，所以直线OA、OB斜率乘积为-1，即：
$\frac{y_1}{x_1} · \frac{y_2}{x_2}=-1$，化简得$y_1y_2=-x_1x_2$。
3. 结合抛物线方程求$x_1x_2$的定值
因为A、B在抛物线上，所以$y_1=\frac{1}{4}x_1^2$，$y_2=\frac{1}{4}x_2^2$，代入$y_1y_2=-x_1x_2$得：
$\frac{1}{16}(x_1x_2)^2=-x_1x_2$
提取公因式得$x_1x_2(\frac{1}{16}x_1x_2+1)=0$，因为$x_1x_2≠0$，所以解得$x_1x_2=-16$。
4. 求b的定值，确定定点
将$x_1x_2=-16$代入$x_1x_2=-4b$，得$-4b=-16$，解得$b=4$。
因此直线AB的方程为$y=kx+4$，当$x=0$时，$y=4$，取值与k无关，即直线恒过定点$(0,4)$。
【答案】
$(0,4)$
【知识点】
二次函数交点问题、韦达定理、一次函数定点
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的经典综合题型，核心是通过垂直条件建立参数关系，消去动参数找到恒成立的定点，熟练掌握根与系数的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，联立直线与抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理（根与系数的关系）写出两根$x_1、x_2$的乘积和直线参数b的关系；第二步，根据OA⊥OB的性质，结合点在抛物线上的坐标特征，推导得到$x_1x_2$的定值；第三步，将$x_1x_2$的定值代入韦达定理的乘积式，求出b的定值，再分析直线方程找到与参数k无关的定点。
思考逻辑：两函数的交点坐标就是联立方程的解，垂直关系可转化为坐标的乘积关系，最终通过消去参数k找到恒成立的点。
【解析】
1. 联立方程求根与系数的关系
将$y=kx+b$代入抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$，整理得：
$x^2-4kx-4b=0$
由韦达定理可得：$x_1+x_2=4k$，$x_1x_2=-4b$。
2. 利用垂直条件建立坐标关系
因为OA⊥OB，且A、B不与原点重合，所以直线OA、OB斜率乘积为-1，即：
$\frac{y_1}{x_1} · \frac{y_2}{x_2}=-1$，化简得$y_1y_2=-x_1x_2$。
3. 结合抛物线方程求$x_1x_2$的定值
因为A、B在抛物线上，所以$y_1=\frac{1}{4}x_1^2$，$y_2=\frac{1}{4}x_2^2$，代入$y_1y_2=-x_1x_2$得：
$\frac{1}{16}(x_1x_2)^2=-x_1x_2$
提取公因式得$x_1x_2(\frac{1}{16}x_1x_2+1)=0$，因为$x_1x_2≠0$，所以解得$x_1x_2=-16$。
4. 求b的定值，确定定点
将$x_1x_2=-16$代入$x_1x_2=-4b$，得$-4b=-16$，解得$b=4$。
因此直线AB的方程为$y=kx+4$，当$x=0$时，$y=4$，取值与k无关，即直线恒过定点$(0,4)$。
【答案】
$(0,4)$
【知识点】
二次函数交点问题、韦达定理、一次函数定点
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的经典综合题型，核心是通过垂直条件建立参数关系，消去动参数找到恒成立的定点，熟练掌握根与系数的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
3. 已知点$A(-1,y_1),B(-2,y_2),C(-\sqrt{2},y_3)$在函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_2＞y_3＞y_1$
D
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_2＞y_3＞y_1$
答案
3. D
解析
【分析】要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，首先回忆二次函数$y=ax^2$的性质：本题中$a=\frac{1}{4}＞0$，函数图象开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。我们可以通过两种思路解题：思路1：先比较三个点横坐标的大小，结合$x＜0$时函数的增减性直接判断$y$值的大小；思路2：将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y$值后直接比较大小。
【解析】方法一（利用函数增减性）：
首先对三个点的横坐标从小到大排序：$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -1$，三个点都在对称轴$x=0$的左侧。
因为$y=\frac{1}{4}x^2$中$a=\frac{1}{4}＞0$，在$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，所以横坐标越小，对应的函数值越大，因此$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二（代入计算法）：
将各点横坐标代入$y=\frac{1}{4}x^2$：
$y_1=\frac{1}{4}×(-1)^2=\frac{1}{4}$，
$y_2=\frac{1}{4}×(-2)^2=\frac{1}{4}×4=1$，
$y_3=\frac{1}{4}×(-\sqrt{2})^2=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$，
因为$1＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】本题是二次函数性质的基础应用，既可以通过代入计算直接得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，解题的核心是熟练掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向、对称轴和增减性规律。
【难度系数】0.8
【解析】方法一（利用函数增减性）：
首先对三个点的横坐标从小到大排序：$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -1$，三个点都在对称轴$x=0$的左侧。
因为$y=\frac{1}{4}x^2$中$a=\frac{1}{4}＞0$，在$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，所以横坐标越小，对应的函数值越大，因此$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二（代入计算法）：
将各点横坐标代入$y=\frac{1}{4}x^2$：
$y_1=\frac{1}{4}×(-1)^2=\frac{1}{4}$，
$y_2=\frac{1}{4}×(-2)^2=\frac{1}{4}×4=1$，
$y_3=\frac{1}{4}×(-\sqrt{2})^2=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$，
因为$1＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】1.二次函数$y=ax^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】本题是二次函数性质的基础应用，既可以通过代入计算直接得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，解题的核心是熟练掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向、对称轴和增减性规律。
【难度系数】0.8
4. 对于函数$y=x^2$，由其图象可知，下列判断中，正确的是（
A.若$m,n$互为相反数，则$x=m$与$x=n$对应的函数值相等
B.对于同一自变量$x$，有两个函数值与之对应
C.对于任意一个实数$y$，有两个$x$值与之对应
D.对于任何实数$x$，都有$y＞0$
A
）A.若$m,n$互为相反数，则$x=m$与$x=n$对应的函数值相等
B.对于同一自变量$x$，有两个函数值与之对应
C.对于任意一个实数$y$，有两个$x$值与之对应
D.对于任何实数$x$，都有$y＞0$
答案
4. A
解析
【分析】
解答本题需结合二次函数$y=x^2$的图象性质、函数的基本定义，对四个选项逐一验证判断：首先回忆$y=x^2$的核心特征：图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点在原点，函数值$y≥0$；再结合“每个自变量x对应唯一函数值”的函数定义，分别对各选项分析即可排除错误选项，锁定正确答案。
【解析】
先明确二次函数$y=x^2$的基本性质：图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点为$(0,0)$，对任意实数$x$，$y=x^2≥0$，且每个确定的自变量$x$对应唯一的函数值$y$。
对各选项逐一分析：
选项A：若$m$、$n$互为相反数，则$n=-m$。当$x=m$时，$y=m^2$；当$x=n=-m$时，$y=(-m)^2=m^2$，二者函数值相等，该选项正确。
选项B：根据函数的定义，对于同一自变量$x$，只能有唯一的函数值与之对应，该选项错误。
选项C：当$y=0$时，仅存在$x=0$一个对应的值，并非任意实数$y$都有两个$x$值对应，该选项错误。
选项D：当$x=0$时，$y=0$，因此不是对所有实数$x$都有$y＞0$，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的定义；平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，需结合定义和特殊值逐一排查选项，属于基础题，熟练掌握二次函数的对称性、取值范围等核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解答本题需结合二次函数$y=x^2$的图象性质、函数的基本定义，对四个选项逐一验证判断：首先回忆$y=x^2$的核心特征：图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点在原点，函数值$y≥0$；再结合“每个自变量x对应唯一函数值”的函数定义，分别对各选项分析即可排除错误选项，锁定正确答案。
【解析】
先明确二次函数$y=x^2$的基本性质：图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点为$(0,0)$，对任意实数$x$，$y=x^2≥0$，且每个确定的自变量$x$对应唯一的函数值$y$。
对各选项逐一分析：
选项A：若$m$、$n$互为相反数，则$n=-m$。当$x=m$时，$y=m^2$；当$x=n=-m$时，$y=(-m)^2=m^2$，二者函数值相等，该选项正确。
选项B：根据函数的定义，对于同一自变量$x$，只能有唯一的函数值与之对应，该选项错误。
选项C：当$y=0$时，仅存在$x=0$一个对应的值，并非任意实数$y$都有两个$x$值对应，该选项错误。
选项D：当$x=0$时，$y=0$，因此不是对所有实数$x$都有$y＞0$，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；函数的定义；平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数基础性质的应用，需结合定义和特殊值逐一排查选项，属于基础题，熟练掌握二次函数的对称性、取值范围等核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
5. 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，$y=x^2$，$y=-x^2$的共同性质是：① 都是开口向上；② 都以点$(0,0)$为顶点；③ 都以$y$轴为对称轴；④ 都关于$x$轴对称。其中正确的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5. B
解析
【分析】
要判断三个抛物线的共同性质正确的个数，需结合二次函数$y=ax^2$的基本性质，逐一验证4个结论是否成立：首先明确$y=ax^2$的开口方向由$a$的符号决定，顶点恒为$(0,0)$，对称轴恒为$y$轴，再对应三个抛物线的参数逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$的二次项系数为正，开口向上；$y=-x^2$的二次项系数为负，开口向下，因此不是都开口向上，①错误。
2. 结论②：形如$y=ax^2$的二次函数顶点坐标均为$(0,0)$，因此三个抛物线都以原点为顶点，②正确。
3. 结论③：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此三个抛物线都以$y$轴为对称轴，③正确。
4. 结论④：三个抛物线均关于$y$轴对称，不关于$x$轴对称，例如$y=x^2$上的点$(1,1)$关于$x$轴的对称点$(1,-1)$不在抛物线上，④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题的关键是牢记二次项系数$a$对开口方向的影响，以及$y=ax^2$固定的顶点、对称轴特征，熟练掌握基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断三个抛物线的共同性质正确的个数，需结合二次函数$y=ax^2$的基本性质，逐一验证4个结论是否成立：首先明确$y=ax^2$的开口方向由$a$的符号决定，顶点恒为$(0,0)$，对称轴恒为$y$轴，再对应三个抛物线的参数逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 结论①：$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$的二次项系数为正，开口向上；$y=-x^2$的二次项系数为负，开口向下，因此不是都开口向上，①错误。
2. 结论②：形如$y=ax^2$的二次函数顶点坐标均为$(0,0)$，因此三个抛物线都以原点为顶点，②正确。
3. 结论③：形如$y=ax^2$的二次函数对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此三个抛物线都以$y$轴为对称轴，③正确。
4. 结论④：三个抛物线均关于$y$轴对称，不关于$x$轴对称，例如$y=x^2$上的点$(1,1)$关于$x$轴的对称点$(1,-1)$不在抛物线上，④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题的关键是牢记二次项系数$a$对开口方向的影响，以及$y=ax^2$固定的顶点、对称轴特征，熟练掌握基础知识点就能快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数 $y=ax^2$ 的图象经过点 $A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8}),B(3,m)$.
(1) 求 $a$ 与 $m$ 的值；
(2) 写出该图象上点 $B$ 的对称点的坐标；
(3) 当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？
(4) 当 $x$ 取何值时，$y$ 有最大值（或最小值）？
(1) 求 $a$ 与 $m$ 的值；
(2) 写出该图象上点 $B$ 的对称点的坐标；
(3) 当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？
(4) 当 $x$ 取何值时，$y$ 有最大值（或最小值）？
答案
6. (1) $a=-\dfrac{1}{2}$，$m=-\dfrac{9}{2}$ (2) $(-3,-\dfrac{9}{2})$ (3) $x＞0$ (4) $x=0$时，最大值为0.
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点坐标满足函数解析式，先将点A坐标代入$y=ax^2$即可求出$a$的值，确定函数解析式后，再把点B的横坐标代入解析式就能计算出$m$的值；
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点坐标特征是横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可直接写出B点的对称点坐标；
(3) 先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，$a＜0$时开口向下，开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，结合对称轴为$x=0$即可得到对应$x$的取值范围；
(4) 开口向下的抛物线顶点是最高点，函数存在最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，即可确定最值对应的$x$值。
【解析】
(1) 将点$A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8})$代入$y=ax^2$，得：
$a×(\dfrac{1}{2})^2=-\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$
则二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
将$B(3,m)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得：
$m=-\dfrac{1}{2}×3^2=-\dfrac{9}{2}$
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，因此$B(3,-\dfrac{9}{2})$的对称点坐标为$(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3) 由$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 开口向下的抛物线顶点为最高点，该抛物线顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为0。
【答案】
(1) $a=-\dfrac{1}{2}$，$m=-\dfrac{9}{2}$
(2) $(-3,-\dfrac{9}{2})$
(3) $x＞0$
(4) 当$x=0$时，$y$有最大值为0
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的核心性质设计考点，熟练掌握其开口方向、对称轴、增减性、最值的相关规律，即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
(1) 函数图象上的点坐标满足函数解析式，先将点A坐标代入$y=ax^2$即可求出$a$的值，确定函数解析式后，再把点B的横坐标代入解析式就能计算出$m$的值；
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，关于y轴对称的点坐标特征是横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可直接写出B点的对称点坐标；
(3) 先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，$a＜0$时开口向下，开口向下的抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，结合对称轴为$x=0$即可得到对应$x$的取值范围；
(4) 开口向下的抛物线顶点是最高点，函数存在最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，即可确定最值对应的$x$值。
【解析】
(1) 将点$A(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8})$代入$y=ax^2$，得：
$a×(\dfrac{1}{2})^2=-\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{1}{4}a=-\dfrac{1}{8}$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$
则二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
将$B(3,m)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2$，得：
$m=-\dfrac{1}{2}×3^2=-\dfrac{9}{2}$
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，因此$B(3,-\dfrac{9}{2})$的对称点坐标为$(-3,-\dfrac{9}{2})$。
(3) 由$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 开口向下的抛物线顶点为最高点，该抛物线顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为0。
【答案】
(1) $a=-\dfrac{1}{2}$，$m=-\dfrac{9}{2}$
(2) $(-3,-\dfrac{9}{2})$
(3) $x＞0$
(4) 当$x=0$时，$y$有最大值为0
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的核心性质设计考点，熟练掌握其开口方向、对称轴、增减性、最值的相关规律，即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
