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4. 在同一平面直角坐标系中，作出函数：① $y=-3x^2$；② $y=3x^2$；③ $y=\frac{1}{2}x^2$；④ $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的图象，并根据图象回答问题：
（1）当 $x=2$ 时，$y=\frac{1}{2}x^2$ 比 $y=3x^2$ 大（或小）多少？
（2）当 $x=-2$ 时，$y=-\frac{1}{2}x^2$ 比 $y=-3x^2$ 大（或小）多少？
（1）当 $x=2$ 时，$y=\frac{1}{2}x^2$ 比 $y=3x^2$ 大（或小）多少？
（2）当 $x=-2$ 时，$y=-\frac{1}{2}x^2$ 比 $y=-3x^2$ 大（或小）多少？
答案
4. 图象略 (1) 小10 (2) 大10
解析
【分析】
解题核心思路是代入求值后作差比较：首先明确两个小问均是求同一x取值下两个二次函数的函数值差值，只需先将给定的x值分别代入对应两个函数的解析式，计算出各自的函数值，再计算两个函数值的差，根据差的正负即可判断前者比后者大还是小多少。另外二次函数$y=ax^2$中x为平方项，x取互为相反数的两个值时$x^2$结果相同，可简化运算。
【解析】
（1）当$x=2$时：
代入$y=\frac{1}{2}x^2$得：$y_1=\frac{1}{2}×2^2=\frac{1}{2}×4=2$
代入$y=3x^2$得：$y_2=3×2^2=3×4=12$
作差得$y_1-y_2=2-12=-10＜0$，因此$y=\frac{1}{2}x^2$比$y=3x^2$小10。
（2）当$x=-2$时：
代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$y_3=-\frac{1}{2}×(-2)^2=-\frac{1}{2}×4=-2$
代入$y=-3x^2$得：$y_4=-3×(-2)^2=-3×4=-12$
作差得$y_3-y_4=-2-(-12)=10＞0$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2$比$y=-3x^2$大10。
（图象略）
【答案】
图象略；(1)小10；(2)大10
【知识点】
二次函数值计算；有理数运算；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查代入求值的运算能力，计算时注意平方运算的非负性和符号处理，掌握基本的函数值求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题核心思路是代入求值后作差比较：首先明确两个小问均是求同一x取值下两个二次函数的函数值差值，只需先将给定的x值分别代入对应两个函数的解析式，计算出各自的函数值，再计算两个函数值的差，根据差的正负即可判断前者比后者大还是小多少。另外二次函数$y=ax^2$中x为平方项，x取互为相反数的两个值时$x^2$结果相同，可简化运算。
【解析】
（1）当$x=2$时：
代入$y=\frac{1}{2}x^2$得：$y_1=\frac{1}{2}×2^2=\frac{1}{2}×4=2$
代入$y=3x^2$得：$y_2=3×2^2=3×4=12$
作差得$y_1-y_2=2-12=-10＜0$，因此$y=\frac{1}{2}x^2$比$y=3x^2$小10。
（2）当$x=-2$时：
代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$y_3=-\frac{1}{2}×(-2)^2=-\frac{1}{2}×4=-2$
代入$y=-3x^2$得：$y_4=-3×(-2)^2=-3×4=-12$
作差得$y_3-y_4=-2-(-12)=10＞0$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2$比$y=-3x^2$大10。
（图象略）
【答案】
图象略；(1)小10；(2)大10
【知识点】
二次函数值计算；有理数运算；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查代入求值的运算能力，计算时注意平方运算的非负性和符号处理，掌握基本的函数值求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5. 已知抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ A(-3,18) $。
（1）求此抛物线的函数关系式，并画出它的图象；
（2）由图象可知，当 $ x = $
（3）判断点 $ B(-1,4) $ 是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。
（1）求此抛物线的函数关系式，并画出它的图象；
（2）由图象可知，当 $ x = $
$0$
时，该函数有最 小
值是 $0$
，当 $ x $ $＜0$
时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；（3）判断点 $ B(-1,4) $ 是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。
答案
5. (1) $y=2x^2$，图象略 (2) $0$，小，$0$，$＜0$ (3) 不在 (4) $(\sqrt{3},6)$或$(-\sqrt{3},6)$
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求抛物线解析式：已知函数形式为$y=ax^2$，仅含未知参数$a$，将点$A$的坐标代入解析式即可求出$a$，得到函数关系式；绘制图象可根据$y=ax^2$的图象特征（过原点、对称轴为y轴的抛物线）完成。
2. 分析函数性质：根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特征，即可得到最值和增减性规律。
3. 判断点是否在抛物线上：将点$B$的横坐标代入解析式，计算对应$y$值，与点$B$的纵坐标对比，相等则点在抛物线上，反之不在。
4. 求纵坐标为6的点：令$y=6$，解关于$x$的一元二次方程，得到的$x$值为对应点的横坐标，即可得到点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(-3,18)$代入$y=ax^2$，得：
$18 = a× (-3)^2$
即$9a=18$，解得$a=2$
故此抛物线的函数关系式为$y=2x^2$，图象为开口向上、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，作图略。
（2）$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴
$\therefore$当$x=0$时，该函数有最小值是$0$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）将$x=-1$代入$y=2x^2$，得$y=2× (-1)^2=2$
$\because 2≠ 4$，$\therefore$点$B(-1,4)$不在此抛物线上。
（4）令$y=6$，则$2x^2=6$
解得$x^2=3$，即$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$
故此抛物线上纵坐标为6的点的坐标为$(\sqrt{3},6)$或$(-\sqrt{3},6)$。
【答案】
(1) $y=2x^2$，图象略；(2) $0$，小，$0$，$＜0$；(3) 不在；(4) $(\sqrt{3},6)$或$(-\sqrt{3},6)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的解析式求解、性质应用展开，熟练掌握其图象开口方向、顶点、对称轴、增减性等核心性质即可快速解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 求抛物线解析式：已知函数形式为$y=ax^2$，仅含未知参数$a$，将点$A$的坐标代入解析式即可求出$a$，得到函数关系式；绘制图象可根据$y=ax^2$的图象特征（过原点、对称轴为y轴的抛物线）完成。
2. 分析函数性质：根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合$y=ax^2$的顶点、对称轴特征，即可得到最值和增减性规律。
3. 判断点是否在抛物线上：将点$B$的横坐标代入解析式，计算对应$y$值，与点$B$的纵坐标对比，相等则点在抛物线上，反之不在。
4. 求纵坐标为6的点：令$y=6$，解关于$x$的一元二次方程，得到的$x$值为对应点的横坐标，即可得到点的坐标。
【解析】
（1）将点$A(-3,18)$代入$y=ax^2$，得：
$18 = a× (-3)^2$
即$9a=18$，解得$a=2$
故此抛物线的函数关系式为$y=2x^2$，图象为开口向上、顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，作图略。
（2）$\because a=2＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴
$\therefore$当$x=0$时，该函数有最小值是$0$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
（3）将$x=-1$代入$y=2x^2$，得$y=2× (-1)^2=2$
$\because 2≠ 4$，$\therefore$点$B(-1,4)$不在此抛物线上。
（4）令$y=6$，则$2x^2=6$
解得$x^2=3$，即$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$
故此抛物线上纵坐标为6的点的坐标为$(\sqrt{3},6)$或$(-\sqrt{3},6)$。
【答案】
(1) $y=2x^2$，图象略；(2) $0$，小，$0$，$＜0$；(3) 不在；(4) $(\sqrt{3},6)$或$(-\sqrt{3},6)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，围绕$y=ax^2$的解析式求解、性质应用展开，熟练掌握其图象开口方向、顶点、对称轴、增减性等核心性质即可快速解题，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是 y 轴且过点$(-1,-2)$。
(1) 求函数的解析式，画出图象；
(2) 说明函数的增减性；
(3) 求函数的最大值或最小值；
(4) 若平行于 x 轴的直线与此抛物线相交于 A，B 两点，且$AB=4$，求$△ OAB$的面积。
(1) 求函数的解析式，画出图象；
(2) 说明函数的增减性；
(3) 求函数的最大值或最小值；
(4) 若平行于 x 轴的直线与此抛物线相交于 A，B 两点，且$AB=4$，求$△ OAB$的面积。
答案
6. (1) $y=-2x^2$,图象略. (2) 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小. (3) 当$x=0$时,$y_{最大值}=0$. (4) 16
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质展开，解题思路如下：(1) 已知二次函数顶点为原点、对称轴为y轴，符合$y=ax^2$的形式，用待定系数法代入已知点即可求出解析式；(2) 根据$a$的符号判断抛物线开口方向，结合对称轴就能推导函数增减性；(3) 由开口方向确定最值类型，顶点对应的函数值就是函数的最值；(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点关于y轴对称，结合AB的长度可求出交点横坐标，代入解析式得到交点纵坐标，其绝对值就是$△ OAB$的高，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$，将点$(-1,-2)$代入得：
$-2=a×(-1)^2$，解得$a=-2$，
故函数解析式为$y=-2x^2$，图象略。
(2) 由$a=-2＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 因抛物线开口向下，顶点$(0,0)$为图象最高点，
因此当$x=0$时，$y$有最大值，$y_{最大值}=0$，无最小值。
(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点A、B关于y轴对称，
由$AB=4$得两点横坐标为$2$和$-2$，将$x=2$代入$y=-2x^2$得$y=-8$，
即直线AB为$y=-8$，原点到直线AB的距离为$8$，
因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×4×8=16$。
【答案】
(1) $y=-2x^2$,图象略；(2) 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小；(3) 当$x=0$时,$y_{最大值}=0$；(4) 16
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$的基础应用习题，覆盖了解析式求解、增减性判断、最值计算以及结合对称性的几何计算，能够帮助学生扎实掌握该类二次函数的核心性质。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质展开，解题思路如下：(1) 已知二次函数顶点为原点、对称轴为y轴，符合$y=ax^2$的形式，用待定系数法代入已知点即可求出解析式；(2) 根据$a$的符号判断抛物线开口方向，结合对称轴就能推导函数增减性；(3) 由开口方向确定最值类型，顶点对应的函数值就是函数的最值；(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点关于y轴对称，结合AB的长度可求出交点横坐标，代入解析式得到交点纵坐标，其绝对值就是$△ OAB$的高，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$，将点$(-1,-2)$代入得：
$-2=a×(-1)^2$，解得$a=-2$，
故函数解析式为$y=-2x^2$，图象略。
(2) 由$a=-2＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(3) 因抛物线开口向下，顶点$(0,0)$为图象最高点，
因此当$x=0$时，$y$有最大值，$y_{最大值}=0$，无最小值。
(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点A、B关于y轴对称，
由$AB=4$得两点横坐标为$2$和$-2$，将$x=2$代入$y=-2x^2$得$y=-8$，
即直线AB为$y=-8$，原点到直线AB的距离为$8$，
因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×4×8=16$。
【答案】
(1) $y=-2x^2$,图象略；(2) 当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小；(3) 当$x=0$时,$y_{最大值}=0$；(4) 16
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数$y=ax^2$的基础应用习题，覆盖了解析式求解、增减性判断、最值计算以及结合对称性的几何计算，能够帮助学生扎实掌握该类二次函数的核心性质。
【难度系数】
0.7
