1[2025辽宁大连期末,中]数学活动课上,王老师和同学们一起做了一个实验.如图,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为6 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离$x(0＜x≤60$,单位:cm),记录容器中加入的水的质量,得到下表:


(1)$y_1$与$x$成关系,用式子表示$y_1$与$x$的关系为;
(2)用式子表示$y_2$与$x$的关系为;
(3)当托盘B与点C的距离为6 cm时,求在容器中加入的水的质量$y_2$的值.

【解】(1)由题中表格可知,$y_1$ 与 $x$ 对应值的乘积一定,为600,所以 $y_1$ 与 $x$ 成反比例关系,用式子表示 $y_1$ 与 $x$ 的关系为 $y_1=\frac{600}{x}$. 故答案为反比例,$y_1=\frac{600}{x}$.
(2)因为 $y_1=y_2+6$,所以 $\frac{600}{x}=y_2+6$,所以 $y_2=\frac{600}{x}-6$. 故答案为 $y_2=\frac{600}{x}-6$.
(3)当 $x=6$ 时,$y_2=\frac{600}{6}-6=100-6=94$.
答:在容器中加入的水的质量 $y_2$ 的值为 94 g.

2[2026山东德州期中,中]甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价40元,乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动,甲店的优惠办法是每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球;乙店的优惠办法是全部商品按定价的8.5折出售.某班需购买乒乓球拍4副,乒乓球若干盒(不少于8盒).
(1)当购买乒乓球的盒数为x盒时,在甲店购买需付款元;在乙店购买需付款元.(用含x的代数式表示)
(2)当购买乒乓球的盒数为20盒时,在哪家商店购买比较合算?
(3)当购买乒乓球的盒数为20盒时,你能给出一种更省钱的购买方案吗?试写出你的购买方案,并求出此时需付多少元.

【解】(1)当购买乒乓球的盒数为 $x$ 盒时,在甲店需付款 $40×4+5(x-8)=(5x+120)$ 元,在乙店需付款 $40×4×0.85+5x×0.85=(136+4.25x)$ 元. 故答案为 $(5x+120)$,$(136+4.25x)$.
(2)购买乒乓球的盒数为 20 盒时,在甲店需花费 $5×20+120=220$(元),在乙店需花费 $136+4.25×20=221$(元). 因为 $221＞220$,所以在甲店购买比较合算.
(3)在甲店购买 4 副乒乓球拍,在乙店购买 12 盒乒乓球更省钱. 共需付 $40×4+5×12×0.85=160+51=211$(元).

3[较难]如图是某校田径运动场的平面图,最中间是长方形,长为a米,两端为半圆,最内侧半圆的半径为r米,每条跑道的宽为1.2米,共四个跑道.若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程,请解答下列问题:
(1)第2跑道的总长度为米(结果用含a,r的代数式表示).
(2)第3跑道的总长度为米(结果用含a,r的代数式表示).
(3)若a=50,且要求第1跑道的总长度为200米,
①求r的值(结果精确到个位,π取3.1).
②在①的条件下,操场中心及两端的半圆(阴影部分)铺设人工草,跑道铺设塑胶,若铺人工草的价格为50元/平方米,铺塑胶的价格为100元/平方米,则学校共需付多少铺设费用(结果精确到个位,π取3.1)?

【解】(1)第2跑道的总长度为 $[2a+2π(r+1.2)]$ 米. 故答案为 $[2a+2π(r+1.2)]$.
(2)第3跑道的总长度为 $[2a+2π(r+2.4)]$ 米. 故答案为 $[2a+2π(r+2.4)]$.
(3)①由题意得 $2a+2π r=200$. 因为 $a=50$,所以 $r\approx16$.
②由题意得铺人工草费用为 $50×(50×2×16+16^2π)=(80\ 000+12\ 800π)$ 元;
铺塑胶费用为 $100×[π(16+1.2×4)^2-16^2π+50×(1.2×4×2)]=(17\ 664π+48\ 000)$ 元.
所以 $80\ 000+12\ 800π+17\ 664π+48\ 000=128\ 000+30\ 464π\approx222\ 438$(元).
答:学校共需付 222 438 元铺设费用.