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6.(2025·徐州铜山区三模)如图,在$\odot O$中,圆周角$∠ OAC=20°$,D为$\overset{\frown}{AB}$上一点,$∠ AOD=75°$,$OD// CB$,则$∠ AOB$的度数为（
A.$100°$
B.$110°$
C.$55°$
D.$120°$
B
）A.$100°$
B.$110°$
C.$55°$
D.$120°$
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先利用圆的半径相等得到等腰△OAC，求出∠OCA的度数；再结合平行线的性质、等腰△OBC的性质得到∠OCB与∠BOD的等量关系；然后根据圆周角定理得到圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的数量关系；最后通过∠AOB的两种不同表示方法建立等式求解即可。
【解析】
解：
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $△ OAC$为等腰三角形，$∠ OCA=∠ OAC=20°$。
∵ $OD// CB$，
∴ $∠ OBC=∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OB$，
∴ $△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC$，
∴ $∠ OCB=∠ BOD$。
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=20°+∠ BOD$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$∠ AOB$，圆周角为$∠ ACB$，
∴ $∠ AOB=2∠ ACB=2×(20°+∠ BOD)=40°+2∠ BOD$。
又
∵ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=75°+∠ BOD$，
∴ $40°+2∠ BOD=75°+∠ BOD$，
解得$∠ BOD=35°$，
∴ $∠ AOB=75°+35°=110°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是梳理清楚不同角之间的等量关系，结合圆周角定理建立等式求解，属于圆性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的半径相等得到等腰△OAC，求出∠OCA的度数；再结合平行线的性质、等腰△OBC的性质得到∠OCB与∠BOD的等量关系；然后根据圆周角定理得到圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的数量关系；最后通过∠AOB的两种不同表示方法建立等式求解即可。
【解析】
解：
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ $△ OAC$为等腰三角形，$∠ OCA=∠ OAC=20°$。
∵ $OD// CB$，
∴ $∠ OBC=∠ BOD$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ OC、OB都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OB$，
∴ $△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ OBC$，
∴ $∠ OCB=∠ BOD$。
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=20°+∠ BOD$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$∠ AOB$，圆周角为$∠ ACB$，
∴ $∠ AOB=2∠ ACB=2×(20°+∠ BOD)=40°+2∠ BOD$。
又
∵ $∠ AOB=∠ AOD+∠ BOD=75°+∠ BOD$，
∴ $40°+2∠ BOD=75°+∠ BOD$，
解得$∠ BOD=35°$，
∴ $∠ AOB=75°+35°=110°$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形和平行线的性质，解题的关键是梳理清楚不同角之间的等量关系，结合圆周角定理建立等式求解，属于圆性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
7.如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=
90
°。答案
7.90
解析
【分析】
解题时可运用圆周角定理求解，首先明确∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，观察四个角对应的弧，可发现它们所对的弧之和刚好是直径AB对应的半圆弧，半圆弧的度数为180°，再结合圆周角与所对弧的度数关系，就能算出四个角的和。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的$\frac{1}{2}$。
观察图形可知，∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧相加，恰好等于直径AB所对的半圆弧，半圆弧的度数为$180°$。
因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的灵活应用，解题时不需要分别计算每个角的度数，通过整体分析四个角对应弧的总度数即可快速得到结果，体现了整体思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
解题时可运用圆周角定理求解，首先明确∠1、∠2、∠3、∠4均为圆周角，观察四个角对应的弧，可发现它们所对的弧之和刚好是直径AB对应的半圆弧，半圆弧的度数为180°，再结合圆周角与所对弧的度数关系，就能算出四个角的和。
【解析】
解：根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的$\frac{1}{2}$。
观察图形可知，∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧相加，恰好等于直径AB所对的半圆弧，半圆弧的度数为$180°$。
因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的灵活应用，解题时不需要分别计算每个角的度数，通过整体分析四个角对应弧的总度数即可快速得到结果，体现了整体思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.7
8.(姑苏区一模)如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，且$OC⊥ AB$，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足$∠ OCD=25°$，连接AD，则$∠ BAD$的度数是
20°
。答案
8.$20°$
解析
【分析】
解题时先根据OC垂直AB得到直角圆心角∠COB的度数，再利用同圆半径相等推出△OCD为等腰三角形，结合已知的∠OCD度数求出∠COD的度数，进而计算出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧圆心角度数的一半，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°
∵OC、OD均为⊙O的半径，
∴OC=OD
∴∠ODC=∠OCD=25°
在△OCD中，由三角形内角和为180°可得：
∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-25°-25°=130°
∴∠BOD=∠COD-∠COB=130°-90°=40°
∵∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，将圆的性质和三角形内角计算结合考查，解题的关键是找准待求圆周角对应的圆心角，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
解题时先根据OC垂直AB得到直角圆心角∠COB的度数，再利用同圆半径相等推出△OCD为等腰三角形，结合已知的∠OCD度数求出∠COD的度数，进而计算出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数，最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧圆心角度数的一半，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°
∵OC、OD均为⊙O的半径，
∴OC=OD
∴∠ODC=∠OCD=25°
在△OCD中，由三角形内角和为180°可得：
∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-25°-25°=130°
∴∠BOD=∠COD-∠COB=130°-90°=40°
∵∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，将圆的性质和三角形内角计算结合考查，解题的关键是找准待求圆周角对应的圆心角，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
9.如图，一块直角三角尺的$30°$角的顶点$A$落在$\odot O$上，两边分别交$\odot O$于$B$，$C$两点.若弦$BC=2$，则$\odot O$的直径为
4
.答案
9.4
解析
【分析】
要求⊙O的直径，可利用圆周角的性质构造辅助线求解：首先作过B（或C）的直径，连接弦端点与直径的另一个端点，得到直角三角形；再根据同弧所对的圆周角相等，得到直角三角形中30°的角；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边，即圆的直径。
【解析】
作⊙O的直径BD，连接CD。
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠D与∠A都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D=∠A=30°。
在Rt△BCD中，∠D=30°，BC=2，
∴BD=2BC=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，含30°角的直角三角形性质，直径所对圆周角特征
【点评】
本题是圆周角性质应用的基础题型，解题核心是通过构造直径对应的直角三角形，将已知的圆周角和弦长关联起来，掌握这类常见辅助线的构造方法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的直径，可利用圆周角的性质构造辅助线求解：首先作过B（或C）的直径，连接弦端点与直径的另一个端点，得到直角三角形；再根据同弧所对的圆周角相等，得到直角三角形中30°的角；最后利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边，即圆的直径。
【解析】
作⊙O的直径BD，连接CD。
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠D与∠A都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D=∠A=30°。
在Rt△BCD中，∠D=30°，BC=2，
∴BD=2BC=4（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，含30°角的直角三角形性质，直径所对圆周角特征
【点评】
本题是圆周角性质应用的基础题型，解题核心是通过构造直径对应的直角三角形，将已知的圆周角和弦长关联起来，掌握这类常见辅助线的构造方法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°∠ ABC=60°$,$AB=2\sqrt{2}$,$D$是线段$BC$上的一个动点,以$AD$为直径画$\odot O$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,连接$EF$,则线段$EF$长度的最小值为
$\sqrt{3}$
.答案
10.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决EF长度最小值的问题，首先需建立EF与已知条件的关联：EF是⊙O的弦，所对圆周角为固定的∠BAC=45°，结合圆周角定理可推导出EF长度与⊙O直径AD成正比例关系，因此求EF最小值可转化为求AD的最小值。AD是点A到BC上动点D的线段，根据垂线段最短的性质，当AD⊥BC时AD取得最小值，最后通过解直角三角形求出最短AD的长度，即可算出EF的最小值。
【解析】
1. 推导EF与AD的关系：
连接OE、OF，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠EOF=2∠EAF=2×45°=90°。
设⊙O半径为R，则OE=OF=R，在等腰Rt△EOF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{2}R$。
又因为⊙O直径$AD=2R$，即$R=\frac{AD}{2}$，代入得$EF=\sqrt{2}×\frac{AD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，可知EF随AD的减小而减小。
2. 求AD的最小值：
根据点到直线的距离垂线段最短，当AD⊥BC时，AD长度最小。
在Rt△ABD中，∠ABC=60°，$AB=2\sqrt{2}$，则：
$AD_{最小}=AB·\sin60°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$
3. 计算EF的最小值：
将$AD_{最小}=\sqrt{6}$代入$EF=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，得：
$EF_{最小}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形
【点评】
本题将动弦长度的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，考查了圆周角性质、直角三角形边角关系的应用，体现了转化思想的运用，解题关键是找到EF和直径AD的定量关系。
【难度系数】
0.6
要解决EF长度最小值的问题，首先需建立EF与已知条件的关联：EF是⊙O的弦，所对圆周角为固定的∠BAC=45°，结合圆周角定理可推导出EF长度与⊙O直径AD成正比例关系，因此求EF最小值可转化为求AD的最小值。AD是点A到BC上动点D的线段，根据垂线段最短的性质，当AD⊥BC时AD取得最小值，最后通过解直角三角形求出最短AD的长度，即可算出EF的最小值。
【解析】
1. 推导EF与AD的关系：
连接OE、OF，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠EOF=2∠EAF=2×45°=90°。
设⊙O半径为R，则OE=OF=R，在等腰Rt△EOF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{2}R$。
又因为⊙O直径$AD=2R$，即$R=\frac{AD}{2}$，代入得$EF=\sqrt{2}×\frac{AD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，可知EF随AD的减小而减小。
2. 求AD的最小值：
根据点到直线的距离垂线段最短，当AD⊥BC时，AD长度最小。
在Rt△ABD中，∠ABC=60°，$AB=2\sqrt{2}$，则：
$AD_{最小}=AB·\sin60°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$
3. 计算EF的最小值：
将$AD_{最小}=\sqrt{6}$代入$EF=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，得：
$EF_{最小}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形
【点评】
本题将动弦长度的最值问题转化为点到直线的最短距离问题，考查了圆周角性质、直角三角形边角关系的应用，体现了转化思想的运用，解题关键是找到EF和直径AD的定量关系。
【难度系数】
0.6
11.如图，A，B是$\odot O$上的两点，点C在$\odot O$内，点D在$\odot O$外，AD，BD分别交$\odot O$于点E，F。
求证：$∠ ACB＞∠ ADB$。
求证：$∠ ACB＞∠ ADB$。
答案
11.证明:如答图
,延长AC交$\odot O$于点M,连接BM,BE.∵∠ACB＞∠AMB,∠AEB＞∠ADB,
又∠AMB=∠AEB,
∴∠ACB＞∠ADB.
解析
【分析】
要证明∠ACB＞∠ADB，可通过构造中间量（同弧所对的圆周角），结合三角形外角性质建立大小关系。首先将圆内角∠ACB与圆周角比较：延长AC交圆于点M，∠ACB是△CMB的外角，因此大于同弧AB所对的圆周角∠AMB；再根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角∠AMB=∠AEB；最后∠AEB是△BED的外角，大于∠ADB，通过大小传递即可得证。
【解析】
证明：如答图，延长AC交$\odot O$于点M，连接BM，BE。
1. 根据三角形外角性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，∠ACB是△CMB的外角，因此$∠ ACB ＞ ∠ AMB$；
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$∠ AMB$和$∠ AEB$均为弧AB所对的圆周角，因此$∠ AMB = ∠ AEB$；
3. 同理，$∠ AEB$是△BED的外角，因此$∠ AEB ＞ ∠ ADB$；
4. 结合上述结论，由不等式的传递性可得$∠ ACB ＞ ∠ ADB$。
【答案】
证明:如答图,延长AC交$\odot O$于点M,连接BM,BE.
∵∠ACB＞∠AMB,∠AEB＞∠ADB,
又∠AMB=∠AEB,
∴∠ACB＞∠ADB.
【知识点】
三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆中角的大小比较类基础题，解题关键是通过作辅助线构造外角和同弧所对的圆周角，将待比较的两个角通过中间量建立关联，这种构造辅助线的方法在圆的角度相关问题中较为常用。
【难度系数】
0.6
要证明∠ACB＞∠ADB，可通过构造中间量（同弧所对的圆周角），结合三角形外角性质建立大小关系。首先将圆内角∠ACB与圆周角比较：延长AC交圆于点M，∠ACB是△CMB的外角，因此大于同弧AB所对的圆周角∠AMB；再根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角∠AMB=∠AEB；最后∠AEB是△BED的外角，大于∠ADB，通过大小传递即可得证。
【解析】
证明：如答图
，延长AC交$\odot O$于点M，连接BM，BE。1. 根据三角形外角性质：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，∠ACB是△CMB的外角，因此$∠ ACB ＞ ∠ AMB$；
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$∠ AMB$和$∠ AEB$均为弧AB所对的圆周角，因此$∠ AMB = ∠ AEB$；
3. 同理，$∠ AEB$是△BED的外角，因此$∠ AEB ＞ ∠ ADB$；
4. 结合上述结论，由不等式的传递性可得$∠ ACB ＞ ∠ ADB$。
【答案】
证明:如答图
,延长AC交$\odot O$于点M,连接BM,BE.∵∠ACB＞∠AMB,∠AEB＞∠ADB,
又∠AMB=∠AEB,
∴∠ACB＞∠ADB.
【知识点】
三角形外角性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆中角的大小比较类基础题，解题关键是通过作辅助线构造外角和同弧所对的圆周角，将待比较的两个角通过中间量建立关联，这种构造辅助线的方法在圆的角度相关问题中较为常用。
【难度系数】
0.6
