1.如图，$\odot O$的半径为2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点C在弦AB上，$AC=\frac{1}{4}AB$，求OC的长。 第1题图

解:如答图,过点O作$OH ⊥ AB$于点H.
$\because OH ⊥ AB,\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}=\sqrt{3}.$
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BOH$中,$OB=2,BH=\sqrt{3}$,
$\therefore OH=\sqrt{OB^2-BH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1.$
$\because AC=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4} × 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore CH=AH-AC=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
在$\mathrm{Rt}△ OHC$中,$OC=\sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$

2.如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$交于点$E$，$AB=4$，$∠ CDO=30°$.
(1)求$CD$的长；
(2)当$BE=2-\sqrt{2}$时，求$CE$的长.

解:(1)如答图,过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$.
又$\because$直径$AB=4,\therefore OA=OD=OB=2,OF=\frac{1}{2}OD=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,由勾股定理,得
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{3}.$
(2)$\because BE=2-\sqrt{2},OB=2,\therefore OE=\sqrt{2}.$
又$\because OF ⊥ CD,OF=1$,
$\therefore CF=DF=\sqrt{3},EF=\sqrt{OE^2-OF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$,
$\therefore CE=CF-EF=\sqrt{3}-1.$

3.(江阴校级月考)如图，$\odot O$的直径$AB⊥$弦$CD$，垂足为$E$，$AE=2$，$CD=8$.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)连接$BC$，作$OF⊥ BC$于点$F$，求$OF$的长.

解:(1)连接$OD$,如答图,设$\odot O$的半径为$r$.
$\because AB ⊥ CD,\therefore ∠ OED=90°,DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4.$
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中,$\because OE=r-2,OD=r,DE=4$,
$\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$,即$\odot O$的半径为5.
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$\because CE=4,BE=AB-AE=8$,
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}.$
$\because OF ⊥ BC,\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}.$
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中,$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$,
即$OF$的长为$\sqrt{5}.$