登录
1. [2024内江中考]16的平方根是（
A.2
B.-4
C.4
D.±4
D
）A.2
B.-4
C.4
D.±4
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的平方根。需要注意正数的平方根有两个，且互为相反数，不要和仅取非负值的算术平方根混淆。我们只需找到所有平方后等于16的数，即可得出16的平方根，再匹配对应选项。
【解析】
根据平方根的定义进行计算：
∵ $4^2 = 16$，$(-4)^2 = 16$
∴ 平方后等于16的数为±4，即16的平方根是±4。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方根与算术平方根，误选仅表示16的算术平方根的C选项，学习相关概念时要注意区分：正数的平方根包含正负两个值，算术平方根仅指其中正的平方根。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的平方根。需要注意正数的平方根有两个，且互为相反数，不要和仅取非负值的算术平方根混淆。我们只需找到所有平方后等于16的数，即可得出16的平方根，再匹配对应选项。
【解析】
根据平方根的定义进行计算：
∵ $4^2 = 16$，$(-4)^2 = 16$
∴ 平方后等于16的数为±4，即16的平方根是±4。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是混淆平方根与算术平方根，误选仅表示16的算术平方根的C选项，学习相关概念时要注意区分：正数的平方根包含正负两个值，算术平方根仅指其中正的平方根。
【难度系数】
0.85
2.［2025连云港新海初级中学期中］下列说法正确的是（
A.9的平方根是3
B.-9的平方根是-3
C.$(-2)^2$没有平方根
D.2是4的一个平方根
D
）A.9的平方根是3
B.-9的平方根是-3
C.$(-2)^2$没有平方根
D.2是4的一个平方根
答案
2.D 9的平方根是±3,选项A错误；-9没有平方根,选项B错误;$(-2)^2$的平方根为±2,选项C错误;$\because 2^2 =4,\therefore 2$是4的一个平方根,选项D正确.
解析
【分析】
解决本题首先要明确平方根的定义与性质：如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时先计算每个选项中涉及的数的具体值，再结合平方根的性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据平方根的定义和性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：9是正数，它的平方根是$\pm3$，而非只有3，因此A选项错误；
2. 分析选项B：-9是负数，负数没有平方根，因此B选项错误；
3. 分析选项C：先计算得$(-2)^2=4$，4是正数，平方根为$\pm2$，是有平方根的，因此C选项错误；
4. 分析选项D：因为$2^2=4$，符合平方根的定义，因此2是4的一个平方根，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题主要考查对平方根概念和性质的理解，做题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏记正数有两个平方根、负数没有平方根的核心性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平方根的定义与性质：如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。解题时先计算每个选项中涉及的数的具体值，再结合平方根的性质逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
根据平方根的定义和性质逐一分析选项：
1. 分析选项A：9是正数，它的平方根是$\pm3$，而非只有3，因此A选项错误；
2. 分析选项B：-9是负数，负数没有平方根，因此B选项错误；
3. 分析选项C：先计算得$(-2)^2=4$，4是正数，平方根为$\pm2$，是有平方根的，因此C选项错误；
4. 分析选项D：因为$2^2=4$，符合平方根的定义，因此2是4的一个平方根，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题主要考查对平方根概念和性质的理解，做题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏记正数有两个平方根、负数没有平方根的核心性质，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. [2026南京玄武区期末]已知某数的一个平方根是$\sqrt{13}$,则这个数是
13
,它的另一个平方根是$-\sqrt{13}$
.答案
3. 13 $-\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的相关知识：如果一个数$x$的平方等于$a$，那么$x$叫做$a$的平方根，且正数有两个互为相反数的平方根。第一步求原数：已知一个平方根，将该平方根平方即可得到原数；第二步求另一个平方根：根据正数的两个平方根互为相反数的性质，直接给已知平方根添负号即可。
【解析】
解：设这个数为$a$。
∵$\sqrt{13}$是$a$的一个平方根，根据平方根的定义可得：
$a=(\sqrt{13})^2=13$
又
∵正数的两个平方根互为相反数，
∴$13$的另一个平方根是$-\sqrt{13}$。
【答案】
$13$；$-\sqrt{13}$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，考查平方根的基本概念与性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的相关知识：如果一个数$x$的平方等于$a$，那么$x$叫做$a$的平方根，且正数有两个互为相反数的平方根。第一步求原数：已知一个平方根，将该平方根平方即可得到原数；第二步求另一个平方根：根据正数的两个平方根互为相反数的性质，直接给已知平方根添负号即可。
【解析】
解：设这个数为$a$。
∵$\sqrt{13}$是$a$的一个平方根，根据平方根的定义可得：
$a=(\sqrt{13})^2=13$
又
∵正数的两个平方根互为相反数，
∴$13$的另一个平方根是$-\sqrt{13}$。
【答案】
$13$；$-\sqrt{13}$
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，考查平方根的基本概念与性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 给出下列各数:$0,32,(-5)^2,-4,-|-16|,π$. 其中有平方根的数的个数是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.B $\because (-5)^2 =25 ＞0,-4 ＜0,-|-16| = -16 ＜0,\therefore$ 非负数有$0,32,(-5)^2,π$,共4个,$\therefore$ 有平方根的数的个数是4.
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。解题思路分为三步：第一步先将题目中需要化简的数全部计算得到最简结果；第二步逐个判断每个数是否为非负数；第三步统计非负数的个数，即为有平方根的数的个数。
【解析】
根据平方根的性质可知：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。
先对题中各数逐一化简、判断：
1. $0$属于非负数，有平方根；
2. $32$是正数，属于非负数，有平方根；
3. $(-5)^2=25$，是正数，属于非负数，有平方根；
4. $-4$是负数，没有平方根；
5. $-|-16|=-16$，是负数，没有平方根；
6. $π$是大于0的无限不循环小数，属于非负数，有平方根。
综上，有平方根的数共4个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；绝对值化简；有理数乘方
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是先准确化简带运算符号的数，再结合“非负数才有平方根”的性质判断，注意不要忽略0也有平方根，同时要避免乘方、绝对值化简的计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根的性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。解题思路分为三步：第一步先将题目中需要化简的数全部计算得到最简结果；第二步逐个判断每个数是否为非负数；第三步统计非负数的个数，即为有平方根的数的个数。
【解析】
根据平方根的性质可知：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。
先对题中各数逐一化简、判断：
1. $0$属于非负数，有平方根；
2. $32$是正数，属于非负数，有平方根；
3. $(-5)^2=25$，是正数，属于非负数，有平方根；
4. $-4$是负数，没有平方根；
5. $-|-16|=-16$，是负数，没有平方根；
6. $π$是大于0的无限不循环小数，属于非负数，有平方根。
综上，有平方根的数共4个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；绝对值化简；有理数乘方
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是先准确化简带运算符号的数，再结合“非负数才有平方根”的性质判断，注意不要忽略0也有平方根，同时要避免乘方、绝对值化简的计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 一个数的平方根等于它本身，那么这个数是
0
。答案
5. 0
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根的定义与性质，我们可以分正数、0、负数三类分别讨论它们的平方根特征：首先负数没有平方根，可直接排除；正数有两个互为相反数的平方根，不可能等于它本身；最后验证0的平方根情况，即可得出结果。
【解析】
根据平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。
1. 正数的平方根有2个，且互为相反数，因此正数的平方根不可能等于它本身；
2. 负数没有平方根，不符合要求；
3. 0的平方根是0，满足“平方根等于它本身”的条件。
因此符合条件的数是0。
【答案】
0
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是平方根相关的基础概念题，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，避免误将1也作为答案（算术平方根等于本身的数是0和1，平方根等于本身的数只有0），牢记不同类型数的平方根特征即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根的定义与性质，我们可以分正数、0、负数三类分别讨论它们的平方根特征：首先负数没有平方根，可直接排除；正数有两个互为相反数的平方根，不可能等于它本身；最后验证0的平方根情况，即可得出结果。
【解析】
根据平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。
1. 正数的平方根有2个，且互为相反数，因此正数的平方根不可能等于它本身；
2. 负数没有平方根，不符合要求；
3. 0的平方根是0，满足“平方根等于它本身”的条件。
因此符合条件的数是0。
【答案】
0
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题是平方根相关的基础概念题，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，避免误将1也作为答案（算术平方根等于本身的数是0和1，平方根等于本身的数只有0），牢记不同类型数的平方根特征即可准确作答。
【难度系数】
0.8
6.已知$m$没有平方根，且$|m+1|=2$，则$m=$
-3
。答案
6. -3 $\because |m+1|=2,\therefore m+1=\pm2,\therefore m=1$或$m=-3$.
$\because m$没有平方根$(m ＜0),\therefore m=-3$.
$\because m$没有平方根$(m ＜0),\therefore m=-3$.
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先根据绝对值的性质求解绝对值方程，得到m的两个可能取值；第二步结合“m没有平方根”的限制条件，利用平方根的性质（只有非负数才有平方根，负数没有平方根）对得到的解进行筛选，排除不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先求解绝对值方程：
∵ |m+1|=2
∴ m+1=2 或 m+1=-2
分别计算得：
当m+1=2时，m=2-1=1；
当m+1=-2时，m=-2-1=-3。
再根据平方根的性质筛选解：
∵ 负数没有平方根，m没有平方根
∴ m＜0
m=1是正数，有平方根，不符合条件；m=-3是负数，没有平方根，符合条件。
【答案】
-3
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础综合题，既考查绝对值方程的求解，也考查平方根性质的应用，解题时要注意结合题干给出的限制条件对解进行取舍，避免漏看条件直接写出所有解导致出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步先根据绝对值的性质求解绝对值方程，得到m的两个可能取值；第二步结合“m没有平方根”的限制条件，利用平方根的性质（只有非负数才有平方根，负数没有平方根）对得到的解进行筛选，排除不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先求解绝对值方程：
∵ |m+1|=2
∴ m+1=2 或 m+1=-2
分别计算得：
当m+1=2时，m=2-1=1；
当m+1=-2时，m=-2-1=-3。
再根据平方根的性质筛选解：
∵ 负数没有平方根，m没有平方根
∴ m＜0
m=1是正数，有平方根，不符合条件；m=-3是负数，没有平方根，符合条件。
【答案】
-3
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础综合题，既考查绝对值方程的求解，也考查平方根性质的应用，解题时要注意结合题干给出的限制条件对解进行取舍，避免漏看条件直接写出所有解导致出错。
【难度系数】
0.7
7. [2025 苏州景城学校月考]一个正数x的一个平方根是3a -5,另一个平方根是1 -2a,求x的值.
答案
7. 解:根据题意,得$3a -5 +1 -2a =0$,解得$a=4$.
$\therefore 3a -5 =7,\therefore x=(3a -5)^2 =7^2 =49$.
$\therefore 3a -5 =7,\therefore x=(3a -5)^2 =7^2 =49$.
解析
【分析】
解题的核心依据是正数的两个平方根互为相反数的性质。首先，互为相反数的两个数之和为0，因此可以把题目给出的两个平方根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，解出a的取值；再将a代入任意一个平方根的表达式，得到平方根的具体数值，最后对该数值平方即可求出x的值。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$3a - 5 + 1 - 2a = 0$
解得$a=4$。
将$a=4$代入$3a - 5$，得$3×4 - 5 = 7$，
因此$x = 7^2 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方根的计算
【点评】
本题属于平方根相关的基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求出参数后即可算出结果，侧重考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是正数的两个平方根互为相反数的性质。首先，互为相反数的两个数之和为0，因此可以把题目给出的两个平方根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，解出a的取值；再将a代入任意一个平方根的表达式，得到平方根的具体数值，最后对该数值平方即可求出x的值。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$3a - 5 + 1 - 2a = 0$
解得$a=4$。
将$a=4$代入$3a - 5$，得$3×4 - 5 = 7$，
因此$x = 7^2 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
平方根的性质，解一元一次方程，平方根的计算
【点评】
本题属于平方根相关的基础题型，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求出参数后即可算出结果，侧重考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 教材P64例2变式 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{25}{64}$；
(2)0.25；
(3)$2\frac{2}{49}$；
(4)$(-7)^2$。
(1)$\frac{25}{64}$；
(2)0.25；
(3)$2\frac{2}{49}$；
(4)$(-7)^2$。
答案
8. 解:(1)$\because (\frac{5}{8})^2 =\frac{25}{64},\therefore \frac{25}{64}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$.
(2)$\because 0.5^2 =0.25,\therefore 0.25$的平方根$\pm\sqrt{0.25} =\pm0.5$.
(3)$\because 2\frac{2}{49} =\frac{100}{49},(\frac{10}{7})^2 =\frac{100}{49}$,
$\therefore 2\frac{2}{49}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{100}{49}} =\pm\frac{10}{7}$.
(4)$\because (-7)^2 =49,7^2 =49,\therefore (-7)^2$的平方根$\pm\sqrt{(-7)^2} =\pm7$.
(2)$\because 0.5^2 =0.25,\therefore 0.25$的平方根$\pm\sqrt{0.25} =\pm0.5$.
(3)$\because 2\frac{2}{49} =\frac{100}{49},(\frac{10}{7})^2 =\frac{100}{49}$,
$\therefore 2\frac{2}{49}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{100}{49}} =\pm\frac{10}{7}$.
(4)$\because (-7)^2 =49,7^2 =49,\therefore (-7)^2$的平方根$\pm\sqrt{(-7)^2} =\pm7$.
解析
【分析】
要计算一个数的平方根，首先明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），那么x就叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时按以下思路推进：①先将待求数整理为最简形式：带分数化为假分数、含乘方的先计算出乘方的结果；②找到平方后等于该最简数的数；③写出互为相反数的两个平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1)
∵$(\frac{5}{8})^2 =\frac{25}{64}$，
∴$\frac{25}{64}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(2)
∵$0.5^2 =0.25$，
∴$0.25$的平方根$\pm\sqrt{0.25} =\pm0.5$。
(3)
∵$2\frac{2}{49} =\frac{100}{49}$，$(\frac{10}{7})^2 =\frac{100}{49}$，
∴$2\frac{2}{49}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{100}{49}} =\pm\frac{10}{7}$。
(4)
∵$(-7)^2 =49$，$7^2 =49$，
∴$(-7)^2$的平方根$\pm\sqrt{(-7)^2} =\pm7$。
【答案】
(1)$\pm\frac{5}{8}$；(2)$\pm0.5$；(3)$\pm\frac{10}{7}$；(4)$\pm7$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算，有理数乘方
【点评】
本题是平方根的基础计算题，重点考查平方根的性质和基本运算，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能只写正根；遇到带分数、含乘方的数要先化简再计算，避免因未化简直接运算出现错误。
【难度系数】
0.8
要计算一个数的平方根，首先明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a（即$x^2=a$），那么x就叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时按以下思路推进：①先将待求数整理为最简形式：带分数化为假分数、含乘方的先计算出乘方的结果；②找到平方后等于该最简数的数；③写出互为相反数的两个平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1)
∵$(\frac{5}{8})^2 =\frac{25}{64}$，
∴$\frac{25}{64}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{25}{64}}=\pm\frac{5}{8}$。
(2)
∵$0.5^2 =0.25$，
∴$0.25$的平方根$\pm\sqrt{0.25} =\pm0.5$。
(3)
∵$2\frac{2}{49} =\frac{100}{49}$，$(\frac{10}{7})^2 =\frac{100}{49}$，
∴$2\frac{2}{49}$的平方根$\pm\sqrt{\frac{100}{49}} =\pm\frac{10}{7}$。
(4)
∵$(-7)^2 =49$，$7^2 =49$，
∴$(-7)^2$的平方根$\pm\sqrt{(-7)^2} =\pm7$。
【答案】
(1)$\pm\frac{5}{8}$；(2)$\pm0.5$；(3)$\pm\frac{10}{7}$；(4)$\pm7$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算，有理数乘方
【点评】
本题是平方根的基础计算题，重点考查平方根的性质和基本运算，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不能只写正根；遇到带分数、含乘方的数要先化简再计算，避免因未化简直接运算出现错误。
【难度系数】
0.8
9. 教材P65T3变式 求下列各式中的$x$:
(1) [2025 徐州睢宁期中] $3x^2 = 6$;
(2) [2025 苏州立达中学月考] $9(3 - x)^2 = 4$;
(3) $2(x - 1)^2 - 32 = 0$.
(1) [2025 徐州睢宁期中] $3x^2 = 6$;
(2) [2025 苏州立达中学月考] $9(3 - x)^2 = 4$;
(3) $2(x - 1)^2 - 32 = 0$.
答案
9. 解:(1)$\because 3x^2 =6,\therefore x^2 =2,\therefore x =\pm\sqrt{2}$.
(2)$\because 9(3 - x)^2 =4,\therefore (3 - x)^2 =\frac{4}{9},\therefore 3 - x =\pm\frac{2}{3}$,
即$3 - x =\frac{2}{3}$或$3 - x = -\frac{2}{3},\therefore x =\frac{7}{3}$或$\frac{11}{3}$.
(3)移项,得$2(x - 1)^2 =32$,
$\therefore (x - 1)^2 =16$,
$\therefore x - 1 =\pm4$,即$x - 1 =4$或$x - 1 = -4$,
$\therefore x =5$或$x = -3$.
(2)$\because 9(3 - x)^2 =4,\therefore (3 - x)^2 =\frac{4}{9},\therefore 3 - x =\pm\frac{2}{3}$,
即$3 - x =\frac{2}{3}$或$3 - x = -\frac{2}{3},\therefore x =\frac{7}{3}$或$\frac{11}{3}$.
(3)移项,得$2(x - 1)^2 =32$,
$\therefore (x - 1)^2 =16$,
$\therefore x - 1 =\pm4$,即$x - 1 =4$或$x - 1 = -4$,
$\therefore x =5$或$x = -3$.
解析
【分析】
这三道题均适合用直接开平方法求解，核心依据是平方根的定义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$。解题时先通过移项、系数化为1，将方程变形为“含x的代数式的平方等于非负数”的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可，注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
(1) $\because 3x^2 = 6$，
$\therefore$ 系数化为1，得$x^2 = 2$，
$\therefore$ 根据平方根的定义，得$x = \pm\sqrt{2}$。
(2) $\because 9(3 - x)^2 = 4$，
$\therefore$ 系数化为1，得$(3 - x)^2 = \frac{4}{9}$，
$\therefore$ 根据平方根的定义，得$3 - x = \pm\frac{2}{3}$，
即$3 - x = \frac{2}{3}$或$3 - x = -\frac{2}{3}$，
解得$x = \frac{7}{3}$或$x = \frac{11}{3}$。
(3) 移项，得$2(x - 1)^2 = 32$，
系数化为1，得$(x - 1)^2 = 16$，
根据平方根的定义，得$x - 1 = \pm4$，
即$x - 1 = 4$或$x - 1 = -4$，
解得$x = 5$或$x = -3$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{2}$；(2) $x=\frac{7}{3}$或$x=\frac{11}{3}$；(3) $x=5$或$x=-3$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是先把方程整理为“某式的平方等于非负数”的标准形式，开平方时需注意正负两种情况，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
这三道题均适合用直接开平方法求解，核心依据是平方根的定义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\pm\sqrt{b}$。解题时先通过移项、系数化为1，将方程变形为“含x的代数式的平方等于非负数”的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可，注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
(1) $\because 3x^2 = 6$，
$\therefore$ 系数化为1，得$x^2 = 2$，
$\therefore$ 根据平方根的定义，得$x = \pm\sqrt{2}$。
(2) $\because 9(3 - x)^2 = 4$，
$\therefore$ 系数化为1，得$(3 - x)^2 = \frac{4}{9}$，
$\therefore$ 根据平方根的定义，得$3 - x = \pm\frac{2}{3}$，
即$3 - x = \frac{2}{3}$或$3 - x = -\frac{2}{3}$，
解得$x = \frac{7}{3}$或$x = \frac{11}{3}$。
(3) 移项，得$2(x - 1)^2 = 32$，
系数化为1，得$(x - 1)^2 = 16$，
根据平方根的定义，得$x - 1 = \pm4$，
即$x - 1 = 4$或$x - 1 = -4$，
解得$x = 5$或$x = -3$。
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{2}$；(2) $x=\frac{7}{3}$或$x=\frac{11}{3}$；(3) $x=5$或$x=-3$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题关键是先把方程整理为“某式的平方等于非负数”的标准形式，开平方时需注意正负两种情况，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
10. 一题多解 比较大小：$\sqrt{5}$
＜
$\sqrt{6}$.（填“＞”“=”或“＜”）答案
10. ＜ 通解 如图是面积分别为5,6的两个正方形,它们的边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6}$.由图可得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
另解 $\sqrt{5}$是面积为5的正方形的边长,$\sqrt{6}$是面积为6的正方形的边长. 根据“正方形的面积越大,边长越大”,得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$.
解析
【分析】
要比较$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$的大小，有两种常见思路：
1. 平方比较法：由于$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$都是正数，对于两个正数，平方越大，原数本身就越大，因此可以先计算两个数的平方，通过比较平方的大小反推原数的大小。
2. 几何意义法：算术平方根可以表示面积为对应数值的正方形的边长，正方形面积越大，其边长越长，因此可以通过比较两个正方形的面积大小判断边长的大小，也可结合给出的图形直接观察长度得到结论。
【解析】
解法1：$\because \sqrt{5}＞0$，$\sqrt{6}＞0$，
分别计算两数的平方：$(\sqrt{5})^2=5$，$(\sqrt{6})^2=6$，
$\because 5＜6$，根据正数比较大小的性质：两个正数，平方大的数更大，
$\therefore \sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
解法2：算术平方根的几何意义是：$\sqrt{a}\ (a≥0)$表示面积为$a$的正方形的边长。
面积为5的正方形边长为$\sqrt{5}$，面积为6的正方形边长为$\sqrt{6}$，
$\because$正方形的面积越大，对应的边长越长，且$5＜6$，
$\therefore \sqrt{5}＜\sqrt{6}$，也可结合题图直接观察得出$\sqrt{5}$的长度小于$\sqrt{6}$的长度。
【答案】
＜ 通解 如图是面积分别为5,6的两个正方形,它们的边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6}$.由图可得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
另解 $\sqrt{5}$是面积为5的正方形的边长,$\sqrt{6}$是面积为6的正方形的边长. 根据“正方形的面积越大,边长越大”,得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$.
【知识点】
算术平方根的意义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查对算术平方根概念的理解和实数大小比较的方法，既可以用代数的平方比较法求解，也可以结合几何意义直观判断，引导学生从多角度理解算术平方根的内涵。
【难度系数】
0.9
要比较$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$的大小，有两种常见思路：
1. 平方比较法：由于$\sqrt{5}$和$\sqrt{6}$都是正数，对于两个正数，平方越大，原数本身就越大，因此可以先计算两个数的平方，通过比较平方的大小反推原数的大小。
2. 几何意义法：算术平方根可以表示面积为对应数值的正方形的边长，正方形面积越大，其边长越长，因此可以通过比较两个正方形的面积大小判断边长的大小，也可结合给出的图形直接观察长度得到结论。
【解析】
解法1：$\because \sqrt{5}＞0$，$\sqrt{6}＞0$，
分别计算两数的平方：$(\sqrt{5})^2=5$，$(\sqrt{6})^2=6$，
$\because 5＜6$，根据正数比较大小的性质：两个正数，平方大的数更大，
$\therefore \sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
解法2：算术平方根的几何意义是：$\sqrt{a}\ (a≥0)$表示面积为$a$的正方形的边长。
面积为5的正方形边长为$\sqrt{5}$，面积为6的正方形边长为$\sqrt{6}$，
$\because$正方形的面积越大，对应的边长越长，且$5＜6$，
$\therefore \sqrt{5}＜\sqrt{6}$，也可结合题图直接观察得出$\sqrt{5}$的长度小于$\sqrt{6}$的长度。
【答案】
＜ 通解 如图是面积分别为5,6的两个正方形,它们的边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{6}$.由图可得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
另解 $\sqrt{5}$是面积为5的正方形的边长,$\sqrt{6}$是面积为6的正方形的边长. 根据“正方形的面积越大,边长越大”,得$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$.
【知识点】
算术平方根的意义；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，考查对算术平方根概念的理解和实数大小比较的方法，既可以用代数的平方比较法求解，也可以结合几何意义直观判断，引导学生从多角度理解算术平方根的内涵。
【难度系数】
0.9
11. 教材P64 探究变式 小明说,如果两个正数$a ＜ b$,那么$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$. 试借助下图解释这一结论.
答案
11. 解:由题图,知$1 ＜ 2,1 ＜ \sqrt{2};2 ＜ 3,\sqrt{2} ＜ \sqrt{3};3 ＜ 4,\sqrt{3} ＜ \sqrt{4};4 ＜ 5,\sqrt{4} ＜ \sqrt{5};5 ＜ 6,\sqrt{5} ＜ \sqrt{6}$,所以如果两个正数$a ＜ b$,那么$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$.
解析
【分析】
解题时首先要明确图形与x轴刻度的对应关系：图中每个图形的面积就是被开方数（正数），x轴上对应图形右侧的刻度就是该面积的算术平方根；再结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，先观察几组具体的被开方数和对应算术平方根的大小关系，再从特殊推广到一般，就能得出要解释的结论。
【解析】
观察题图可得，面积为$n$（$n$为正数）的图形，其右侧对应的x轴刻度就是$\sqrt{n}$。根据数轴上右边的数大于左边的数的性质，可得到多组具体的大小关系：
当正数$1＜2$时，对应的算术平方根$\sqrt{1}=1＜\sqrt{2}$；
当$2＜3$时，$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$；
当$3＜4$时，$\sqrt{3}＜\sqrt{4}$；
当$4＜5$时，$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$；
当$5＜6$时，$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
将上述特殊情况推广到所有正数，即可得到对应的结论。
【答案】
由题图,知$1 ＜ 2,1 ＜ \sqrt{2};2 ＜ 3,\sqrt{2} ＜ \sqrt{3};3 ＜ 4,\sqrt{3} ＜ \sqrt{4};4 ＜ 5,\sqrt{4} ＜ \sqrt{5};5 ＜ 6,\sqrt{5} ＜ \sqrt{6}$,所以如果两个正数$a ＜ b$,那么$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$。
【知识点】
算术平方根，数轴比较大小，归纳推理
【点评】
本题采用数形结合的方式，将抽象的代数结论转化为直观的图形刻度比较，能帮助理解被开方数和其算术平方根的大小变化规律，只需要具备基础的读图能力和归纳能力即可解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确图形与x轴刻度的对应关系：图中每个图形的面积就是被开方数（正数），x轴上对应图形右侧的刻度就是该面积的算术平方根；再结合数轴上“右边的数总比左边的数大”的性质，先观察几组具体的被开方数和对应算术平方根的大小关系，再从特殊推广到一般，就能得出要解释的结论。
【解析】
观察题图可得，面积为$n$（$n$为正数）的图形，其右侧对应的x轴刻度就是$\sqrt{n}$。根据数轴上右边的数大于左边的数的性质，可得到多组具体的大小关系：
当正数$1＜2$时，对应的算术平方根$\sqrt{1}=1＜\sqrt{2}$；
当$2＜3$时，$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$；
当$3＜4$时，$\sqrt{3}＜\sqrt{4}$；
当$4＜5$时，$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$；
当$5＜6$时，$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$。
将上述特殊情况推广到所有正数，即可得到对应的结论。
【答案】
由题图,知$1 ＜ 2,1 ＜ \sqrt{2};2 ＜ 3,\sqrt{2} ＜ \sqrt{3};3 ＜ 4,\sqrt{3} ＜ \sqrt{4};4 ＜ 5,\sqrt{4} ＜ \sqrt{5};5 ＜ 6,\sqrt{5} ＜ \sqrt{6}$,所以如果两个正数$a ＜ b$,那么$\sqrt{a} ＜ \sqrt{b}$。
【知识点】
算术平方根，数轴比较大小，归纳推理
【点评】
本题采用数形结合的方式，将抽象的代数结论转化为直观的图形刻度比较，能帮助理解被开方数和其算术平方根的大小变化规律，只需要具备基础的读图能力和归纳能力即可解答。
【难度系数】
0.8
