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12. 计算:(1) $\sqrt{121} + \sqrt{(-5)^2} =$
(2) $\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} =$
16
;(2) $\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} =$
1
.答案
(1)16;(2)1 (1) $\sqrt{121} + \sqrt{(-5)^2} = 11 + 5 = 16.$
(2) $\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{0.64} × \sqrt{\dfrac{25}{16}} = 0.8 × \dfrac{5}{4} = 1.$
(2) $\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{0.64} × \sqrt{\dfrac{25}{16}} = 0.8 × \dfrac{5}{4} = 1.$
解析
【分析】
这两道题均考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：
（1）先分别计算两个算术平方根的值，再求和：①求$\sqrt{121}$就是求121的算术平方根，找到平方等于121的正数即可；②计算$\sqrt{(-5)^2}$时，先算被开方数$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，最后把两个结果相加。
（2）先处理带分数，将带分数化为假分数，再分别计算两个算术平方根的值，最后计算乘积即可，计算时注意小数和分数的乘法运算规则。
【解析】
（1）先分别化简两个根式：
$\sqrt{121}$是121的算术平方根，因为$11^2=121$，所以$\sqrt{121}=11$；
$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}$，25的算术平方根是5，所以$\sqrt{(-5)^2}=5$；
因此$\sqrt{121} + \sqrt{(-5)^2} = 11 + 5 = 16$。
（2）先把带分数$1\dfrac{9}{16}$化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$；
再分别化简两个根式：$\sqrt{0.64}=0.8$，$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$；
因此$\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} = 0.8 × \dfrac{5}{4} = 1$。
【答案】
(1)16；(2)1
【知识点】
算术平方根的计算，二次根式运算，有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的概念掌握程度，计算时需注意先化简根式再进行四则运算，遇到带分数要先转化为假分数，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：
（1）先分别计算两个算术平方根的值，再求和：①求$\sqrt{121}$就是求121的算术平方根，找到平方等于121的正数即可；②计算$\sqrt{(-5)^2}$时，先算被开方数$(-5)^2=25$，再求25的算术平方根，最后把两个结果相加。
（2）先处理带分数，将带分数化为假分数，再分别计算两个算术平方根的值，最后计算乘积即可，计算时注意小数和分数的乘法运算规则。
【解析】
（1）先分别化简两个根式：
$\sqrt{121}$是121的算术平方根，因为$11^2=121$，所以$\sqrt{121}=11$；
$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}$，25的算术平方根是5，所以$\sqrt{(-5)^2}=5$；
因此$\sqrt{121} + \sqrt{(-5)^2} = 11 + 5 = 16$。
（2）先把带分数$1\dfrac{9}{16}$化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{16+9}{16}=\dfrac{25}{16}$；
再分别化简两个根式：$\sqrt{0.64}=0.8$，$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$；
因此$\sqrt{0.64} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}} = 0.8 × \dfrac{5}{4} = 1$。
【答案】
(1)16；(2)1
【知识点】
算术平方根的计算，二次根式运算，有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的概念掌握程度，计算时需注意先化简根式再进行四则运算，遇到带分数要先转化为假分数，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
13. [2024 上海中考] 已知$\sqrt{2x -1}=1$，则$x=$
1
。答案
1 $\because \sqrt{2x-1}=1,\therefore 2x-1=1,$解得 $x=1.$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：对于非负数a，若$\sqrt{a}=b$（$b≥0$），则$a=b^2$。本题中等式左边是$2x-1$的算术平方根，右边是1（满足非负要求），因此可以通过两边同时平方去掉根号，将原方程转化为一元一次方程，求解后再检验结果是否满足被开方数非负、等式成立即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{2x-1}=1$，
根据算术平方根的性质，两边同时平方得：$2x-1=1^2=1$，
移项得：$2x=1+1=2$，
系数化为1得：$x=1$。
检验：将$x=1$代入原方程，左边$\sqrt{2×1-1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，且被开方数$2×1-1=1≥0$，符合要求。
【答案】
1
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查算术平方根性质的应用，解题关键是利用平方运算将含根号的方程转化为熟悉的整式方程求解，养成解完代入检验的习惯可避免出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆算术平方根的性质：对于非负数a，若$\sqrt{a}=b$（$b≥0$），则$a=b^2$。本题中等式左边是$2x-1$的算术平方根，右边是1（满足非负要求），因此可以通过两边同时平方去掉根号，将原方程转化为一元一次方程，求解后再检验结果是否满足被开方数非负、等式成立即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{2x-1}=1$，
根据算术平方根的性质，两边同时平方得：$2x-1=1^2=1$，
移项得：$2x=1+1=2$，
系数化为1得：$x=1$。
检验：将$x=1$代入原方程，左边$\sqrt{2×1-1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，且被开方数$2×1-1=1≥0$，符合要求。
【答案】
1
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查算术平方根性质的应用，解题关键是利用平方运算将含根号的方程转化为熟悉的整式方程求解，养成解完代入检验的习惯可避免出错。
【难度系数】
0.9
14. [2025 南通一中月考] 若$\sqrt{102.01}=10.1$，则$\sqrt{1.0201}=$
1.01
.答案
1.01 $\because \sqrt{102.01}=10.1,\therefore 10.1^2=102.01,\therefore \frac{1}{100}×10.1^2=\frac{1}{100}×102.01,$即$(\frac{1}{10}×10.1)^2=1.0201,\therefore 1.0201$的算术平方根$\sqrt{1.0201}=\frac{1}{10}×10.1=1.01.$(可根据被开方数缩小100倍,算术平方根缩小10倍求解)
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式中被开方数的关系，发现1.0201是将102.01的小数点向左移动2位得到的。我们可以利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，其算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动1位求解；也可以利用平方与开平方互为逆运算的关系，从已知的算术平方根推导对应的平方关系，再变形得到待求的算术平方根。
【解析】
方法一：利用算术平方根的变化规律
已知$\sqrt{102.01}=10.1$，被开方数102.01的小数点向左移动2位得到1.0201，对应算术平方根10.1的小数点向左移动1位，可得$\sqrt{1.0201}=1.01$。
方法二：利用平方与开平方的互逆关系推导
$\because \sqrt{102.01}=10.1$，根据算术平方根的定义可得$10.1^2=102.01$，
将等式两边同时除以100，得$\frac{10.1^2}{100}=\frac{102.01}{100}$，
即$(\frac{10.1}{10})^2=1.0201$，也就是$1.01^2=1.0201$，
$\therefore \sqrt{1.0201}=1.01$。
【答案】
$1.01$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根的相关概念和性质，解题的关键是准确找到两个被开方数的倍数关系，既可通过记忆规律快速得出答案，也可通过逆运算推导验证，能有效检验对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.85
解题时先观察已知条件和待求式中被开方数的关系，发现1.0201是将102.01的小数点向左移动2位得到的。我们可以利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，其算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动1位求解；也可以利用平方与开平方互为逆运算的关系，从已知的算术平方根推导对应的平方关系，再变形得到待求的算术平方根。
【解析】
方法一：利用算术平方根的变化规律
已知$\sqrt{102.01}=10.1$，被开方数102.01的小数点向左移动2位得到1.0201，对应算术平方根10.1的小数点向左移动1位，可得$\sqrt{1.0201}=1.01$。
方法二：利用平方与开平方的互逆关系推导
$\because \sqrt{102.01}=10.1$，根据算术平方根的定义可得$10.1^2=102.01$，
将等式两边同时除以100，得$\frac{10.1^2}{100}=\frac{102.01}{100}$，
即$(\frac{10.1}{10})^2=1.0201$，也就是$1.01^2=1.0201$，
$\therefore \sqrt{1.0201}=1.01$。
【答案】
$1.01$
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根的相关概念和性质，解题的关键是准确找到两个被开方数的倍数关系，既可通过记忆规律快速得出答案，也可通过逆运算推导验证，能有效检验对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.85
15. [2026南京外国语学校期中] 由$6 + 2\sqrt{5} = 5 + 1 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×1 + 1^2 = (\sqrt{5} + 1)^2$，可知$6 + 2\sqrt{5}$的算术平方根是$\sqrt{5} + 1$。类似地，$7 - 4\sqrt{3}$的算术平方根是
$2-\sqrt{3}$
。答案
$2-\sqrt{3}$ $\because 7-4\sqrt{3}=4-2×2×\sqrt{3}+3=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2,\therefore 7-4\sqrt{3}$的算术平方根是$2-\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这道题是材料模仿类题目，解题思路参考题干给出的凑完全平方的方法：首先回忆完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，我们需要把$7-4\sqrt{3}$拆成$a^2-2ab+b^2$的形式。先处理含根号的项$4\sqrt{3}$，将其改写为$2ab$的形式，即$4\sqrt{3}=2×2×\sqrt{3}$，对应$a=2$、$b=\sqrt{3}$，验证可得$a^2+b^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$，刚好匹配原式的常数项，凑出完全平方后，再根据算术平方根是非负数的性质，取非负的平方根即可得到结果。
【解析】
解：先对$7-4\sqrt{3}$变形凑完全平方：
$7-4\sqrt{3}=4+3-4\sqrt{3}=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
因为算术平方根为非负数，且$2＞\sqrt{3}$，所以$7-4\sqrt{3}$的算术平方根为$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，算术平方根的定义，二次根式的性质
【点评】
本题考查知识迁移运用能力，需要结合给出的示例灵活运用完全平方公式，将含二次根式的式子构造为完全平方式，再结合算术平方根的非负性求解，是对代数变形能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
这道题是材料模仿类题目，解题思路参考题干给出的凑完全平方的方法：首先回忆完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，我们需要把$7-4\sqrt{3}$拆成$a^2-2ab+b^2$的形式。先处理含根号的项$4\sqrt{3}$，将其改写为$2ab$的形式，即$4\sqrt{3}=2×2×\sqrt{3}$，对应$a=2$、$b=\sqrt{3}$，验证可得$a^2+b^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$，刚好匹配原式的常数项，凑出完全平方后，再根据算术平方根是非负数的性质，取非负的平方根即可得到结果。
【解析】
解：先对$7-4\sqrt{3}$变形凑完全平方：
$7-4\sqrt{3}=4+3-4\sqrt{3}=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
因为算术平方根为非负数，且$2＞\sqrt{3}$，所以$7-4\sqrt{3}$的算术平方根为$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$。
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，算术平方根的定义，二次根式的性质
【点评】
本题考查知识迁移运用能力，需要结合给出的示例灵活运用完全平方公式，将含二次根式的式子构造为完全平方式，再结合算术平方根的非负性求解，是对代数变形能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
16. 在草稿纸上计算: ① $\sqrt{1^3}$；② $\sqrt{1^3 + 2^3}$；③ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}$；④ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}$. 观察你计算的结果, 根据你发现的规律得 $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 29^3}$ 的值为
435
.答案
435 $\because \sqrt{1^3}=1,\sqrt{1^3+2^3}=3=1+2,\sqrt{1^3+2^3+3^3}=6=1+2+3,\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=10=1+2+3+4,$$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+29^3}=1+2+3+\dots+29=435.$
解析
【分析】
解题时先按要求计算前4个算术平方根的结果，再观察结果与式子中底数序列的关联，归纳通用规律，最后代入n=29计算即可。首先逐个计算前4个简单式子的结果，将结果和1到对应底数的正整数和对比，就能发现规律：根号下1³到n³的和的算术平方根，等于1到n的正整数之和，再用正整数求和公式计算1到29的和就能得到答案。
【解析】
先计算题干给出的4个式子：
① $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$；
② $\sqrt{1^3 + 2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3=1+2$；
③ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6=1+2+3$；
④ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$；
归纳可得规律：$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}=1+2+3+\dots+n$。
当$n=29$时，原式$=1+2+3+\dots+29=\frac{(1+29)×29}{2}=15×29=435$。
【答案】
435
【知识点】
算术平方根运算，数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题考查从特殊实例归纳一般规律的能力，需要先准确完成基础的算术平方根计算，再通过对比结果发现规律，最终利用规律求解较大数的对应运算，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先按要求计算前4个算术平方根的结果，再观察结果与式子中底数序列的关联，归纳通用规律，最后代入n=29计算即可。首先逐个计算前4个简单式子的结果，将结果和1到对应底数的正整数和对比，就能发现规律：根号下1³到n³的和的算术平方根，等于1到n的正整数之和，再用正整数求和公式计算1到29的和就能得到答案。
【解析】
先计算题干给出的4个式子：
① $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$；
② $\sqrt{1^3 + 2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3=1+2$；
③ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6=1+2+3$；
④ $\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$；
归纳可得规律：$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}=1+2+3+\dots+n$。
当$n=29$时，原式$=1+2+3+\dots+29=\frac{(1+29)×29}{2}=15×29=435$。
【答案】
435
【知识点】
算术平方根运算，数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题考查从特殊实例归纳一般规律的能力，需要先准确完成基础的算术平方根计算，再通过对比结果发现规律，最终利用规律求解较大数的对应运算，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
17.［2026南京师大附中宿迁分校月考］阅读与思考,请先完成第(1)小题的填空,再仿照完成第(2)小题的解答过程.
(1)如图1是2个面积为1的小正方形,对所给图形进行分割,拼成如图2面积为2的大正方形,求大正方形的边长.
解:设大正方形的边长为$a(a＞0)$.∵拼成的大正方形的面积为$2,\therefore a^2=2$,由边长的实际意义,得$a=$
答:该大正方形的边长是
(2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形,按图中方式裁剪,可以拼成一个如图4的大正方形,求大正方形的边长.
(1)如图1是2个面积为1的小正方形,对所给图形进行分割,拼成如图2面积为2的大正方形,求大正方形的边长.
解:设大正方形的边长为$a(a＞0)$.∵拼成的大正方形的面积为$2,\therefore a^2=2$,由边长的实际意义,得$a=$
$\sqrt{2}$
.答:该大正方形的边长是
$\sqrt{2}$
.(2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形,按图中方式裁剪,可以拼成一个如图4的大正方形,求大正方形的边长.
答案
解:(1)$\sqrt{2}\ \ \sqrt{2}$
(2)设大正方形的边长为$b(b＞0).\because$ 拼成的大正方形的面积为$5,\therefore b^2=5,\therefore b=\sqrt{5}$(负值舍去).
答:该大正方形的边长是$\sqrt{5}.$
(2)设大正方形的边长为$b(b＞0).\because$ 拼成的大正方形的面积为$5,\therefore b^2=5,\therefore b=\sqrt{5}$(负值舍去).
答:该大正方形的边长是$\sqrt{5}.$
解析
【分析】
第(1)小题：图形剪拼前后总面积不变，已知拼成的大正方形面积为2，设边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式可得$a^2=2$，结合算术平方根的定义、边长为正数的实际意义，即可求出a的值。
第(2)小题：同理，5个面积为1的小正方形总面积为5，拼接成大正方形后面积不变，因此大正方形面积为5，设边长为$b(b＞0)$，可得$b^2=5$，根据算术平方根的定义，舍去负根后即可求出大正方形的边长。
【解析】
(1) 设大正方形的边长为$a(a＞0)$。
∵拼成的大正方形的面积为2，
$\therefore a^2=2$，由边长为正数的实际意义，得$a=\sqrt{2}$。
答：该大正方形的边长是$\sqrt{2}$。
(2) 设大正方形的边长为$b(b＞0)$。
∵拼接前后总面积不变，5个小正方形的总面积为$5×1=5$，
$\therefore$ 拼成的大正方形的面积为5，即$b^2=5$，结合边长的实际意义舍去负值，得$b=\sqrt{5}$。
答：该大正方形的边长是$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
(2) 大正方形的边长为$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根；图形剪拼面积守恒
【点评】
本题解题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的规律，结合算术平方根的定义求解正方形边长，解题时注意结合实际意义舍去负的平方根即可。
【难度系数】
0.8
第(1)小题：图形剪拼前后总面积不变，已知拼成的大正方形面积为2，设边长为$a(a＞0)$，根据正方形面积公式可得$a^2=2$，结合算术平方根的定义、边长为正数的实际意义，即可求出a的值。
第(2)小题：同理，5个面积为1的小正方形总面积为5，拼接成大正方形后面积不变，因此大正方形面积为5，设边长为$b(b＞0)$，可得$b^2=5$，根据算术平方根的定义，舍去负根后即可求出大正方形的边长。
【解析】
(1) 设大正方形的边长为$a(a＞0)$。
∵拼成的大正方形的面积为2，
$\therefore a^2=2$，由边长为正数的实际意义，得$a=\sqrt{2}$。
答：该大正方形的边长是$\sqrt{2}$。
(2) 设大正方形的边长为$b(b＞0)$。
∵拼接前后总面积不变，5个小正方形的总面积为$5×1=5$，
$\therefore$ 拼成的大正方形的面积为5，即$b^2=5$，结合边长的实际意义舍去负值，得$b=\sqrt{5}$。
答：该大正方形的边长是$\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
(2) 大正方形的边长为$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根；图形剪拼面积守恒
【点评】
本题解题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的规律，结合算术平方根的定义求解正方形边长，解题时注意结合实际意义舍去负的平方根即可。
【难度系数】
0.8
18. 应用意识 [2025 扬州江都区期中] 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”. 例如：-9，-4，-1这三个数，$\sqrt{(-9)×(-4)} = 6$，$\sqrt{(-9)×(-1)} = 3$，$\sqrt{(-4)×(-1)} = 2$，其结果6,3,2都是整数，所以-9，-4，-1这三个数称为“完美组合数”.
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若-3，m，-12这三个数是“完美组合数”，其中两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
(1)-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若-3，m，-12这三个数是“完美组合数”，其中两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
答案
解:(1) -18, -8, -2 这三个数是“完美组合数”. 理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = 12,\sqrt{(-18)×(-2)} = 6,$$\sqrt{(-8)×(-2)} =4,$
$\therefore -18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”.
(2)$\sqrt{(-3)×(-12)} =6.$
分两种情况讨论：
当$\sqrt{-3m}=12$ 时, $-3m=144$,
$\therefore m=-48$,此时$\sqrt{-12m}=\sqrt{(-12)×(-48)}=24$,符合题意.
当$\sqrt{-12m}=12$ 时, $-12m=144$,
$\therefore m=-12$(不符合题意,舍去).
综上,$m$ 的值是 -48.
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = 12,\sqrt{(-18)×(-2)} = 6,$$\sqrt{(-8)×(-2)} =4,$
$\therefore -18,-8,-2$ 这三个数是“完美组合数”.
(2)$\sqrt{(-3)×(-12)} =6.$
分两种情况讨论：
当$\sqrt{-3m}=12$ 时, $-3m=144$,
$\therefore m=-48$,此时$\sqrt{-12m}=\sqrt{(-12)×(-48)}=24$,符合题意.
当$\sqrt{-12m}=12$ 时, $-12m=144$,
$\therefore m=-12$(不符合题意,舍去).
综上,$m$ 的值是 -48.
解析
【分析】
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再依次计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义，否则不符合。
（2）先计算已知数-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解，最后检验m是否满足“三个数互不相等且为负整数”的要求，舍去不符合的解。
【解析】
(1) -18，-8，-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = \sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，且三个数是互不相等的负整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，分两种情况讨论：
①当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，
此时验证$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，且-3、-48、-12是互不相等的负整数，符合题意；
②当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，
此时m=-12和已知的-12相等，不符合三个数互不相等的要求，舍去。
综上，m的值是-48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的相关计算，解题核心是准确理解新定义的限制条件，分类讨论求解后要注意检验结果是否符合题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，需紧扣定义：首先确认三个数是互不相等的负整数，再依次计算两两乘积的算术平方根，若所有结果均为整数，则符合定义，否则不符合。
（2）先计算已知数-3和-12的乘积的算术平方根，发现结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解，最后检验m是否满足“三个数互不相等且为负整数”的要求，舍去不符合的解。
【解析】
(1) -18，-8，-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
$\because \sqrt{(-18)×(-8)} = \sqrt{144}=12$，$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，三个结果都是整数，且三个数是互不相等的负整数，
$\therefore -18,-8,-2$这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，分两种情况讨论：
①当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边平方得$-3m=144$，解得$m=-48$，
此时验证$\sqrt{(-12)×(-48)}=\sqrt{576}=24$，是整数，且-3、-48、-12是互不相等的负整数，符合题意；
②当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边平方得$-12m=144$，解得$m=-12$，
此时m=-12和已知的-12相等，不符合三个数互不相等的要求，舍去。
综上，m的值是-48。
【答案】
(1) 是“完美组合数”；(2) $m=-48$
【知识点】
算术平方根计算，新定义运算，分类讨论
【点评】
本题以新定义为载体考查算术平方根的相关计算，解题核心是准确理解新定义的限制条件，分类讨论求解后要注意检验结果是否符合题意，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
1. [2026 常州溧阳燕湖中学月考] 已知$\sqrt{a + b + 1} = a + b + 1$，则$(a + b)^{2025} =$
-1或0
。答案
-1或0 $\because \sqrt{a+b+1}=a+b+1,\therefore a+b+1=0$ 或 $a+b+1=1,\therefore a+b=-1$ 或 $a+b=0,\therefore$ 原式 $=-1$ 或 $0.$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的特征：等式左边是$a+b+1$的算术平方根，右边是$a+b+1$本身。结合算术平方根的性质，算术平方根等于它本身的数只有0和1，因此可以将$a+b+1$看作整体，分两种情况列方程求解$a+b$的值，最后代入所求代数式计算乘方结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a + b + 1} = a + b + 1$，且算术平方根等于自身的数为0或1，
∴ $a + b + 1 = 0$ 或 $a + b + 1 = 1$，
当$a + b + 1 = 0$时，解得$a + b = -1$，此时$(a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$；
当$a + b + 1 = 1$时，解得$a + b = 0$，此时$(a + b)^{2025} = 0^{2025} = 0$。
【答案】
-1或0
【知识点】
算术平方根的性质；有理数的乘方
【点评】
本题考查算术平方根性质的应用，解题的关键是牢记算术平方根等于它本身的数只有0和1，求解时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式的特征：等式左边是$a+b+1$的算术平方根，右边是$a+b+1$本身。结合算术平方根的性质，算术平方根等于它本身的数只有0和1，因此可以将$a+b+1$看作整体，分两种情况列方程求解$a+b$的值，最后代入所求代数式计算乘方结果即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a + b + 1} = a + b + 1$，且算术平方根等于自身的数为0或1，
∴ $a + b + 1 = 0$ 或 $a + b + 1 = 1$，
当$a + b + 1 = 0$时，解得$a + b = -1$，此时$(a + b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$；
当$a + b + 1 = 1$时，解得$a + b = 0$，此时$(a + b)^{2025} = 0^{2025} = 0$。
【答案】
-1或0
【知识点】
算术平方根的性质；有理数的乘方
【点评】
本题考查算术平方根性质的应用，解题的关键是牢记算术平方根等于它本身的数只有0和1，求解时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. [2026 扬州文津中学期中] 已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$，则 $(x - y)^{2026} =$
1
.答案
1 $\because y = \sqrt{x-3} + \sqrt{3-x} +4,\therefore x-3≥0,3-x≥0$(当两个被开方数互为相反数时,只有它们都等于0才有意义),$\therefore x=3,\therefore y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+4=4,\therefore (x-y)^{2026}=(3-4)^{2026}=1.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。观察式子中的两个二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$，它们的被开方数互为相反数，要同时满足非负要求，只能两个被开方数都为0，由此可先求出x的值；再将x代入原式求出y的值；最后把x、y代入$(x-y)^{2026}$，结合偶次幂的运算性质计算结果即可。
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数的要求，可得：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解得$x=3$。
把$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$，得：
$y=\sqrt{3-3}+\sqrt{3-3}+4=0+0+4=4$。
将$x=3$、$y=4$代入$(x-y)^{2026}$计算：
$(x-y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；乘方的运算性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知数x的取值，再代入计算即可，解题时注意牢记偶次幂的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。观察式子中的两个二次根式$\sqrt{x-3}$和$\sqrt{3-x}$，它们的被开方数互为相反数，要同时满足非负要求，只能两个被开方数都为0，由此可先求出x的值；再将x代入原式求出y的值；最后把x、y代入$(x-y)^{2026}$，结合偶次幂的运算性质计算结果即可。
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数的要求，可得：
$\begin{cases}x-3≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解得$x=3$。
把$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$，得：
$y=\sqrt{3-3}+\sqrt{3-3}+4=0+0+4=4$。
将$x=3$、$y=4$代入$(x-y)^{2026}$计算：
$(x-y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件；乘方的运算性质
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，解题核心是利用二次根式被开方数的非负性确定未知数x的取值，再代入计算即可，解题时注意牢记偶次幂的符号规律，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
$|a| + \sqrt{a - 2026} = a$, 则 $a - 2025^2$ 的值为
2026
.答案
2026 $\because |2025-a|+\sqrt{a-2026}=a,\therefore a-2026≥0,$$\therefore a≥2026,\therefore 2025-a＜0,\therefore a-2025+\sqrt{a-2026}=a,$$\therefore \sqrt{a-2026}=2025,\therefore a-2026=2025^2,\therefore a-2025^2=2026.$
解析
【分析】
首先观察等式包含绝对值和二次根式，解题第一步需利用二次根式有意义的条件（被开方数非负）确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号化简等式，最后结合算术平方根的性质变形，就能直接求出待求式子的值，无需算出a的具体数值。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：
$a-2026≥0$，解得$a≥2026$
$\therefore 2025-a＜0$，根据绝对值的性质得$|2025-a|=a-2025$
将其代入原等式，得：
$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$
消去等号两边的$a$，整理得：
$\sqrt{a-2026}=2025$
两边同时平方，得：
$a-2026=2025^2$
移项可得：$a-2025^2=2026$
【答案】
2026
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的化简，算术平方根的性质
【点评】
本题的关键是挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定字母的取值范围，再去掉绝对值符号化简求解，避免直接平方导致计算复杂，是二次根式模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察等式包含绝对值和二次根式，解题第一步需利用二次根式有意义的条件（被开方数非负）确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号化简等式，最后结合算术平方根的性质变形，就能直接求出待求式子的值，无需算出a的具体数值。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件可得：
$a-2026≥0$，解得$a≥2026$
$\therefore 2025-a＜0$，根据绝对值的性质得$|2025-a|=a-2025$
将其代入原等式，得：
$a-2025+\sqrt{a-2026}=a$
消去等号两边的$a$，整理得：
$\sqrt{a-2026}=2025$
两边同时平方，得：
$a-2026=2025^2$
移项可得：$a-2025^2=2026$
【答案】
2026
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的化简，算术平方根的性质
【点评】
本题的关键是挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定字母的取值范围，再去掉绝对值符号化简求解，避免直接平方导致计算复杂，是二次根式模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
