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1. (★★)已知数据：-2,1,2,1,4,6,下列说法正确的是 （）
A.平均数是3
B.众数是－2
C.离差平方和为38
D.中位数是1
A.平均数是3
B.众数是－2
C.离差平方和为38
D.中位数是1
答案
C
解析
我们逐个验证选项：
1. 计算平均数：数据总和为$-2+1+2+1+4+6=12$，共6个数据，平均数为$12÷6=2$，A选项错误。
2. 确定众数：数据中1出现2次，出现次数最多，众数是1，B选项错误。
3. 计算离差平方和：离差平方和为各数据与平均数差的平方之和，代入平均数2计算：$(-2-2)^2+(1-2)^2+(2-2)^2+(1-2)^2+(4-2)^2+(6-2)^2=16+1+0+1+4+16=38$，C选项正确。
4. 求中位数：将数据从小到大排序为$-2,1,1,2,4,6$，共6个数据，中位数为第3、4个数的平均数，即$(1+2)÷2=1.5$，D选项错误。
1. 计算平均数：数据总和为$-2+1+2+1+4+6=12$，共6个数据，平均数为$12÷6=2$，A选项错误。
2. 确定众数：数据中1出现2次，出现次数最多，众数是1，B选项错误。
3. 计算离差平方和：离差平方和为各数据与平均数差的平方之和，代入平均数2计算：$(-2-2)^2+(1-2)^2+(2-2)^2+(1-2)^2+(4-2)^2+(6-2)^2=16+1+0+1+4+16=38$，C选项正确。
4. 求中位数：将数据从小到大排序为$-2,1,1,2,4,6$，共6个数据，中位数为第3、4个数的平均数，即$(1+2)÷2=1.5$，D选项错误。
2. (★★)已知一组数据23,27,20,18,x,12的中位数是21,则x的值为 ()
A.21
B.22
C.23
D.24
A.21
B.22
C.23
D.24
答案
B
解析
这组数据共有6个，数据个数为偶数，因此中位数是将数据从小到大排序后第3个数和第4个数的算术平均数。
先将不含x的5个已知数从小到大排列：12，18，20，23，27。
由中位数为21，可得第3位和第4位的数之和为 $21×2=42$：
1. 若$x≤20$，排序后第3、4位为20和23，中位数为$\frac{20+23}{2}=21.5$，不符合题意；
2. 若$x≥23$，排序后第3、4位仍为20和23，中位数同样为21.5，不符合题意；
因此x只能排在20之后、23之前，此时第3位是20，第4位是x，列等式$\frac{20+x}{2}=21$，解得$x=22$。
先将不含x的5个已知数从小到大排列：12，18，20，23，27。
由中位数为21，可得第3位和第4位的数之和为 $21×2=42$：
1. 若$x≤20$，排序后第3、4位为20和23，中位数为$\frac{20+23}{2}=21.5$，不符合题意；
2. 若$x≥23$，排序后第3、4位仍为20和23，中位数同样为21.5，不符合题意；
因此x只能排在20之后、23之前，此时第3位是20，第4位是x，列等式$\frac{20+x}{2}=21$，解得$x=22$。
3. (★★)五名同学的捐款数(单位:元)分别是5,3,6,5,10,捐10元的同学后来又追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比,集中趋势相同的是 ()
A.只有平均数
B.只有中位数
C.只有众数
D.中位数和众数
A.只有平均数
B.只有中位数
C.只有众数
D.中位数和众数
答案
D
解析
将原数据排序得：3,5,5,6,10，计算得原众数为5，原中位数为5，原平均数为(3+5+5+6+10)÷5=5.8。追加后的数据排序得：3,5,5,6,20，计算得新众数为5，新中位数为5，新平均数为(3+5+5+6+20)÷5=7.8。对比可知：平均数发生变化，中位数和众数均未改变，集中趋势相同的是中位数和众数。
4. (★★)一个样本数据的方差$s^2=\frac{1}{30}[(x_1 - 20)^2 + (x_2 - 20)^2 + \dots + (x_{30} - 20)^2]$，
则数字20表示这组数据的 （）
A.众数
B.中位数
C.样本数
D.平均数
则数字20表示这组数据的 （）
A.众数
B.中位数
C.样本数
D.平均数
答案
D
解析
根据样本方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$\overline{x}$代表这组数据的平均数，将该公式与题目给出的方差表达式对比，可得数字20是这组数据的平均数。
5. (★★)小明所在班级部分同学的身高情况统计如下：
则这组统计数据的中位数、众数分别为 （）
A.163,163
B.163,162
C.162,162.5
D.162.5,163
则这组统计数据的中位数、众数分别为 （）
A.163,163
B.163,162
C.162,162.5
D.162.5,163
答案
D
解析
先计算总人数：$4+6+6+11+4+1=32$。将所有身高从小到大排序，中位数是排序后第16和第17个数据的平均数：前16个数据的最后一个是162，第17个数据是163，因此中位数为$\frac{162+163}{2}=162.5$。众数是出现次数最多的数，身高163cm的人数最多（共11人），因此众数为163。
6.(★)某班劳动课时，老师组织同学们到校园菜地拔萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长(单位:cm)为26,20,25,22,22,则这组数据的平均数是 cm.
答案
$\boldsymbol{23}$
解析
解：根据平均数的计算公式，可得
这组数据的平均数为$\frac{26+20+25+22+22}{5}=\frac{115}{5}=23$。
这组数据的平均数为$\frac{26+20+25+22+22}{5}=\frac{115}{5}=23$。
7. (★)已知一组数据96,89,92,95,98,这组数据的离差平方和是.
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
解：
先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{96+89+92+95+98}{5} = \frac{470}{5} = 94$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}&(96-94)^2 + (89-94)^2 + (92-94)^2 + (95-94)^2 + (98-94)^2 \\=&2^2 + (-5)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 4^2 \\=&4 + 25 + 4 + 1 + 16 \\=&50\end{aligned}$
最终
先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{96+89+92+95+98}{5} = \frac{470}{5} = 94$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}&(96-94)^2 + (89-94)^2 + (92-94)^2 + (95-94)^2 + (98-94)^2 \\=&2^2 + (-5)^2 + (-2)^2 + 1^2 + 4^2 \\=&4 + 25 + 4 + 1 + 16 \\=&50\end{aligned}$
最终
8.(★★)为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛.演讲得分按“演讲内容”占40%，“语言表达”占40%，“形象风度”占10%，“整体效果”占10%进行计算，小颖这四项的得分依次为85,88,92,90，则她的最后得分是分.
答案
$\boldsymbol{87.4}$
解析
解：根据加权平均数的计算规则，小颖的最后得分为：
$\begin{aligned}&85×40\% + 88×40\% + 92×10\% + 90×10\%\\=&34 + 35.2 + 9.2 + 9\\=&87.4\end{aligned}$
$\begin{aligned}&85×40\% + 88×40\% + 92×10\% + 90×10\%\\=&34 + 35.2 + 9.2 + 9\\=&87.4\end{aligned}$
