1. 直线上每个点的坐标都是二元一次方程$x - 2y = 2$的解的直线是（）

1.C

【分析】
要判断哪个直线上的点都是方程$x-2y=2$的解，首先把二元一次方程转化为一次函数的形式，再求出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，找到过这两个交点的对应直线即可。
【解析】
先将二元一次方程$x-2y=2$变形为一次函数形式：
移项得：$-2y=-x+2$，
两边同时除以$-2$，得$y=\frac{1}{2}x - 1$。
再求该函数与坐标轴的交点：
1. 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×0 -1=-1$，即与y轴交于点$(0,-1)$；
2. 求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=\frac{1}{2}x -1$，解得$x=2$，即与x轴交于点$(2,0)$。
观察四个选项的图象，只有选项C的直线同时过$(2,0)$和$(0,-1)$两个点，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系、一次函数图象识别、一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是基础题型，核心是理解二元一次方程和对应一次函数图象的一一对应关系，通过求坐标轴交点判断对应图象是非常简便的解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

2. 若以二元一次方程 $x + 2y - b = 0$ 的解为坐标的点 $(x,y)$ 都在直线 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ 上，则常数 $b = (\quad)$

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$-1$
D.2

2.D

【分析】
解题思路：首先明确二元一次方程与一次函数的对应关系：以二元一次方程的解为坐标的点组成的图形就是该方程对应的一次函数的图象。本题中方程$x+2y-b=0$的解对应的点都在给定直线上，说明两个式子对应同一条直线。因此第一步先将方程$x+2y-b=0$变形为$y=kx+c$的一次函数形式，再和已知直线的解析式对比，利用对应项相等即可求出常数$b$。
【解析】
首先将二元一次方程$x + 2y - b = 0$变形为用$x$表示$y$的形式：
1. 移项得：$2y = -x + b$
2. 两边同时除以2得：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
已知以方程$x + 2y - b = 0$的解为坐标的点都在直线$y = -\frac{1}{2}x + 1$上，说明两个一次函数表示同一条直线，它们的对应项系数相等，其中一次项系数已经均为$-\frac{1}{2}$，因此常数项相等：
$\frac{b}{2} = 1$
解得：$b = 2$
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程与一次函数的关系
2. 等式的性质
【点评】
本题是基础题，考查二元一次方程和一次函数的内在联系，解题的关键是将二元一次方程转化为一次函数的斜截式，利用同一直线的解析式对应项相等求解，掌握两者的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 一次函数 $ y=2x-4 $ 的图象上有一点的坐标是（，2），则方程 $ 2x - y = 4 $ 必有一个解为。

3. 3；$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$

【分析】
解题时先思考两个核心关联：①一次函数图象上的所有点的坐标都满足该一次函数的解析式，已知点的纵坐标为2，代入解析式即可求出横坐标；②一次函数的解析式通过移项变形可得到对应的二元一次方程，因此一次函数图象上点的坐标就是对应二元一次方程的一组解。按照先求横坐标、再推导方程解的顺序解题即可。
【解析】
1. 求点的横坐标：
已知点在一次函数$y=2x-4$的图象上，且该点纵坐标$y=2$，将$y=2$代入$y=2x-4$得：
$2=2x-4$
移项计算：$2x=2+4=6$，解得$x=3$，因此该点坐标为$(3,2)$。
2. 求方程$2x-y=4$的一个解：
将一次函数$y=2x-4$移项变形，可得$2x-y=4$，说明一次函数图象上的点的坐标都满足这个二元一次方程，因此点$(3,2)$就是方程$2x-y=4$的一个解，即$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$。
【答案】
3；$\begin{cases} x=3, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程的解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数与二元一次方程的对应关系，理解“一次函数图象上的点的坐标即为对应二元一次方程的解”是解题的核心。
【难度系数】
0.9

4. [2026北京海淀区期中]若直线$y=3x+6$与直线$y=2x-4$的交点坐标为$(a,b)$，则解为$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$的方程组是（ ）

A.$\begin{cases} y-3x=6, \\ 2y+x=-4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y-3x=6, \\ 2y-x=-4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y=-4 \end{cases}$

4.C

【分析】
解题的核心逻辑是：两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此该坐标就是由两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。我们只需将题干给出的两个一次函数解析式，通过移项变形为二元一次方程的标准形式，再和选项逐一匹配即可。
【解析】
已知两条直线的解析式分别为$y=3x+6$和$y=2x-4$，交点$(a,b)$同时满足这两个解析式：
1. 对$y=3x+6$移项，将含$x$、$y$的项移到等号左侧：
两边同时减$3x$得$y-3x=6$，两边同乘$-1$可得$3x-y=-6$；
2. 对$y=2x-4$移项，将含$x$、$y$的项移到等号左侧：
两边同时减$2x$得$y-2x=-4$，两边同乘$-1$可得$2x-y=4$；
联立两个变形后的方程，可得方程组$\begin{cases} 3x-y=-6, \\ 2x-y=4 \end{cases}$，与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
一次函数交点意义、二元一次方程组的解、等式变形
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础常考题型，解题关键是理解一次函数交点与对应联立方程组解的对应关系，需注意移项时符号变化，避免因符号错误选错选项。
【难度系数】
0.7

5. 直线$y=ax+2$与直线$y=3x-2$平行，下列说法不正确的是（）

A.$a=3$
B.直线$y=ax+2$与$y=3x-2$没有交点
C.方程组$\begin{cases} y=ax+2, \\ y=3x-2 \end{cases}$无解
D.方程组$\begin{cases} y=ax+2, \\ y=3x-2 \end{cases}$有无穷多个解

5.D

【分析】
解题时首先回忆一次函数图象平行的性质，先求出a的取值，再结合一次函数图象的位置关系和二元一次方程组解的对应关系，逐一判断每个选项的正误，注意题目要求选出不正确的选项。
【解析】
1. 求a的值：对于一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，若两直线平行，则满足$k_1=k_2$且$b_1≠ b_2$。已知直线$y=ax+2$与$y=3x-2$平行，因此$a=3$，且两条直线截距分别为2和-2，不相等，故两直线仅平行不重合，A选项说法正确。
2. 判断直线交点与方程组解的关系：两条平行直线没有公共点，因此两直线没有交点，B选项说法正确；对应的二元一次方程组$\begin{cases} y=ax+2 \\ y=3x-2 \end{cases}$没有公共解，即方程组无解，C选项说法正确；只有两直线完全重合时，方程组才有无穷多解，本题两直线仅平行不重合，因此D选项说法错误。
本题要求选择不正确的说法，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数平行的性质
2. 二元一次方程组与一次函数的关系
【点评】
本题核心考察一次函数平行的判定条件，以及一次函数图象的位置和对应二元一次方程组解的关系，解题时要注意区分两直线平行和重合的不同条件，避免混淆两类情况对应的方程组解的特征。
【难度系数】
0.8

6. [2026绍兴期末] 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - 3y =5, \\6x + by = -2\end{cases}$所对应的两个一次函数的图象如图所示，则$4a - b$的值为 ______ 。

6. 11 【点拨】根据题意得，方程组 $\begin{cases}ax - 3y = 5, \\6x + by = -2\end{cases}$ 的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1.\end{cases}$ 将 $\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1\end{cases}$ 代入 $ax - 3y = 5$，得 $a = 4$。将$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1\end{cases}$ 代入 $6x + by = -2$，得 $b = 5$。则 $4a - b = 4×4 -5=11$。

【分析】
要解决这道题，首先明确二元一次方程组和对应一次函数的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是该二元一次方程组的解。因此第一步先从图象中读取两个一次函数的交点坐标，得到方程组的解；第二步将解代入两个含参数的方程，分别求出a、b的值；最后将a、b代入4a-b计算结果即可。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，由图可得交点坐标为$(\frac{1}{2},-1)$，即方程组$\begin{cases}ax - 3y =5, \\6x + by = -2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1\end{cases}$。
1. 求a的值：将$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1\end{cases}$代入$ax - 3y = 5$，得：
$\frac{1}{2}a - 3×(-1) =5$
$\frac{1}{2}a +3=5$
$\frac{1}{2}a=2$
解得$a=4$。
2. 求b的值：将$\begin{cases}x=\frac{1}{2}, \\ y=-1\end{cases}$代入$6x + by = -2$，得：
$6×\frac{1}{2} + b×(-1) =-2$
$3 - b =-2$
解得$b=5$。
3. 计算$4a - b$：
将$a=4$，$b=5$代入得：$4a - b =4×4 -5=16-5=11$。
【答案】
11
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；含参方程求解；代数式求值
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题型，解题核心是理解两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，再通过代入求值求出参数，最终计算代数式的值，熟练掌握二者的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 如图，直线$l_1:y=x+1$与直线$l_2:y=mx+n$相交于点$P(1,b)$.
(1)求$b$的值.
(2)不解关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n, \end{cases}$请你直接写出它的解.
(3)直线$l_3:y=nx+m$是否也经过点$P$? 请说明理由.

7.【解】(1)把点 $P(1,b)$ 的坐标代入 $y = x + 1$，得 $b = 1+1=2$。
(2)方程组 $\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(3)直线 $l_3:y=nx+m$ 也经过点 $P$。理由如下：因为直线 $l_2:y=mx+n$ 经过点 $P(1,2)$，所以 $m+n=2$。
所以易知直线 $y=nx+m$ 也经过点 $P$。

【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线$l_1$上，根据“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”，将x=1代入$l_1$的解析式$y=x+1$即可计算出b的值。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解，因此直接根据交点P的坐标就能写出方程组的解，无需解方程组。
(3) 要判断直线$l_3$是否经过点P，只需验证当x=1时，代入$l_3$的解析式得到的y值是否等于点P的纵坐标即可；已知点P在$l_2$上，先代入得到m与n的数量关系，再代入$l_3$的解析式验证即可。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=x+1$上，
∴将$x=1$，$y=b$代入解析式，得$b=1+1=2$。
(2) 二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$P(1,2)$，
∴方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3:y=nx+m$也经过点P，理由如下：
∵点$P(1,2)$在直线$l_2:y=mx+n$上，
∴将$x=1$，$y=2$代入得：$m×1 + n = 2$，即$m+n=2$。
对于直线$l_3:y=nx+m$，当$x=1$时，$y=n×1 + m = m+n=2$，刚好等于点P的纵坐标，
∴直线$l_3$也经过点$P(1,2)$。
【答案】
(1) $b=2$
(2) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由见解析
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 二元一次方程组与一次函数的关系
3. 点在函数图象上的判定
【点评】
本题围绕一次函数与二元一次方程组的核心关联展开，解题的关键是理解函数图象交点坐标和方程组解的对应关系，掌握验证点是否在函数图象上的方法，整体侧重基础概念的应用。
【难度系数】
0.8

8. 若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ (2k+1)x - y=3\end{cases}$无解，则直线$y=-(k+3)x -k$不经过（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

8. C 【点拨】因为方程组 $\begin{cases}x+y=1, \\ (2k+1)x - y=3\end{cases}$ 无解，所以直线 $y=-x+1$ 与 $y=(2k+1)x-3$ 平行，所以 $-1=2k+1$，解得 $k=-1$，则直线 $y=-(k+3)x -k=-(-1+3)x -(-1)=-2x+1$。直线 $y=-2x+1$ 经过一、二、四象限，不经过第三象限。故选 C。

【分析】
解题时首先明确二元一次方程组的解和对应一次函数图像的关系：方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标，若方程组无解，说明两条直线没有交点，也就是两直线平行。两直线平行的条件是一次项系数相等、截距不等，据此先求出k的值，再代入所求直线的解析式，根据一次函数的一次项系数和常数项的正负判断直线经过的象限，就能得出答案。
【解析】
∵ 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=1, \\ (2k+1)x - y=3\end{cases}$无解
∴ 直线$y=-x+1$与$y=(2k+1)x-3$平行
两直线平行时一次项系数相等，可得：
$-1=2k+1$
解得$k=-1$
将$k=-1$代入直线$y=-(k+3)x -k$，计算得：
$y=-(-1+3)x -(-1)=-2x+1$
对于一次函数$y=-2x+1$：一次项系数$-2＜0$，直线从左上向右下倾斜；常数项$1＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组与一次函数；一次函数图像性质；两直线平行条件
【点评】
本题将二元一次方程组解的情况和一次函数图像性质结合考查，解题关键是掌握方程组无解对应两直线平行的结论，同时要熟练掌握根据一次函数系数判断图像过象限的方法，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7

9. 正比例函数 $ y = kx $（$ k $ 为整数）的图象与直线 $ y = x + 8 $ 的交点恰好是整点（横、纵坐标都是整数的点称为整点），则满足条件的正比例函数有（）

A.5个
B.6个
C.7个
D.无数个

9. C 【点拨】联立得 $\begin{cases} y=kx, \\ y=x+8, \end{cases}$ 解得 $x=\frac{8}{k-1}$。因为 $x$ 为整数，所以 $k-1=\pm8,\pm4,\pm2,\pm1$，所以 $k=9,-7,5,-3,3,-1,2,0$。又因为 $k≠0$，所以满足条件的 $k$ 值有7个，即满足条件的正比例函数有7个。

【分析】
要求满足条件的正比例函数个数，核心是求符合要求的整数k的个数。首先两个函数图象的交点坐标就是两个解析式联立组成的方程组的解，交点为整点意味着解的x、y都是整数。我们可以先联立两个解析式求出x关于k的表达式，再结合x是整数、k是整数，且正比例函数的比例系数k不为0的条件，筛选出符合要求的k值即可。
【解析】
联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases} y=kx \\ y=x+8 \end{cases}$
将$y=kx$代入$y=x+8$，可得：$kx = x + 8$
移项合并同类项得：$(k-1)x = 8$
解得：$x = \frac{8}{k-1}$
因为交点是整点，所以x必须为整数，且k为整数，因此$k-1$是8的整数约数。
8的整数约数有$\pm1、\pm2、\pm4、\pm8$，共8个，对应计算k的值：
当$k-1=1$时，$k=2$；当$k-1=-1$时，$k=0$；
当$k-1=2$时，$k=3$；当$k-1=-2$时，$k=-1$；
当$k-1=4$时，$k=5$；当$k-1=-4$时，$k=-3$；
当$k-1=8$时，$k=9$；当$k-1=-8$时，$k=-7$。
又因为正比例函数$y=kx$中比例系数$k≠0$，需舍去$k=0$的情况。
综上，符合条件的k值共有7个，即满足条件的正比例函数有7个。
【答案】C
【知识点】
一次函数交点求解、正比例函数定义、整数约数应用
【点评】
本题将一次函数交点问题与整数解问题相结合，解题关键是通过联立方程得到x与k的关系，再结合整除性质找出所有可能的k值，解题时要注意不要遗漏负约数，同时不能忽略正比例函数中k≠0的限制条件，避免多算错选。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=x+m$ 与 $y=nx+1$ 的图象分别与 $y$ 轴交于点 $(0,4)$, $(0,1)$,则关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}y=x+m-3, \\ y=nx+1\end{cases}$ 的解为 ( )

A.$\begin{cases} x=0, \\ y=1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=3, \\ y=4 \end{cases}$

10. A 【点拨】因为一次函数 $y=x+m$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,4)$，将一次函数 $y=x+m$ 的图象向下平移3个单位长度得到一次函数 $y=x+m-3$ 的图象，所以一次函数$y=x+m-3$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$。而一次函数 $y=nx+1$ 的图象与 $y$ 轴也交于点 $(0,1)$，所以一次函数 $y=x+m-3$ 与 $y=nx+1$ 的图象的交点为 $(0,1)$，所以关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}y=x+m-3, \\ y=nx+1\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=0, \\ y=1. \end{cases}$

【分析】
求解二元一次方程组时，首先要明确：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标。已知一次函数$y=x+m$与y轴交于$(0,4)$，方程组中第一个方程$y=x+m-3$可看作$y=x+m$向下平移3个单位得到的，先求出平移后函数与y轴的交点，再验证该点是否在另一个一次函数$y=nx+1$上，即可确定两个函数的交点，也就是方程组的解。
【解析】
1. 分析$y=x+m-3$的图象：已知一次函数$y=x+m$的图象与y轴交于点$(0,4)$，根据一次函数平移规律，将$y=x+m$向下平移3个单位长度即可得到$y=x+m-3$的图象，因此$y=x+m-3$与y轴的交点为$(0,4-3)$，即$(0,1)$。
2. 验证交点：对于一次函数$y=nx+1$，当$x=0$时，$y=n×0+1=1$，说明$y=nx+1$的图象也经过点$(0,1)$。
3. 结合二元一次方程组的几何意义：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，因此两个函数的交点$(0,1)$就是该方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x=0, \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一次函数图象平移，二元一次方程组与一次函数的关系
【点评】
本题解题核心是掌握二元一次方程组的解的几何意义，结合一次函数平移规律即可快速得到答案，无需复杂计算，属于基础技巧类题目。
【难度系数】
0.7