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11. ★★ 如图，直线 $y=kx(k≠0)$ 与 $y=\frac{2}{3}x+4$ 在第二象限交于点 A，直线 $y=\frac{2}{3}x+4$ 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C。若 $S_{△ ABO}: S_{△ ACO}=1:2$，则方程组 $\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$ 的解为 ______ 。
答案
11. $\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$ 【点拨】设点 $A$ 的坐标为 $(a,b)$，在直线 $y=\frac{2}{3}x+4$ 上，当 $x=0$ 时，$y=4$，则 $C(0,4)$；当 $y=0$ 时，$x=-6$，则 $B(-6,0)$。因为 $S_{△ ABO}: S_{△ ACO}=1:2$，所以 $\frac{1}{2}×6b = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×(-a)$，所以 $a=-3b$，则 $A(-3b,b)$。将 $(-3b,b)$ 代入 $y=\frac{2}{3}x+4$，解得 $b=\frac{4}{3}$，则 $A(-4,\frac{4}{3})$，所以方程组 $\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3}. \end{cases}$
解析
【分析】
要确定二元一次方程组的解，本质是求两个对应一次函数图象的交点坐标，即点A的坐标。解题思路如下：①先求出直线$y=\frac{2}{3}x+4$与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度；②设点A坐标为$(a,b)$，结合第二象限坐标符号特征，利用三角形面积公式表示出$S_{△ ABO}$和$S_{△ ACO}$，根据面积比得到a与b的数量关系；③将含参数的A点坐标代入$y=\frac{2}{3}x+4$求解，得到A点坐标，即为方程组的解。
【解析】
1. 求B、C两点坐标：
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，故$C(0,4)$，$OC=4$；
当$y=0$时，$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，故$B(-6,0)$，$OB=6$。
2. 利用面积比推导A点横纵坐标关系：
设点A坐标为$(a,b)$，因A在第二象限，故$a＜0$，$b＞0$。
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OB × b=\frac{1}{2}×6× b=3b$，
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}× OC × |a|=\frac{1}{2}×4× (-a)=-2a$，
由$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}S_{△ ACO}$，
代入得：$3b=\frac{1}{2}×(-2a)$，化简得$a=-3b$，即$A(-3b,b)$。
3. 求A点坐标：
将$A(-3b,b)$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得：
$b=\frac{2}{3}×(-3b)+4$，
计算得$b=-2b+4$，解得$b=\frac{4}{3}$，
则$a=-3×\frac{4}{3}=-4$，故A点坐标为$(-4,\frac{4}{3})$。
4. 确定方程组的解：
二元一次方程组的解即为两个对应一次函数图象的交点坐标，因此方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=\frac{4}{3}\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数、二元一次方程组与三角形面积的相关知识，解题核心是理解方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，通过面积比建立交点横纵坐标的关系是解题的关键，能很好地考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要确定二元一次方程组的解，本质是求两个对应一次函数图象的交点坐标，即点A的坐标。解题思路如下：①先求出直线$y=\frac{2}{3}x+4$与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度；②设点A坐标为$(a,b)$，结合第二象限坐标符号特征，利用三角形面积公式表示出$S_{△ ABO}$和$S_{△ ACO}$，根据面积比得到a与b的数量关系；③将含参数的A点坐标代入$y=\frac{2}{3}x+4$求解，得到A点坐标，即为方程组的解。
【解析】
1. 求B、C两点坐标：
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，故$C(0,4)$，$OC=4$；
当$y=0$时，$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，故$B(-6,0)$，$OB=6$。
2. 利用面积比推导A点横纵坐标关系：
设点A坐标为$(a,b)$，因A在第二象限，故$a＜0$，$b＞0$。
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OB × b=\frac{1}{2}×6× b=3b$，
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}× OC × |a|=\frac{1}{2}×4× (-a)=-2a$，
由$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}S_{△ ACO}$，
代入得：$3b=\frac{1}{2}×(-2a)$，化简得$a=-3b$，即$A(-3b,b)$。
3. 求A点坐标：
将$A(-3b,b)$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得：
$b=\frac{2}{3}×(-3b)+4$，
计算得$b=-2b+4$，解得$b=\frac{4}{3}$，
则$a=-3×\frac{4}{3}=-4$，故A点坐标为$(-4,\frac{4}{3})$。
4. 确定方程组的解：
二元一次方程组的解即为两个对应一次函数图象的交点坐标，因此方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=\frac{4}{3}\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-4, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数、二元一次方程组与三角形面积的相关知识，解题核心是理解方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，通过面积比建立交点横纵坐标的关系是解题的关键，能很好地考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
12. $\boldsymbol{\star\star\star}$ [2026济宁期中] 如图，直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=-x+4$相交于点$P(1,b)$，直线$l_1,l_2$与$x$轴分别交于$A,B$两点.
(1)求$b$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为4，求出$a$的值.
(1)求$b$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为4，求出$a$的值.
答案
12.【解】(1)把点 $P(1,b)$ 代入 $y=2x+1$，得 $b=2×1+1=3$，所以 $P(1,3)$。
因为直线 $l_1:y=2x+1$ 与直线 $l_2:y=-x+4$ 相交于点 $P(1,3)$，
所以方程组 $\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
所以方程组 $\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)对于直线 $l_1:y=2x+1$，令 $y=0$，则 $2x+1=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，所以 $A(-\frac{1}{2},0)$。
对于直线 $l_2:y=-x+4$，令 $y=0$，则 $-x+4=0$，解得 $x=4$，所以 $B(4,0)$。
所以 $AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$。
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
(3)由题意得：直线 $x=a$ 与直线 $l_1$ 的交点 $C$ 的坐标为 $(a,2a+1)$，与直线 $l_2$ 的交点 $D$ 的坐标为 $(a,-a+4)$。
因为 $CD=4$，所以 $|2a+1 - (-a+4)|=4$，即：$|3a-3|=4$，解得 $a=\frac{7}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}$。
因为直线 $l_1:y=2x+1$ 与直线 $l_2:y=-x+4$ 相交于点 $P(1,3)$，
所以方程组 $\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
所以方程组 $\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)对于直线 $l_1:y=2x+1$，令 $y=0$，则 $2x+1=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，所以 $A(-\frac{1}{2},0)$。
对于直线 $l_2:y=-x+4$，令 $y=0$，则 $-x+4=0$，解得 $x=4$，所以 $B(4,0)$。
所以 $AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$。
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
(3)由题意得：直线 $x=a$ 与直线 $l_1$ 的交点 $C$ 的坐标为 $(a,2a+1)$，与直线 $l_2$ 的交点 $D$ 的坐标为 $(a,-a+4)$。
因为 $CD=4$，所以 $|2a+1 - (-a+4)|=4$，即：$|3a-3|=4$，解得 $a=\frac{7}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，将点坐标代入l₁的解析式即可计算；二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，题中方程组变形后正好对应l₁和l₂的解析式，因此交点P的坐标就是方程组的解。
(2) 求△ABP的面积，首先要确定A、B两点坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别令两条直线的y=0，解出x即可得到A、B坐标；AB在x轴上，长度为两点横坐标的差，三角形的高为点P的纵坐标，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上的点横坐标都为a，分别代入两条直线的解析式得到C、D的纵坐标，线段CD的长度是两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 把点 $P(1,b)$ 代入 $y=2x+1$，得 $b=2×1+1=3$，所以 $P(1,3)$。
因为直线 $l_1:y=2x+1$ 与直线 $l_2:y=-x+4$ 相交于点 $P(1,3)$，
所以方程组 $\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
原方程组$\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$可变形为上述方程组，因此它的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2) 对于直线 $l_1:y=2x+1$，令 $y=0$，则 $2x+1=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，所以 $A(-\frac{1}{2},0)$。
对于直线 $l_2:y=-x+4$，令 $y=0$，则 $-x+4=0$，解得 $x=4$，所以 $B(4,0)$。
所以 $AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$。
点P到x轴的距离为P点的纵坐标3，即△ABP的高为3，
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
(3) 由题意得：直线 $x=a$ 与直线 $l_1$ 的交点 $C$ 的坐标为 $(a,2a+1)$，与直线 $l_2$ 的交点 $D$ 的坐标为 $(a,-a+4)$。
因为线段$CD$的长为4，所以两点纵坐标差的绝对值为4，即 $|2a+1 - (-a+4)|=4$，
整理得：$|3a-3|=4$，
当$3a-3=4$时，$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$；
当$3a-3=-4$时，$3a=-1$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
综上，$a$的值为$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\frac{27}{4}$；
(3) $a$的值为$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴交点，绝对值方程应用
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，将函数、方程、几何面积计算相结合，解题的核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系，计算时注意涉及线段长度的坐标运算要添加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，将点坐标代入l₁的解析式即可计算；二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，题中方程组变形后正好对应l₁和l₂的解析式，因此交点P的坐标就是方程组的解。
(2) 求△ABP的面积，首先要确定A、B两点坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别令两条直线的y=0，解出x即可得到A、B坐标；AB在x轴上，长度为两点横坐标的差，三角形的高为点P的纵坐标，代入三角形面积公式即可计算。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上的点横坐标都为a，分别代入两条直线的解析式得到C、D的纵坐标，线段CD的长度是两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 把点 $P(1,b)$ 代入 $y=2x+1$，得 $b=2×1+1=3$，所以 $P(1,3)$。
因为直线 $l_1:y=2x+1$ 与直线 $l_2:y=-x+4$ 相交于点 $P(1,3)$，
所以方程组 $\begin{cases} y=2x+1, \\ y=-x+4 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
原方程组$\begin{cases}2x - y = -1, \\ -x - y = -4\end{cases}$可变形为上述方程组，因此它的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2) 对于直线 $l_1:y=2x+1$，令 $y=0$，则 $2x+1=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，所以 $A(-\frac{1}{2},0)$。
对于直线 $l_2:y=-x+4$，令 $y=0$，则 $-x+4=0$，解得 $x=4$，所以 $B(4,0)$。
所以 $AB=4-(-\frac{1}{2})=\frac{9}{2}$。
点P到x轴的距离为P点的纵坐标3，即△ABP的高为3，
所以 $S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$。
(3) 由题意得：直线 $x=a$ 与直线 $l_1$ 的交点 $C$ 的坐标为 $(a,2a+1)$，与直线 $l_2$ 的交点 $D$ 的坐标为 $(a,-a+4)$。
因为线段$CD$的长为4，所以两点纵坐标差的绝对值为4，即 $|2a+1 - (-a+4)|=4$，
整理得：$|3a-3|=4$，
当$3a-3=4$时，$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$；
当$3a-3=-4$时，$3a=-1$，解得$a=-\frac{1}{3}$。
综上，$a$的值为$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\frac{27}{4}$；
(3) $a$的值为$\frac{7}{3}$或$-\frac{1}{3}$。
【知识点】
一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴交点，绝对值方程应用
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，将函数、方程、几何面积计算相结合，解题的核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系，计算时注意涉及线段长度的坐标运算要添加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. ★★★ 以方程 $ x - y = 1 $ 的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解. 我们把这条直线称为该方程的图象.
(1) 请在图①中画出二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = -1 \end{cases} $ 中的两个二元一次方程的图象，该方程组的解为 ______;
(2) 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x + 2y = 4, \mathrm{①} \\ kx - 3y = 3 \mathrm{②} \end{cases} $ 无解，请在图②中画出符合题意的两条直线，设方程①的图象与 $ x, y $ 轴的交点分别是 $ A, B $，方程②的图象与 $ x, y $ 轴的交点分别是 $ C, D $，计算 $ ∠ ABO + ∠ DCO $ 的度数.
(3) 图③中包含关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ mx - 2m + y = -3 \end{cases} $ 中的两个二元一次方程的图象，请求出该方程组的解.
(1) 请在图①中画出二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = -1 \end{cases} $ 中的两个二元一次方程的图象，该方程组的解为 ______;
(2) 已知关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x + 2y = 4, \mathrm{①} \\ kx - 3y = 3 \mathrm{②} \end{cases} $ 无解，请在图②中画出符合题意的两条直线，设方程①的图象与 $ x, y $ 轴的交点分别是 $ A, B $，方程②的图象与 $ x, y $ 轴的交点分别是 $ C, D $，计算 $ ∠ ABO + ∠ DCO $ 的度数.
(3) 图③中包含关于 $ x, y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ mx - 2m + y = -3 \end{cases} $ 中的两个二元一次方程的图象，请求出该方程组的解.
答案
13.【解】(1)如图①，$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$，图象见
。(2)因为关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases} x + 2y = 4, \mathrm{①} \\ kx - 3y = 3 \mathrm{②} \end{cases}$ 无解，所以 $AB// CD$，如图②。因为 $AB// CD$，所以 $∠ BAO=∠ ACD$。因为 $∠ AOB=90°$，所以 $∠ ABO+∠ OAB=90°$。所以 $∠ ABO+∠ DCO=90°$。
(3)易得直线 $l_1$ 为方程 $2x+y=4$ 的图象。若方程 $mx-2m+y=-3$ 的图象过点 $(0.5,3)$，则 $0.5m-2m+3=-3$，解得 $m=4$。因为 $4×7-2×4+2=22≠-3$，所以 $mx-2m+y=-3$ 的图象不是直线 $l_3$。所以 $mx-2m+y=-3$ 的图象为直线 $l_2$。由图象得 $l_1,l_2$ 相交于点 $(3,-2)$，所以该方程组的解为 $\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 二元一次方程组的解对应两个方程图象的交点坐标。先分别找两个方程的两组解确定直线上两点，画出两条直线，交点坐标就是方程组的解。
(2) 二元一次方程组无解说明两个方程对应的直线互相平行，没有交点。利用平行线同位角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质，等量代换即可求出两个角的和。
(3) 先整理第二个方程，判断其对应图象，再找到它和方程$2x+y=4$图象的交点，交点坐标就是方程组的解。
【解析】
(1) 画方程$2x+y=4$的图象：取$x=0$得$y=4$，取$y=0$得$x=2$，过点$(0,4)$和$(2,0)$画直线；画方程$x-y=-1$的图象：取$x=0$得$y=1$，取$y=0$得$x=-1$，过点$(0,1)$和$(-1,0)$画直线。两条直线交点为$(1,2)$，即方程组的解。
(2) 方程组无解说两条直线无交点，即$AB// CD$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ BAO=∠ DCO$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ AOB=90°$，$\mathrm{Rt}△ AOB$中两锐角互余，$\therefore ∠ ABO+∠ BAO=90°$。
等量代换得$∠ ABO+∠ DCO=90°$。
(3) 方程$mx-2m+y=-3$可变形为$m(x-2)+(y+3)=0$，可知该直线恒过定点$(2,-3)$。
验证可知该直线不是过$(0.5,3)$的直线，因此是和$2x+y=4$交于$(3,-2)$的直线，交点坐标即为方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$，图象见
(2) $90°$
(3) $\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程(组)，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将二元一次方程(组)和一次函数图象结合，既需要掌握方程组解的几何意义，也需要熟练运用几何性质解决角度计算问题，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 二元一次方程组的解对应两个方程图象的交点坐标。先分别找两个方程的两组解确定直线上两点，画出两条直线，交点坐标就是方程组的解。
(2) 二元一次方程组无解说明两个方程对应的直线互相平行，没有交点。利用平行线同位角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质，等量代换即可求出两个角的和。
(3) 先整理第二个方程，判断其对应图象，再找到它和方程$2x+y=4$图象的交点，交点坐标就是方程组的解。
【解析】
(1) 画方程$2x+y=4$的图象：取$x=0$得$y=4$，取$y=0$得$x=2$，过点$(0,4)$和$(2,0)$画直线；画方程$x-y=-1$的图象：取$x=0$得$y=1$，取$y=0$得$x=-1$，过点$(0,1)$和$(-1,0)$画直线。两条直线交点为$(1,2)$，即方程组的解。
(2) 方程组无解说两条直线无交点，即$AB// CD$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ BAO=∠ DCO$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ AOB=90°$，$\mathrm{Rt}△ AOB$中两锐角互余，$\therefore ∠ ABO+∠ BAO=90°$。
等量代换得$∠ ABO+∠ DCO=90°$。
(3) 方程$mx-2m+y=-3$可变形为$m(x-2)+(y+3)=0$，可知该直线恒过定点$(2,-3)$。
验证可知该直线不是过$(0.5,3)$的直线，因此是和$2x+y=4$交于$(3,-2)$的直线，交点坐标即为方程组的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$，图象见
(2) $90°$
(3) $\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程(组)，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，将二元一次方程(组)和一次函数图象结合，既需要掌握方程组解的几何意义，也需要熟练运用几何性质解决角度计算问题，综合性较强。
【难度系数】
0.6
