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1. 新题型条件探究题 在解二元一次方程组$\begin{cases}6x+my=3,①\\2x-ny=-6②\end{cases}$时，若①－②可直接消去未知数$y$，则$m$和$n$满足的条件是（ ）
A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m+n=0$
D.$m+n=1$
A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m+n=0$
D.$m+n=1$
答案
C
解析
【分析】
本题考查加减消元法消去未知数的条件，解题思路如下：首先明确“①-②可直接消去y”的含义是两个方程相减后，y项的系数为0；接下来先写出①-②的运算式，再合并y的同类项，令y的系数等于0，即可求出m和n满足的条件。
【解析】
将方程①减去方程②，可得：
$\begin{aligned}(6x + my) - (2x - ny) &= 3 - (-6) \\6x + my - 2x + ny &= 9 \\4x + (m + n)y &= 9\end{aligned}$
因为①-②可直接消去未知数$y$，所以$y$项的系数为0，即：
$m + n = 0$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.加减消元法 2.合并同类项
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题，核心是理解消去某一未知数的本质是运算后该未知数的系数为0，掌握加减消元的原理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查加减消元法消去未知数的条件，解题思路如下：首先明确“①-②可直接消去y”的含义是两个方程相减后，y项的系数为0；接下来先写出①-②的运算式，再合并y的同类项，令y的系数等于0，即可求出m和n满足的条件。
【解析】
将方程①减去方程②，可得：
$\begin{aligned}(6x + my) - (2x - ny) &= 3 - (-6) \\6x + my - 2x + ny &= 9 \\4x + (m + n)y &= 9\end{aligned}$
因为①-②可直接消去未知数$y$，所以$y$项的系数为0，即：
$m + n = 0$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.加减消元法 2.合并同类项
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题，核心是理解消去某一未知数的本质是运算后该未知数的系数为0，掌握加减消元的原理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2026 广州期末] 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - y = 4m + 1, \\x + y = 2m - 5\end{cases}$的解满足$x - y = 4$，则$m$的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
B 【点拨】$\begin{cases}3x-y=4m+1,①\\x+y=2m-5,②\end{cases}$
①$-$②,得$2x-2y=2m+6$,
所以$x-y=m+3$.
又因为$x-y=4$,所以$m+3=4$,解得$m=1$.
①$-$②,得$2x-2y=2m+6$,
所以$x-y=m+3$.
又因为$x-y=4$,所以$m+3=4$,解得$m=1$.
解析
【分析】
题目给出含参数m的二元一次方程组，且已知方程组的解满足x-y=4，我们无需单独求出x、y的具体值，可先观察两个方程的系数特征，利用加减消元法直接构造出x-y的代数式，再结合已知的x-y=4建立关于m的一元一次方程，就能快速求出m的值。
【解析】
先给方程组的两个方程标注序号：
$\begin{cases}3x-y=4m+1,①\\x+y=2m-5,②\end{cases}$
用①式减去②式，等号左边运算得：$(3x-y)-(x+y)=2x-2y$
等号右边运算得：$(4m+1)-(2m-5)=2m+6$
因此可得$2x-2y=2m+6$，两边同时除以2化简，得$x-y=m+3$
已知$x-y=4$，代入上式得：$m+3=4$
解得$m=1$
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，整体代入思想，一元一次方程求解
【点评】
本题是加减消元法的典型应用，核心考查整体构造的思维，不需要单独求解x、y的取值，直接通过消元得到目标式x-y和参数m的关系，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
题目给出含参数m的二元一次方程组，且已知方程组的解满足x-y=4，我们无需单独求出x、y的具体值，可先观察两个方程的系数特征，利用加减消元法直接构造出x-y的代数式，再结合已知的x-y=4建立关于m的一元一次方程，就能快速求出m的值。
【解析】
先给方程组的两个方程标注序号：
$\begin{cases}3x-y=4m+1,①\\x+y=2m-5,②\end{cases}$
用①式减去②式，等号左边运算得：$(3x-y)-(x+y)=2x-2y$
等号右边运算得：$(4m+1)-(2m-5)=2m+6$
因此可得$2x-2y=2m+6$，两边同时除以2化简，得$x-y=m+3$
已知$x-y=4$，代入上式得：$m+3=4$
解得$m=1$
【答案】
B
【知识点】
加减消元法，整体代入思想，一元一次方程求解
【点评】
本题是加减消元法的典型应用，核心考查整体构造的思维，不需要单独求解x、y的取值，直接通过消元得到目标式x-y和参数m的关系，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
3.已知a,b都是有理数，观察下表中的运算，则m=
a,b的运算 $a+b$ $a-b$ $a+2b$
运算的结果
9 m
3
。a,b的运算 $a+b$ $a-b$ $a+2b$
运算的结果
9 m答案
3
解析
【分析】
首先根据表格中a+b和a-b的运算结果，可以列出关于a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a和b的值，再将a、b代入a+2b的表达式中，即可求出m的值。
【解析】
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 5 \quad ① \\a - b = 9 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法，①+②得：$2a = 14$，解得$a = 7$。
将$a=7$代入①式，得：$7 + b = 5$，解得$b = -2$。
再将$a=7$，$b=-2$代入$a+2b$得：
$m = 7 + 2×(-2) = 7 - 4 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是根据题意正确建立方程组，再用加减消元法求解，计算过程中要注意负数运算的符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
首先根据表格中a+b和a-b的运算结果，可以列出关于a、b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a和b的值，再将a、b代入a+2b的表达式中，即可求出m的值。
【解析】
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 5 \quad ① \\a - b = 9 \quad ②\end{cases}$
用加减消元法，①+②得：$2a = 14$，解得$a = 7$。
将$a=7$代入①式，得：$7 + b = 5$，解得$b = -2$。
再将$a=7$，$b=-2$代入$a+2b$得：
$m = 7 + 2×(-2) = 7 - 4 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是根据题意正确建立方程组，再用加减消元法求解，计算过程中要注意负数运算的符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x -5y=-10,①\\5x -3y=2,②\end{cases}$，下面是四位同学的求解思路，其中正确的是（ ）
A.要消去$y$，可以将①$×5+$②$×2$
B.要消去$x$，可以将①$×3-$②$×5$
C.要消去$y$，可以将①$×3+$②$×2$
D.要消去$x$，可以将①$×5-$②$×2$
A.要消去$y$，可以将①$×5+$②$×2$
B.要消去$x$，可以将①$×3-$②$×5$
C.要消去$y$，可以将①$×3+$②$×2$
D.要消去$x$，可以将①$×5-$②$×2$
答案
D
解析
【分析】
解答本题的核心是掌握加减消元法的消元规则：要消去某一个未知数时，需先将两个方程中该未知数的系数化为绝对值相等的状态，若系数互为相反数则两式相加消元，若系数相等则两式相减消元。我们可以分别分析消去x、消去y的正确操作，再逐一比对选项判断正误。
【解析】
我们分别对每个选项进行验证：
1. 验证消去y的选项（A、C）：
方程①中y的系数为-5，方程②中y的系数为-3，要消去y，需让两个方程y的系数绝对值相等（最小公倍数为15），可将①×3、②×5，此时两个方程y的系数均为-15，用①×3 - ②×5即可消去y。
A选项：①×5后y的系数为-25，②×2后y的系数为-6，相加后y的系数为-31≠0，无法消去y，错误；
C选项：①×3后y的系数为-15，②×2后y的系数为-6，相加后y的系数为-21≠0，无法消去y，错误。
2. 验证消去x的选项（B、D）：
方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为5，要消去x，需让两个方程x的系数绝对值相等（最小公倍数为10），可将①×5、②×2，此时两个方程x的系数均为10，用①×5 - ②×2即可消去x。
B选项：①×3后x的系数为6，②×5后x的系数为25，相减后x的系数为-19≠0，无法消去x，错误；
D选项：①×5后x的系数为10，②×2后x的系数为10，相减后x的系数为0，可成功消去x，正确。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，解题的关键是找准要消去的未知数系数的最小公倍数，再根据系数的符号选择相加或相减的操作，熟练掌握消元规则就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是掌握加减消元法的消元规则：要消去某一个未知数时，需先将两个方程中该未知数的系数化为绝对值相等的状态，若系数互为相反数则两式相加消元，若系数相等则两式相减消元。我们可以分别分析消去x、消去y的正确操作，再逐一比对选项判断正误。
【解析】
我们分别对每个选项进行验证：
1. 验证消去y的选项（A、C）：
方程①中y的系数为-5，方程②中y的系数为-3，要消去y，需让两个方程y的系数绝对值相等（最小公倍数为15），可将①×3、②×5，此时两个方程y的系数均为-15，用①×3 - ②×5即可消去y。
A选项：①×5后y的系数为-25，②×2后y的系数为-6，相加后y的系数为-31≠0，无法消去y，错误；
C选项：①×3后y的系数为-15，②×2后y的系数为-6，相加后y的系数为-21≠0，无法消去y，错误。
2. 验证消去x的选项（B、D）：
方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为5，要消去x，需让两个方程x的系数绝对值相等（最小公倍数为10），可将①×5、②×2，此时两个方程x的系数均为10，用①×5 - ②×2即可消去x。
B选项：①×3后x的系数为6，②×5后x的系数为25，相减后x的系数为-19≠0，无法消去x，错误；
D选项：①×5后x的系数为10，②×2后x的系数为10，相减后x的系数为0，可成功消去x，正确。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，解题的关键是找准要消去的未知数系数的最小公倍数，再根据系数的符号选择相加或相减的操作，熟练掌握消元规则就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
5. 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 3(y-2)=x+1, \\ 2(x-1)=5y-8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x+2y=4, \\ \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{y+1}{2}=2. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 3(y-2)=x+1, \\ 2(x-1)=5y-8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x+2y=4, \\ \dfrac{x+1}{3}+\dfrac{y+1}{2}=2. \end{cases}$
答案
【解】(1)整理,得$\begin{cases} x-3y=-7,①\\2x-5y=-6,②\end{cases}$
①$×2-$②,得$-y=-8$,解得$y=8$.
把$y=8$代入①,得$x-24=-7$,解得$x=17$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=17,\\y=8.\end{cases}$
(2)方程组变形为$\begin{cases} x+2y=4,①\\2x+3y=7.②\end{cases}$
由①$×2-$②,得$y=1$.
把$y=1$代入②,得$2x+3=7$,解得$x=2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\y=1.\end{cases}$
①$×2-$②,得$-y=-8$,解得$y=8$.
把$y=8$代入①,得$x-24=-7$,解得$x=17$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=17,\\y=8.\end{cases}$
(2)方程组变形为$\begin{cases} x+2y=4,①\\2x+3y=7.②\end{cases}$
由①$×2-$②,得$y=1$.
把$y=1$代入②,得$2x+3=7$,解得$x=2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\y=1.\end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。对于本题的两个方程组，首先需要将方程化简为$ax+by=c$的标准形式：
(1) 先对两个方程去括号、移项、合并同类项得到标准方程组，观察发现x的系数分别为1和2，成倍数关系，因此可将第一个方程乘2后减去第二个方程，消去x，先求出y的值，再代入方程求出x的值；
(2) 第二个方程含有分母，先利用等式的性质去分母，整理得到标准方程组，同样x的系数成倍数关系，用加减消元法消去x，求出y后代入求x即可。
【解析】
(1) 整理原方程组，得：
$\begin{cases} x-3y=-7,①\\2x-5y=-6,②\end{cases}$
①$×2-$②，得$-y=-8$，解得$y=8$。
把$y=8$代入①，得$x-24=-7$，解得$x=17$。
(2) 对第二个方程去分母得$2(x+1)+3(y+1)=12$，整理后原方程组变形为：
$\begin{cases} x+2y=4,①\\2x+3y=7.②\end{cases}$
①$×2-$②，得$y=1$。
把$y=1$代入②，得$2x+3=7$，解得$x=2$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=17,\\y=8.\end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2,\\y=1.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法；等式的基本性质
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元思想的应用，解题时需先将非标准形式的方程组化简，再根据未知数的系数特征选择简便的消元方法，计算过程中要注意符号运算，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。对于本题的两个方程组，首先需要将方程化简为$ax+by=c$的标准形式：
(1) 先对两个方程去括号、移项、合并同类项得到标准方程组，观察发现x的系数分别为1和2，成倍数关系，因此可将第一个方程乘2后减去第二个方程，消去x，先求出y的值，再代入方程求出x的值；
(2) 第二个方程含有分母，先利用等式的性质去分母，整理得到标准方程组，同样x的系数成倍数关系，用加减消元法消去x，求出y后代入求x即可。
【解析】
(1) 整理原方程组，得：
$\begin{cases} x-3y=-7,①\\2x-5y=-6,②\end{cases}$
①$×2-$②，得$-y=-8$，解得$y=8$。
把$y=8$代入①，得$x-24=-7$，解得$x=17$。
(2) 对第二个方程去分母得$2(x+1)+3(y+1)=12$，整理后原方程组变形为：
$\begin{cases} x+2y=4,①\\2x+3y=7.②\end{cases}$
①$×2-$②，得$y=1$。
把$y=1$代入②，得$2x+3=7$，解得$x=2$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=17,\\y=8.\end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2,\\y=1.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法；等式的基本性质
【点评】
本题属于二元一次方程组求解的基础题型，重点考查消元思想的应用，解题时需先将非标准形式的方程组化简，再根据未知数的系数特征选择简便的消元方法，计算过程中要注意符号运算，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 下面是数学课上小颖同学解方程组$\begin{cases}5x+2y=25,①\\3x+4y=15②\end{cases}$的过程，老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务.
解:①$×3$,得$15x+6y=75$.③(第一步)
②$×5$,得$15x+4y=15$.④(第二步)
③$-$④,得$2y=60$,(第三步)
解得$y=30$.(第四步)
把$y=30$代入①,得$x=-7$.(第五步)
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-7,\\y=30.\end{cases}$(第六步)
(1)小颖用
(2)小颖的解答从第
(3)求该方程组的解.
解:①$×3$,得$15x+6y=75$.③(第一步)
②$×5$,得$15x+4y=15$.④(第二步)
③$-$④,得$2y=60$,(第三步)
解得$y=30$.(第四步)
把$y=30$代入①,得$x=-7$.(第五步)
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-7,\\y=30.\end{cases}$(第六步)
(1)小颖用
加减
消元法解方程组;(填“代入”或“加减”)(2)小颖的解答从第
二
步出现了错误;(3)求该方程组的解.
答案
【解】(1)加减 (2)二
(3)$\begin{cases}5x+2y=25,①\\3x+4y=15,②\end{cases}$
①$×3$,得$15x+6y=75$.③
②$×5$,得$15x+20y=75$.④
③$-$④,得$-14y=0$,解得$y=0$.
把$y=0$代入①,得$x=5$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\y=0.\end{cases}$
(3)$\begin{cases}5x+2y=25,①\\3x+4y=15,②\end{cases}$
①$×3$,得$15x+6y=75$.③
②$×5$,得$15x+20y=75$.④
③$-$④,得$-14y=0$,解得$y=0$.
把$y=0$代入①,得$x=5$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\y=0.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 首先回忆二元一次方程组的两种消元法：代入消元法是将一个未知数用含另一未知数的代数式表示后代入另一方程，加减消元法是通过将方程变形使某一未知数的系数相等或互为相反数，再通过两式加减消去该未知数。观察小颖的解题步骤，是将两个方程分别乘常数使x的系数相同，再相减消去x，因此可判断消元法类型。
(2) 依据等式的性质，给方程两边乘同一个数时，方程的每一项都要乘这个数。逐步骤检查小颖的计算：第二步对②式乘5时，4y未乘5，右边的常数项15也未乘5，因此可找到出错步骤。
(3) 正确使用加减消元法求解：先将两个方程变形，消去一个未知数，求出一个未知数的值，再代入原方程求出另一个未知数的值即可。
【解析】
(1) 小颖通过将两个方程乘系数后相减消去未知数x，使用的是加减消元法。
(2) 第二步中，对②$×5$时，根据等式性质，②的每一项都要乘5，正确结果应为$15x+20y=75$，小颖的计算漏乘了$4y$的系数和常数项，因此从第二步开始出错。
(3) 正确求解过程如下：
$\begin{cases}5x+2y=25,①\\3x+4y=15,②\end{cases}$
①$×3$，得$15x+6y=75$.③
②$×5$，得$15x+20y=75$.④
③$-$④，得$-14y=0$，解得$y=0$.
把$y=0$代入①，得$5x+0=25$，解得$x=5$.
【答案】
(1) 加减
(2) 二
(3) $\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；等式的性质；二元一次方程组的解
【点评】
本题重点考察加减消元法的应用，易错点是给方程乘系数时漏乘部分项，计算时要注意方程的每一项都要乘对应系数，求出解后可代入原方程组检验，确保解的正确性。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆二元一次方程组的两种消元法：代入消元法是将一个未知数用含另一未知数的代数式表示后代入另一方程，加减消元法是通过将方程变形使某一未知数的系数相等或互为相反数，再通过两式加减消去该未知数。观察小颖的解题步骤，是将两个方程分别乘常数使x的系数相同，再相减消去x，因此可判断消元法类型。
(2) 依据等式的性质，给方程两边乘同一个数时，方程的每一项都要乘这个数。逐步骤检查小颖的计算：第二步对②式乘5时，4y未乘5，右边的常数项15也未乘5，因此可找到出错步骤。
(3) 正确使用加减消元法求解：先将两个方程变形，消去一个未知数，求出一个未知数的值，再代入原方程求出另一个未知数的值即可。
【解析】
(1) 小颖通过将两个方程乘系数后相减消去未知数x，使用的是加减消元法。
(2) 第二步中，对②$×5$时，根据等式性质，②的每一项都要乘5，正确结果应为$15x+20y=75$，小颖的计算漏乘了$4y$的系数和常数项，因此从第二步开始出错。
(3) 正确求解过程如下：
$\begin{cases}5x+2y=25,①\\3x+4y=15,②\end{cases}$
①$×3$，得$15x+6y=75$.③
②$×5$，得$15x+20y=75$.④
③$-$④，得$-14y=0$，解得$y=0$.
把$y=0$代入①，得$5x+0=25$，解得$x=5$.
【答案】
(1) 加减
(2) 二
(3) $\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}$
【知识点】
加减消元法解二元一次方程组；等式的性质；二元一次方程组的解
【点评】
本题重点考察加减消元法的应用，易错点是给方程乘系数时漏乘部分项，计算时要注意方程的每一项都要乘对应系数，求出解后可代入原方程组检验，确保解的正确性。
【难度系数】
0.8
7. 情境题 裁剪包装盒 如图，在一块纸板上裁出一款底面为正方形的长方体包装盒，另外多留三处等宽接口（图中阴影部分），用于折叠后粘贴，若包装盒的高是底面边长的2倍，则包装盒的底面边长为（
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
C
）A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm
答案
C 【点拨】设包装盒的底面边长为$x$ cm,接口的宽为$y$ cm,则高为$2x$ cm,根据题意,得$\begin{cases}4x+y=25,①\\2x+2x+2y=26,②\end{cases}$
②$-$①,得$y=1$.将$y=1$代入①,解得$x=6$.所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6,\\y=1.\end{cases}$所以包装盒的底面边长为6 cm.
②$-$①,得$y=1$.将$y=1$代入①,解得$x=6$.所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6,\\y=1.\end{cases}$所以包装盒的底面边长为6 cm.
解析
【分析】
解题时可通过方程思想建模求解：首先根据题干条件设未知数，设包装盒的底面边长为$x$ cm，接口宽为$y$ cm，由“高是底面边长的2倍”可知高为$2x$ cm；再观察展开图的两个标注尺寸，找到对应的等量关系：25cm的长度对应4个底面边长加1个接口宽，26cm的长度对应2个底面边长、2个高加2个接口宽；最后根据等量关系列二元一次方程组，用加减消元法求解即可得到底面边长。
【解析】
解：设包装盒的底面边长为$x$ cm，接口的宽为$y$ cm，则包装盒的高为$2x$ cm。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}4x+y=25,&①\\2x+2x+2y=26,&②\end{cases}$
用②式减去①式消去$x$，得：
$y=1$
将$y=1$代入①式，得：
$4x+1=25$
解得$x=6$
因此包装盒的底面边长为6 cm。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；长方体展开图
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查二元一次方程组的应用，解题关键是从展开图中准确提取等量关系建立方程，同时需要熟练掌握加减消元法解方程组的方法，兼顾了对图形观察能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时可通过方程思想建模求解：首先根据题干条件设未知数，设包装盒的底面边长为$x$ cm，接口宽为$y$ cm，由“高是底面边长的2倍”可知高为$2x$ cm；再观察展开图的两个标注尺寸，找到对应的等量关系：25cm的长度对应4个底面边长加1个接口宽，26cm的长度对应2个底面边长、2个高加2个接口宽；最后根据等量关系列二元一次方程组，用加减消元法求解即可得到底面边长。
【解析】
解：设包装盒的底面边长为$x$ cm，接口的宽为$y$ cm，则包装盒的高为$2x$ cm。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases}4x+y=25,&①\\2x+2x+2y=26,&②\end{cases}$
用②式减去①式消去$x$，得：
$y=1$
将$y=1$代入①式，得：
$4x+1=25$
解得$x=6$
因此包装盒的底面边长为6 cm。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用；加减消元法；长方体展开图
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查二元一次方程组的应用，解题关键是从展开图中准确提取等量关系建立方程，同时需要熟练掌握加减消元法解方程组的方法，兼顾了对图形观察能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
8.已知二元一次方程组$\begin{cases}4x - y = 1, \\ -x + 4y = 4,\end{cases}$则$(x + y) · (x - y)$的值等于 ______ .
答案
$-1$ 【点拨】$\begin{cases}4x-y=1,①\\-x+4y=4,②\end{cases}$ ①$+$②,得$3x+3y=5$,
则$x+y=\dfrac{5}{3}$,①$-$②,得$5x-5y=-3$,则$x-y=-\dfrac{3}{5}$,
所以$(x+y)(x-y)=\dfrac{5}{3}×(-\dfrac{3}{5})=-1$.
则$x+y=\dfrac{5}{3}$,①$-$②,得$5x-5y=-3$,则$x-y=-\dfrac{3}{5}$,
所以$(x+y)(x-y)=\dfrac{5}{3}×(-\dfrac{3}{5})=-1$.
解析
【分析】
本题要求$(x+y)(x-y)$的值，若直接求解方程组得到x、y的具体值再代入计算步骤较繁琐。观察所求代数式的特征，只需分别求出$x+y$和$x-y$的值即可，因此可通过对二元一次方程组的两个方程进行加、减运算，直接凑出含$x+y$和$x-y$的式子，利用整体思想简化计算。
【解析】
记方程组中两个方程分别为：
$\begin{cases}4x-y=1,①\\-x+4y=4,②\end{cases}$
1. 求$x+y$的值：将①+②，左边相加得$4x-y+(-x+4y)=3x+3y$，右边相加得$1+4=5$，即$3(x+y)=5$，化简得$x+y=\dfrac{5}{3}$。
2. 求$x-y$的值：将①-②，左边相减得$4x-y-(-x+4y)=5x-5y$，右边相减得$1-4=-3$，即$5(x-y)=-3$，化简得$x-y=-\dfrac{3}{5}$。
3. 代入计算：将$x+y=\dfrac{5}{3}$、$x-y=-\dfrac{3}{5}$代入$(x+y)(x-y)$，得$\dfrac{5}{3} × (-\dfrac{3}{5}) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
加减消元法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组的灵活运用能力，无需解出x、y的具体数值，通过观察方程组系数的特征，运用加减运算凑出所求代数式对应的整体，可大幅简化计算过程，能很好地检验学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
本题要求$(x+y)(x-y)$的值，若直接求解方程组得到x、y的具体值再代入计算步骤较繁琐。观察所求代数式的特征，只需分别求出$x+y$和$x-y$的值即可，因此可通过对二元一次方程组的两个方程进行加、减运算，直接凑出含$x+y$和$x-y$的式子，利用整体思想简化计算。
【解析】
记方程组中两个方程分别为：
$\begin{cases}4x-y=1,①\\-x+4y=4,②\end{cases}$
1. 求$x+y$的值：将①+②，左边相加得$4x-y+(-x+4y)=3x+3y$，右边相加得$1+4=5$，即$3(x+y)=5$，化简得$x+y=\dfrac{5}{3}$。
2. 求$x-y$的值：将①-②，左边相减得$4x-y-(-x+4y)=5x-5y$，右边相减得$1-4=-3$，即$5(x-y)=-3$，化简得$x-y=-\dfrac{3}{5}$。
3. 代入计算：将$x+y=\dfrac{5}{3}$、$x-y=-\dfrac{3}{5}$代入$(x+y)(x-y)$，得$\dfrac{5}{3} × (-\dfrac{3}{5}) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
加减消元法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组的灵活运用能力，无需解出x、y的具体数值，通过观察方程组系数的特征，运用加减运算凑出所求代数式对应的整体，可大幅简化计算过程，能很好地检验学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
9. ★★ [2026 南阳期末] 甲、乙两人在解方程组$\begin{cases}4x - by = -1, \\ax + by = 5\end{cases}$时，甲因看错$a$，解得$\begin{cases}x=2, \\y=3.\end{cases}$乙将其中一个方程的$b$写成了其相反数，解得$\begin{cases}x=1, \\y=\dfrac{5}{3},\end{cases}$则方程组的正确解为________。
答案
$\begin{cases} x=\dfrac{2}{7},\\y=\dfrac{5}{7}\end{cases}$ 【点拨】将$\begin{cases} x=2,\\y=3\end{cases}$代入$4x-by=-1$,得$8-3b=-1$,解得$b=3$.将$\begin{cases} x=1,\\y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入$4x+3y=-1$,方程左右两边不相等,故$\begin{cases} x=1,\\y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$是方程$ax-3y=5$的解.将$\begin{cases} x=1,\\y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入$ax-3y=5$,解得$a=10$.所以方程组为$\begin{cases}4x-3y=-1,\\10x+3y=5,\end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{2}{7},\\y=\dfrac{5}{7}.\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先利用“甲看错a但没看错b”的条件，甲的解满足不含a的方程$4x-by=-1$，据此可求出b的值；再分析乙的情况：乙将其中一个方程的b写成相反数，需先验证乙的解满足哪个改了符号的方程，确定乙修改的是第二个方程的b的符号，进而代入求出a的值；最后将正确的a、b代入原方程组，用加减消元法求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求$b$的值：
甲看错$a$，因此$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$满足方程$4x-by=-1$，代入得：
$4×2 - 3b = -1$
$8 - 3b = -1$
解得$b=3$。
2. 求$a$的值：
乙将其中一个方程的$b$写成相反数，分两种情况验证：
① 若乙修改的是第一个方程的$b$，则第一个方程变为$4x+3y=-1$，将$\begin{cases}x=1 \\ y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入左边：$4×1 + 3×\dfrac{5}{3}=9≠-1$，不符合；
② 因此乙修改的是第二个方程的$b$，第二个方程变为$ax - 3y=5$，将$\begin{cases}x=1 \\ y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入得：
$a×1 - 3×\dfrac{5}{3}=5$
$a - 5 = 5$
解得$a=10$。
3. 解正确的方程组：
将$a=10,b=3$代入原方程组得$\begin{cases}4x - 3y = -1&① \\10x + 3y = 5&②\end{cases}$
①+②得：$14x=4$，解得$x=\dfrac{2}{7}$。
把$x=\dfrac{2}{7}$代入①得：$4×\dfrac{2}{7} - 3y = -1$，解得$y=\dfrac{5}{7}$。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{2}{7}\\\\y=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的错解类问题，解题核心是抓住“看错某一系数的解仍满足未看错系数的方程”这一规律，通过验证判断被修改的方程，求出正确系数后再解方程组即可，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用“甲看错a但没看错b”的条件，甲的解满足不含a的方程$4x-by=-1$，据此可求出b的值；再分析乙的情况：乙将其中一个方程的b写成相反数，需先验证乙的解满足哪个改了符号的方程，确定乙修改的是第二个方程的b的符号，进而代入求出a的值；最后将正确的a、b代入原方程组，用加减消元法求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求$b$的值：
甲看错$a$，因此$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$满足方程$4x-by=-1$，代入得：
$4×2 - 3b = -1$
$8 - 3b = -1$
解得$b=3$。
2. 求$a$的值：
乙将其中一个方程的$b$写成相反数，分两种情况验证：
① 若乙修改的是第一个方程的$b$，则第一个方程变为$4x+3y=-1$，将$\begin{cases}x=1 \\ y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入左边：$4×1 + 3×\dfrac{5}{3}=9≠-1$，不符合；
② 因此乙修改的是第二个方程的$b$，第二个方程变为$ax - 3y=5$，将$\begin{cases}x=1 \\ y=\dfrac{5}{3}\end{cases}$代入得：
$a×1 - 3×\dfrac{5}{3}=5$
$a - 5 = 5$
解得$a=10$。
3. 解正确的方程组：
将$a=10,b=3$代入原方程组得$\begin{cases}4x - 3y = -1&① \\10x + 3y = 5&②\end{cases}$
①+②得：$14x=4$，解得$x=\dfrac{2}{7}$。
把$x=\dfrac{2}{7}$代入①得：$4×\dfrac{2}{7} - 3y = -1$，解得$y=\dfrac{5}{7}$。
【答案】
$\begin{cases} x=\dfrac{2}{7}\\\\y=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的错解类问题，解题核心是抓住“看错某一系数的解仍满足未看错系数的方程”这一规律，通过验证判断被修改的方程，求出正确系数后再解方程组即可，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
