登录
10. 若关于 $ m,n $ 的方程组 $ \begin{cases}am + n = b, \\ cm - n = d\end{cases}$ 的解是 $ \begin{cases}m = 1, \\ n = -1,\end{cases}$ 则关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}ax + y = a - b, \\ cx - y = c - d\end{cases}$ 的解是 ______ 。
答案
$\begin{cases} x=0,\\y=1\end{cases}$ 【点拨】因为关于$m,n$的方程组$\begin{cases}am+n=b,\\cm-n=d\end{cases}$的解是$\begin{cases} m=1,\\n=-1,\end{cases}$所以$\begin{cases} a-1=b,\\c+1=d,\end{cases}$所以$a-b=1$,$c-d=-1$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+y=a-b,\\cx-y=c-d\end{cases}$即为$\begin{cases}ax+y=1,①\\cx-y=-1,②\end{cases}$ ①$+$②得$(a+c)x=0$,由关于$m,n$的方程组$\begin{cases}am+n=b,\\cm-n=d\end{cases}$的解是$\begin{cases} m=1,\\n=-1\end{cases}$可知$a+c\ne0$,所以解$(a+c)x=0$,得$x=0$.把$x=0$代入$ax+y=1$,得$y=1$,所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+y=a-b,\\cx-y=c-d\end{cases}$的解是$\begin{cases} x=0,\\y=1.\end{cases}$
解析
【分析】
首先根据二元一次方程组解的定义，将已知的关于m,n的方程组的解代入原方程组，可得到参数a与b、c与d的数量关系，求出a-b和c-d的值；再将这两个值代入所求的关于x,y的方程组，把方程组化简为常数项已知的形式，最后用加减消元法求解化简后的方程组即可得到答案。
【解析】
∵关于$m,n$的方程组$\begin{cases}am + n = b, \\ cm - n = d\end{cases}$的解是$\begin{cases}m = 1, \\ n = -1,\end{cases}$
∴将$\begin{cases}m = 1, \\ n = -1,\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases} a×1 + (-1)=b,\\c×1 - (-1)=d,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}a - 1 = b,\\c + 1 = d,\end{cases}$，移项可得$a - b = 1$，$c - d = -1$。
将$a - b = 1$，$c - d = -1$代入关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + y = a - b, \\ cx - y = c - d\end{cases}$，得：
$\begin{cases}ax + y = 1&①\\cx - y = -1&②\end{cases}$
①+②得：$(a + c)x = 0$，
∵原关于$m,n$的方程组有唯一解，可知$a + c ≠ 0$，
∴解得$x = 0$。
把$x = 0$代入①式，得$a×0 + y = 1$，解得$y = 1$。
【答案】
$\begin{cases} x=0,\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关应用，解题关键是熟练掌握方程组解的定义，能通过已知解得到参数间的关系，再代入新方程组求解，对参数转化和消元法的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先根据二元一次方程组解的定义，将已知的关于m,n的方程组的解代入原方程组，可得到参数a与b、c与d的数量关系，求出a-b和c-d的值；再将这两个值代入所求的关于x,y的方程组，把方程组化简为常数项已知的形式，最后用加减消元法求解化简后的方程组即可得到答案。
【解析】
∵关于$m,n$的方程组$\begin{cases}am + n = b, \\ cm - n = d\end{cases}$的解是$\begin{cases}m = 1, \\ n = -1,\end{cases}$
∴将$\begin{cases}m = 1, \\ n = -1,\end{cases}$代入方程组，得$\begin{cases} a×1 + (-1)=b,\\c×1 - (-1)=d,\end{cases}$
整理得$\begin{cases}a - 1 = b,\\c + 1 = d,\end{cases}$，移项可得$a - b = 1$，$c - d = -1$。
将$a - b = 1$，$c - d = -1$代入关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + y = a - b, \\ cx - y = c - d\end{cases}$，得：
$\begin{cases}ax + y = 1&①\\cx - y = -1&②\end{cases}$
①+②得：$(a + c)x = 0$，
∵原关于$m,n$的方程组有唯一解，可知$a + c ≠ 0$，
∴解得$x = 0$。
把$x = 0$代入①式，得$a×0 + y = 1$，解得$y = 1$。
【答案】
$\begin{cases} x=0,\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；加减消元法；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关应用，解题关键是熟练掌握方程组解的定义，能通过已知解得到参数间的关系，再代入新方程组求解，对参数转化和消元法的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
11. 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p,\\5x+3y=26\end{cases}$的解是正整数，则满足条件的整数$p$的值的和为 ______ 。
答案
14 【点拨】解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p,\\5x+3y=26,\end{cases}$得$\begin{cases} x=\dfrac{26-3p}{2},\\y=\dfrac{5p-26}{2}.\end{cases}$
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p,\\5x+3y=26\end{cases}$的解是正整数,所以$\dfrac{26-3p}{2}$为正整数且$\dfrac{5p-26}{2}$为正整数.所以整数$p=6$或$8$.所以满足条件的整数$p$的值的和为$6+8=14$.
因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p,\\5x+3y=26\end{cases}$的解是正整数,所以$\dfrac{26-3p}{2}$为正整数且$\dfrac{5p-26}{2}$为正整数.所以整数$p=6$或$8$.所以满足条件的整数$p$的值的和为$6+8=14$.
解析
【分析】
要解决这道题，第一步先用加减消元法解含参数p的二元一次方程组，将x、y分别用含p的代数式表示；第二步根据方程组的解是正整数，可知x、y都大于0且为整数，由此得到p的取值范围和奇偶性要求；第三步筛选出符合条件的整数p，最后计算这些p的和即可。
【解析】
解：先解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p&①\\5x+3y=26&②\end{cases}$
用加减消元法，①×3得：$3x+3y=3p$ ③
② - ③得：$2x=26-3p$，解得$x=\dfrac{26-3p}{2}$
把$x=\dfrac{26-3p}{2}$代入①得：$y=p - \dfrac{26-3p}{2} = \dfrac{2p -26 +3p}{2} = \dfrac{5p -26}{2}$
因为方程组的解是正整数，所以满足以下条件：
1. $x＞0$，即$\dfrac{26-3p}{2}＞0$，解得$p＜\dfrac{26}{3}\approx8.67$
2. $y＞0$，即$\dfrac{5p-26}{2}＞0$，解得$p＞\dfrac{26}{5}=5.2$
又因为p是整数，所以p的可能取值为6、7、8
同时x、y为整数，所以$26-3p$和$5p-26$都必须是偶数：
26是偶数，所以$3p$必须是偶数，因为3是奇数，因此p为偶数
综上，p只能取6、8，满足条件的整数p的值的和为$6+8=14$
【答案】
14
【知识点】
加减消元法解方程组，不等式的应用，整数解求值
【点评】
本题属于含参数方程组的整数解问题，解题的关键是先把未知数用参数表示，再结合正整数的限制条件筛选参数，注意不要遗漏解为整数的要求，避免多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，第一步先用加减消元法解含参数p的二元一次方程组，将x、y分别用含p的代数式表示；第二步根据方程组的解是正整数，可知x、y都大于0且为整数，由此得到p的取值范围和奇偶性要求；第三步筛选出符合条件的整数p，最后计算这些p的和即可。
【解析】
解：先解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=p&①\\5x+3y=26&②\end{cases}$
用加减消元法，①×3得：$3x+3y=3p$ ③
② - ③得：$2x=26-3p$，解得$x=\dfrac{26-3p}{2}$
把$x=\dfrac{26-3p}{2}$代入①得：$y=p - \dfrac{26-3p}{2} = \dfrac{2p -26 +3p}{2} = \dfrac{5p -26}{2}$
因为方程组的解是正整数，所以满足以下条件：
1. $x＞0$，即$\dfrac{26-3p}{2}＞0$，解得$p＜\dfrac{26}{3}\approx8.67$
2. $y＞0$，即$\dfrac{5p-26}{2}＞0$，解得$p＞\dfrac{26}{5}=5.2$
又因为p是整数，所以p的可能取值为6、7、8
同时x、y为整数，所以$26-3p$和$5p-26$都必须是偶数：
26是偶数，所以$3p$必须是偶数，因为3是奇数，因此p为偶数
综上，p只能取6、8，满足条件的整数p的值的和为$6+8=14$
【答案】
14
【知识点】
加减消元法解方程组，不等式的应用，整数解求值
【点评】
本题属于含参数方程组的整数解问题，解题的关键是先把未知数用参数表示，再结合正整数的限制条件筛选参数，注意不要遗漏解为整数的要求，避免多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
12. ★★★ [杭州竞赛] 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x+3y=4-a, \\x-5y=3a,\end{cases}$$a$为常数，给出下列结论，其中正确的是________（填序号）。
①$\begin{cases}x=6, \\y=-1\end{cases}$是方程组的解；
②当$a=2$时，方程组的解也是方程$x+y=5-a$的解；
③无论$a$取何值，$x$，$y$的值都不可能互为相反数；
④$x$，$y$都为正整数的解有2对。
①$\begin{cases}x=6, \\y=-1\end{cases}$是方程组的解；
②当$a=2$时，方程组的解也是方程$x+y=5-a$的解；
③无论$a$取何值，$x$，$y$的值都不可能互为相反数；
④$x$，$y$都为正整数的解有2对。
答案
②③④ 【点拨】①将$x=6,y=-1$代入方程组,得$\begin{cases}6-3=4-a,(ⅰ)\\6+5=3a,(ⅱ)\end{cases}$由(ⅰ)得$a=1$,由(ⅱ)得$a=\dfrac{11}{3}$,故①不正确;②将$a=2$代入方程组,得$\begin{cases}x+3y=2,\\x-5y=6,\end{cases}$解此方程组得$\begin{cases} x=\dfrac{7}{2},\\y=-\dfrac{1}{2},\end{cases}$将$x,y,a$的值代入方程$x+y=5-a$,得方程左边$=3=$右边,所以当$a=2$时,方程组的解也是方程$x+y=5-a$的解,故②正确;③$\begin{cases}x+3y=4-a,(ⅰ)\\x-5y=3a,(ⅱ)\end{cases}$ (ⅰ)$-$(ⅱ),得$8y=4-4a$,解得$y=\dfrac{1-a}{2}$,将$y=\dfrac{1-a}{2}$代入(ⅰ),得$x=\dfrac{a+5}{2}$,所以$x+y=3$,故无论$a$取何值,$x,y$的值都不可能互为相反数,故③正确;④因为$x+y=3$,所以$x,y$都为正整数的解有$\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$或$\begin{cases}x=2,\\y=1,\end{cases}$故④正确.
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，按以下思路逐一分析：①直接将给出的x、y代入方程组，看求出的a值是否一致，一致则是方程组的解，否则不是；②先把a=2代入原方程组求出解，再代入方程x+y=5-a验证左右两边是否相等；③先用加减消元法把x、y用含a的代数式表示，再计算x+y的和，判断是否可能为0（互为相反数的两数和为0）；④根据x+y的固定值，找出所有正整数解的对数即可。
【解析】
我们对四个结论逐一验证：
1. 验证结论①：
将$\begin{cases}x=6, \\y=-1\end{cases}$代入原方程组，得$\begin{cases}6-3=4-a, \\6+5=3a,\end{cases}$
由第一个方程解得$a=1$，第二个方程解得$a=\dfrac{11}{3}$，两个a值不相等，故①错误。
2. 验证结论②：
当$a=2$时，原方程组变为$\begin{cases}x+3y=2, \\x-5y=6,\end{cases}$
用加减消元法，第一个方程减第二个方程得$8y=-4$，解得$y=-\dfrac{1}{2}$，
将$y=-\dfrac{1}{2}$代入$x+3y=2$，得$x=\dfrac{7}{2}$，
把$x=\dfrac{7}{2},y=-\dfrac{1}{2},a=2$代入$x+y=5-a$，左边$=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3$，右边$=5-2=3$，左边=右边，故②正确。
3. 验证结论③：
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,(ⅰ)\\x-5y=3a,(ⅱ)\end{cases}$
(ⅰ)-(ⅱ)得$8y=4-4a$，解得$y=\dfrac{1-a}{2}$，
将$y=\dfrac{1-a}{2}$代入(ⅰ)，解得$x=\dfrac{a+5}{2}$，
则$x+y=\dfrac{a+5}{2}+\dfrac{1-a}{2}=3$，因为互为相反数的两数和为0，不可能等于3，所以无论a取何值，x、y都不可能互为相反数，故③正确。
4. 验证结论④：
由③得$x+y=3$，x、y均为正整数，满足条件的解为$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$共2对，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，二元一次方程的整数解
【点评】
本题属于二元一次方程组的综合应用类题目，既可以通过代入法直接验证结论，也可以先将方程组的解用参数a表示后再分析，解题时利用x+y恒为3的结论可简化③和④的判断，锻炼了分类验证和整体分析的能力。
【难度系数】
0.6
要判断四个结论是否正确，按以下思路逐一分析：①直接将给出的x、y代入方程组，看求出的a值是否一致，一致则是方程组的解，否则不是；②先把a=2代入原方程组求出解，再代入方程x+y=5-a验证左右两边是否相等；③先用加减消元法把x、y用含a的代数式表示，再计算x+y的和，判断是否可能为0（互为相反数的两数和为0）；④根据x+y的固定值，找出所有正整数解的对数即可。
【解析】
我们对四个结论逐一验证：
1. 验证结论①：
将$\begin{cases}x=6, \\y=-1\end{cases}$代入原方程组，得$\begin{cases}6-3=4-a, \\6+5=3a,\end{cases}$
由第一个方程解得$a=1$，第二个方程解得$a=\dfrac{11}{3}$，两个a值不相等，故①错误。
2. 验证结论②：
当$a=2$时，原方程组变为$\begin{cases}x+3y=2, \\x-5y=6,\end{cases}$
用加减消元法，第一个方程减第二个方程得$8y=-4$，解得$y=-\dfrac{1}{2}$，
将$y=-\dfrac{1}{2}$代入$x+3y=2$，得$x=\dfrac{7}{2}$，
把$x=\dfrac{7}{2},y=-\dfrac{1}{2},a=2$代入$x+y=5-a$，左边$=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3$，右边$=5-2=3$，左边=右边，故②正确。
3. 验证结论③：
解原方程组$\begin{cases}x+3y=4-a,(ⅰ)\\x-5y=3a,(ⅱ)\end{cases}$
(ⅰ)-(ⅱ)得$8y=4-4a$，解得$y=\dfrac{1-a}{2}$，
将$y=\dfrac{1-a}{2}$代入(ⅰ)，解得$x=\dfrac{a+5}{2}$，
则$x+y=\dfrac{a+5}{2}+\dfrac{1-a}{2}=3$，因为互为相反数的两数和为0，不可能等于3，所以无论a取何值，x、y都不可能互为相反数，故③正确。
4. 验证结论④：
由③得$x+y=3$，x、y均为正整数，满足条件的解为$\begin{cases}x=1, \\y=2,\end{cases}$$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$共2对，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，二元一次方程的整数解
【点评】
本题属于二元一次方程组的综合应用类题目，既可以通过代入法直接验证结论，也可以先将方程组的解用参数a表示后再分析，解题时利用x+y恒为3的结论可简化③和④的判断，锻炼了分类验证和整体分析的能力。
【难度系数】
0.6
13. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x - y = 4a - 3, \\ x + 2y = -5a. \end{cases}$
(1)当$a=0$时，该方程组的解是.
(2)$x$与$y$的数量关系是(不含字母$a$).
(3)是否存在有理数$a$，使得$|x+3|+y^2=0$？若存在，请求出$a$的值；若不存在，请说明理由.
(1)当$a=0$时，该方程组的解是.
(2)$x$与$y$的数量关系是(不含字母$a$).
(3)是否存在有理数$a$，使得$|x+3|+y^2=0$？若存在，请求出$a$的值；若不存在，请说明理由.
答案
【解】(1)$\begin{cases} x=-2,\\y=1\end{cases}$
(2)$3x+y=-5$
(3)不存在.理由如下:因为$|x+3|+y^2=0$,所以$x+3=0$,$y=0$,解得$x=-3$.将$x=-3$,$y=0$代入方程组,得$\begin{cases}-3=4a-3,\\-3=-5a,\end{cases}$解得$a=0$且$a=\dfrac{3}{5}$,矛盾,所以不存在有理数$a$,使得$|x+3|+y^2=0$.
(2)$3x+y=-5$
(3)不存在.理由如下:因为$|x+3|+y^2=0$,所以$x+3=0$,$y=0$,解得$x=-3$.将$x=-3$,$y=0$代入方程组,得$\begin{cases}-3=4a-3,\\-3=-5a,\end{cases}$解得$a=0$且$a=\dfrac{3}{5}$,矛盾,所以不存在有理数$a$,使得$|x+3|+y^2=0$.
解析
【分析】
(1) 第一问将a=0代入原方程组，得到不含参数的普通二元一次方程组，使用加减消元或代入消元法直接求解即可。
(2) 第二问要得到不含a的x、y数量关系，可先通过解方程组用a分别表示出x和y，再消去参数a，整理即可得到x与y的关系式。
(3) 第三问利用绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此求出x、y的取值，再代入原方程组求解a，若得到的a值一致则存在，出现矛盾则不存在。
【解析】
(1) 当$a=0$时，原方程组化为$\begin{cases} x - y = -3, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3y=3$，解得$y=1$。
将$y=1$代入$x-y=-3$，得$x=-3+1=-2$。
(2) 记原方程组$\begin{cases} x - y = 4a - 3 ①, \\ x + 2y = -5a ②. \end{cases}$
②-①得：$3y=-9a+3$，化简得$y=-3a+1$。
将$y=-3a+1$代入①，得$x-(-3a+1)=4a-3$，解得$x=a-2$。
由$x=a-2$得$a=x+2$，代入$y=-3a+1$，得$y=-3(x+2)+1$，整理得$3x+y=-5$。
(3) 不存在，理由如下：
因为$|x+3|≥0$，$y^2≥0$，若$|x+3|+y^2=0$，则需满足$\begin{cases}x+3=0, \\ y=0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3, \\ y=0. \end{cases}$
将$\begin{cases}x=-3, \\ y=0 \end{cases}$代入原方程组，得$\begin{cases}-3=4a-3, \\ -3=-5a, \end{cases}$解第一个方程得$a=0$，解第二个方程得$a=\dfrac{3}{5}$，两个a值矛盾，故不存在符合条件的有理数a。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2,\\y=1\end{cases}$
(2)$3x+y=-5$
(3)不存在，理由见解析
【知识点】
二元一次方程组求解，非负数的性质，消元思想
【点评】
本题围绕含参数的二元一次方程组设置梯度问题，既考查了二元一次方程组的基础解法，也涉及消元思想和非负数性质的综合应用，能有效检验学生对相关知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问将a=0代入原方程组，得到不含参数的普通二元一次方程组，使用加减消元或代入消元法直接求解即可。
(2) 第二问要得到不含a的x、y数量关系，可先通过解方程组用a分别表示出x和y，再消去参数a，整理即可得到x与y的关系式。
(3) 第三问利用绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此求出x、y的取值，再代入原方程组求解a，若得到的a值一致则存在，出现矛盾则不存在。
【解析】
(1) 当$a=0$时，原方程组化为$\begin{cases} x - y = -3, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3y=3$，解得$y=1$。
将$y=1$代入$x-y=-3$，得$x=-3+1=-2$。
(2) 记原方程组$\begin{cases} x - y = 4a - 3 ①, \\ x + 2y = -5a ②. \end{cases}$
②-①得：$3y=-9a+3$，化简得$y=-3a+1$。
将$y=-3a+1$代入①，得$x-(-3a+1)=4a-3$，解得$x=a-2$。
由$x=a-2$得$a=x+2$，代入$y=-3a+1$，得$y=-3(x+2)+1$，整理得$3x+y=-5$。
(3) 不存在，理由如下：
因为$|x+3|≥0$，$y^2≥0$，若$|x+3|+y^2=0$，则需满足$\begin{cases}x+3=0, \\ y=0, \end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3, \\ y=0. \end{cases}$
将$\begin{cases}x=-3, \\ y=0 \end{cases}$代入原方程组，得$\begin{cases}-3=4a-3, \\ -3=-5a, \end{cases}$解第一个方程得$a=0$，解第二个方程得$a=\dfrac{3}{5}$，两个a值矛盾，故不存在符合条件的有理数a。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2,\\y=1\end{cases}$
(2)$3x+y=-5$
(3)不存在，理由见解析
【知识点】
二元一次方程组求解，非负数的性质，消元思想
【点评】
本题围绕含参数的二元一次方程组设置梯度问题，既考查了二元一次方程组的基础解法，也涉及消元思想和非负数性质的综合应用，能有效检验学生对相关知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
14. ★★★ 新考法阅读类比法 阅读下列解方程组的方法，然后解决问题.
解方程组$\begin{cases}20x + 19y = 17, ①\\17x + 16y = 14②\end{cases}$时，我们如果直接考虑消元会比较复杂，而采用下面的解法则比较简便.
解:①$-$②，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$.③
③$×16$，得$16x + 16y = 16$.④
②$-$④，得$x = -2$.
将$x = -2$代入③，得$y = 3$.
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -2,\\y = 3.\end{cases}$
(1)请采用上面的方法解方程组$\begin{cases}2028x + 2027y = 2026,\\2025x + 2024y = 2023;\end{cases}$
(2)求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,\\(a - 5)x + (a - 7)y = a\end{cases}$的解.
解方程组$\begin{cases}20x + 19y = 17, ①\\17x + 16y = 14②\end{cases}$时，我们如果直接考虑消元会比较复杂，而采用下面的解法则比较简便.
解:①$-$②，得$3x + 3y = 3$，所以$x + y = 1$.③
③$×16$，得$16x + 16y = 16$.④
②$-$④，得$x = -2$.
将$x = -2$代入③，得$y = 3$.
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -2,\\y = 3.\end{cases}$
(1)请采用上面的方法解方程组$\begin{cases}2028x + 2027y = 2026,\\2025x + 2024y = 2023;\end{cases}$
(2)求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,\\(a - 5)x + (a - 7)y = a\end{cases}$的解.
答案
【解】(1)$\begin{cases}2\ 028x+2\ 027y=2\ 026,①\\2\ 025x+2\ 024y=2\ 023,②\end{cases}$
①$-$②,得$3x+3y=3$,
所以$x+y=1$.③
③$×2\ 024$,得$2\ 024x+2\ 024y=2\ 024$.④
②$-$④,得$x=-1$.
把$x=-1$代入③,得$y=2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\y=2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}(a+2)x+ay=a+7,①\\(a-5)x+(a-7)y=a,②\end{cases}$
①$-$②,得$7x+7y=7$,
所以$x+y=1$.③
③$×(a-5)$,得$(a-5)x+(a-5)y=a-5$.④
②$-$④,得$-2y=5$,解得$y=-\dfrac{5}{2}$.
把$y=-\dfrac{5}{2}$代入③,得$x=\dfrac{7}{2}$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{7}{2},\\y=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
点方法 类比题目解法,通过两式相减后得到$x+y=1$是解题的关键.
①$-$②,得$3x+3y=3$,
所以$x+y=1$.③
③$×2\ 024$,得$2\ 024x+2\ 024y=2\ 024$.④
②$-$④,得$x=-1$.
把$x=-1$代入③,得$y=2$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\y=2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}(a+2)x+ay=a+7,①\\(a-5)x+(a-7)y=a,②\end{cases}$
①$-$②,得$7x+7y=7$,
所以$x+y=1$.③
③$×(a-5)$,得$(a-5)x+(a-5)y=a-5$.④
②$-$④,得$-2y=5$,解得$y=-\dfrac{5}{2}$.
把$y=-\dfrac{5}{2}$代入③,得$x=\dfrac{7}{2}$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{7}{2},\\y=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
点方法 类比题目解法,通过两式相减后得到$x+y=1$是解题的关键.
解析
【分析】
本题为类比阅读类的二元一次方程组求解问题，解题时可模仿题干给出的简便方法：第一步先将两个方程相减，利用x、y的系数差相等的特点，化简得到$x+y=1$的结论；第二步将$x+y=1$乘适当系数后，与原方程组中某一方程相减，消去一个未知数，求出单个未知数的值；第三步将求出的未知数代入$x+y=1$，得到另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2028x + 2027y = 2026,①\\2025x + 2024y = 2023,②\end{cases}$
①$-$②，得$3x+3y=3$，化简得$x+y=1$。③
③$×2024$，得$2024x + 2024y = 2024$。④
②$-$④，得$x=-1$。
把$x=-1$代入③，得$-1+y=1$，解得$y=2$。
(2) 解方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,①\\(a - 5)x + (a - 7)y = a,②\end{cases}$
①$-$②，得$7x+7y=7$，化简得$x+y=1$。③
③$×(a-5)$，得$(a-5)x + (a-5)y = a-5$。④
②$-$④，得$-2y=5$，解得$y=-\dfrac{5}{2}$。
把$y=-\dfrac{5}{2}$代入③，得$x-\dfrac{5}{2}=1$，解得$x=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2}\\y=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，类比思想
【点评】
本题考查特殊结构二元一次方程组的解法，核心是通过观察系数特点简化消元步骤，避免大数字或含参运算的复杂计算，侧重对方法迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
本题为类比阅读类的二元一次方程组求解问题，解题时可模仿题干给出的简便方法：第一步先将两个方程相减，利用x、y的系数差相等的特点，化简得到$x+y=1$的结论；第二步将$x+y=1$乘适当系数后，与原方程组中某一方程相减，消去一个未知数，求出单个未知数的值；第三步将求出的未知数代入$x+y=1$，得到另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2028x + 2027y = 2026,①\\2025x + 2024y = 2023,②\end{cases}$
①$-$②，得$3x+3y=3$，化简得$x+y=1$。③
③$×2024$，得$2024x + 2024y = 2024$。④
②$-$④，得$x=-1$。
把$x=-1$代入③，得$-1+y=1$，解得$y=2$。
(2) 解方程组$\begin{cases}(a + 2)x + ay = a + 7,①\\(a - 5)x + (a - 7)y = a,②\end{cases}$
①$-$②，得$7x+7y=7$，化简得$x+y=1$。③
③$×(a-5)$，得$(a-5)x + (a-5)y = a-5$。④
②$-$④，得$-2y=5$，解得$y=-\dfrac{5}{2}$。
把$y=-\dfrac{5}{2}$代入③，得$x-\dfrac{5}{2}=1$，解得$x=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=\dfrac{7}{2}\\y=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，二元一次方程组求解，类比思想
【点评】
本题考查特殊结构二元一次方程组的解法，核心是通过观察系数特点简化消元步骤，避免大数字或含参运算的复杂计算，侧重对方法迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
